DS6 13-14

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15/03/2014
Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa
composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation des questions traitées.
Les applications numériques, les commentaires apportés sur les résultats obtenus, constituent une partie non négligeable dans le
barème d'évaluation.
Les copies rendues seront numérotées. Pour 3 feuilles rendues, par exemple, on numérotera : 1/3; 2/3; 3/3.
Le sujet est constitué de trois exercices indépendants qui seront traités sur des copies séparées.
I Expérience de Millikan (approche documentaire, source : Wikipédia)
L’expérience de la goutte d’huile, réalisée par Millikan (université de Chicago) au début du XXe siècle, consiste à pulvériser de
minuscules gouttes d’huiles électrisées entre les deux électrodes horizontales d'un condensateur plan chargé. Les minuscules gouttes
subissent plusieurs forces qui s'équilibrent rapidement et font que chaque goutte se déplace à vitesse constante, mesurable avec une
lunette de visée et un chronomètre.
L'expérience consiste à sélectionner une gouttelette et à analyser son mouvement sous l'action des forces agissant sur elle à différentes
valeurs d'ionisation :
* son poids vers le bas qui est constant ;
* la poussée d’Archimède (puisque entre les électrodes, il y a de l'air) qui est constante ;
* la force électrostatique vers le haut proportionnelle à sa charge électrique, et qui est proportionnelle au champ et constante dans
un champ uniforme.
La résultante de ces trois forces est donc constante et est très rapidement compensée par le frottement avec l’air ce qui conduit à
observer un mouvement de la gouttelette à vitesse limite constante puisque la somme des forces agissantes est nulle.
Millikan, par simple mesure de vitesse par le rapport de la distance parcourue sur le temps mis pour la parcourir sur une gouttelette
d'huile qu'il ionisait en l'irradiant par rayons X, observa expérimentalement que les valeurs d'ionisation étaient toutes multiples entières
de e = 1,592.10−19 C, constante que l’on connaît aujourd’hui sous le nom de charge élémentaire (avec une valeur mise à jour
légèrement différente : e = 1,60217646.10−19 C) et que l’on note traditionnellement e ; cette expérience s'est avérée être la première
preuve de la quantification de la charge électrique qui est strictement toujours un multiple entier positif ou négatif de cette valeur
fondamentale e.
Cette expérience et ses conclusions sur la quantification des charges valurent à Millikan le Prix Nobel de physique en 1923.
Dispositif expérimental
(On the elementary electrical charge and the Avogadro constant,
R. A Millikan,
The Physical Review 1913)
Schéma de principe
On pulvérise des gouttes d’huile entre deux armatures métalliques (condensateur plan) entre lesquelles règne un champ électrique
uniforme. La variation du potentiel permet de maîtriser la vitesse des gouttes si celles-ci sont chargées jusqu’à les immobiliser si
nécessaire, voire d’inverser leur course. On observe les gouttelettes avec une lunette de visée de façon à mesurer à l’aide d'un
micromètre étalonné la distance parcourue et à l'aide d'un chronomètre le temps correspondant: on en déduit la vitesse de la gouttelette
sélectionnée. Millikan utilisa un système optique composé d'un objectif de focale 12,5 cm et un oculaire ayant une focale de 12 mm,
l'objectif étant à 25 cm de distance de la goutte; l'oculaire comporte un réticule gradué étalonné à l'aide d'un micromètre gradué
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positionné à 25 cm. On utilise des huiles à basse pression de vapeur afin d’éviter que les gouttelettes ne s’évaporent sous la chaleur de
l’éclairage, ce qui fausserait les résultats par une variation de la masse de la gouttelette au cours de l’expérience. Les gouttes peuvent
être chargées par simple frottement avec le gicleur du vaporisateur ou tout autre mécanisme d'électrification. Millikan utilisa des
rayons X. Une autre précaution à prendre est de ne pas être perturbé par des phénomènes de convection.
Millikan avait trouvé une valeur de e inférieure à celle que l’on connaît aujourd’hui. Plus d’une vingtaine d’années après son
expérience, on a pu comprendre qu’il avait utilisé une mauvaise valeur de la viscosité de l’air. Il avait en effet utilisé un résultat qu’il
avait fait calculer à un de ses étudiants … Mais entretemps, de nombreux scientifiques qui avaient refait l’expérience de Millikan
s’étonnaient de se trouver aussi décalés et ont, semble-t-il, manipulé un peu leurs résultats pour s’approcher de la valeur de Millikan.
Répondre aux questions suivantes en s’appuyant sur les indications fournies par le texte précédent :
1) Faire un schéma de l’intérieur du condensateur sur lequel figureront les différentes forces s’appliquant sur une goutte d’huile en
chute libre.
2) Ecrire la deuxième loi de Newton appliquée à la goutte d’huile sous !forme vectorielle.
On supposera que la force de frottement de l’air est de la forme −6 πηrv (formule de Stokes).
On fera intervenir les grandeurs physiques suivantes, et uniquement celles-ci :
• masse de la goutte : m ;
• rayon de la goutte : r!;
€
• vitesse da la goutte v ;
!
• accélération de la pesanteur g ;
• masse volumique de l’huile ρh ;
• masse volumique de l’air ρa ;
€
• viscosité de l’air η ;
€
• charge électrique de la goutte q ;
!
• champ électrique régnant dans le condensateur E .
Projeter cette relation sur un axe Oz vertical descendant. On précise que le champ électrique est dirigé vers le bas et que la goutte
est chargée négativement.
€
3) On met en place un premier protocole expérimental destiné à mesurer la charge q de la goutte d’huile :
a) On annule la tension aux bornes du condensateur. Le champ électrique E est alors nul, et on mesure la vitesse limite vz0
atteinte par une des gouttes. Montrer que la mesure de cette vitesse permet de remonter au rayon de la goutte.
Application numérique : ρh = 900 kg.m-3 ; ρa = 1,23 kg.m-3 ; η = 1,80.10-5 Pa.s ; g = 9,81 m.s-2 ; vz0 = 4,28.10-4 m.s-1.
b) On applique maintenant un champ électrique et on ajuste sa valeur jusqu’à ce que la goutte soit immobilisée. Montrer que la
mesure du champ Ez0 correspondant à l'équilibre des forces permet de remonter à la charge de cette goutte.
Application numérique : Ez0 = 6,00.103 V.cm-1. Comparer à la charge élémentaire e = 1,60.10-19 C.
c) L’erreur commise sur la viscosité de l’air a donc entrainé une erreur sur la valeur de la charge élémentaire.
De quel type de composante de l’erreur s’agit-il ?
Un calcul d’incertitude à partir de la relation de la question précédente donne :
u c (e) 3 u 2 (η) u 2 (v z0 )
=
+
e
2
η2
v z0 2
en négligeant les incertitudes sur ρh, ρa, g et E.
La viscosité de l’air a-t-elle été sous-estimée ou surestimée lors de cette expérience ? De quel pourcentage en valeur relative ?
Quel écart sur la mesure de la vitesse précédente sera susceptible de provoquer une erreur similaire ?
d) En effectuant ce type de calcul pour€différentes gouttes, on obtient les résultats suivants pour la charge de la goutte classés
par ordre croissant :
q (C)
1,60.10-19
3,20.10-19
4,80.10-19
6,40.10-19
8,00.10-19
…
Que peut-on en déduire comme propriété fondamentale de la charge électrique ?
e) En pratique, quel phénomène rend l’équilibre des forces difficile à observer sur de si petites particules ?
4) On s’intéresse à l’affirmation suivante extraite du texte précédent : « La résultante de ces trois forces est donc très rapidement
compensée par le frottement avec l’air ».
L’étayer en calculant numériquement un temps caractéristique de l’équation différentielle du 2).
5) Pour pallier aux difficultés rencontrées dans la méthode précédente consistant à immobiliser les gouttelettes, on propose un
nouveau protocole :
* On mesure la norme de la vitesse v1 d’ascension de la goutte sous l’action du champ électrique E.
* On mesure la norme de la vitesse v2 de la goutte en chute libre en l’absence de champ.
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Montrer que l’on peut en déduire la charge q de la goutte en fonction de ρh, ρa, g, η, v1, v2 et E.
6) Une dernière méthode consiste à mesurer la norme v1 de la vitesse d’ascension de la goutte sous l’action du champ électrique
vers le bas, et la norme v2 de la vitesse de chute lorsque la polarité du champ a été inversée et est donc dirigé vers le haut.
En déduire l’expression de la charge q de la goutte en fonction de ρh, ρa, g, η, v1, v2 et E.
II Modélisation d’un oscillateur
!
Soit un point matériel de masse m, en mouvement dans le champ de pesanteur g uniforme.
1) Etude énergétique d’un oscillateur
!
a) Définir l’énergie potentielle associée à une force F . Pour une force de rappel élastique de constante k, déterminer
l’expression de l’énergie potentielle en fonction de l’écart x à €
la position d’équilibre, à une constante additive près.
b) On considère un mouvement conservatif de m sur l’axe horizontal Oy, autour d’une position d’équilibre Yo, avec l’énergie
potentielle Ep(y) = Eo + α (y-Yo)2, où α est une constante positive. Etablir l’équation différentielle du mouvement et en déduire
€
qu’il s’agit d’oscillations harmoniques dont on précisera l’expression de la période.
c) Application : considérons le dispositif horizontal de la figure suivante.
m
y
Les ressorts sont identiques, de raideur k et de longueur à vide Lo, tandis que les points d’attache sont distants de 2Lo.
Exprimer Ep(y) si y désigne l’écart à la position d’équilibre, et calculer la période T o des oscillations de m si m = 200 g et k =
40,0 N/m.
d) On envisage
d’un frottement fluide d’intensité proportionnelle à la vitesse de m par rapport à l’axe du
! l’existence
!
mouvement : F = −βmv où β est une constante positive. Donner la dimension ou l’unité SI de β.
e) Etablir l’équation différentielle du mouvement. Quelle est la valeur numérique maximale de β permettant les oscillations de
m?
€
2) Modélisation
d’un dispositif expérimental
a) On dispose d’un banc à coussin d’air rectiligne (Ox), incliné par une cale de hauteur h d’un angle α par rapport à
l’horizontale, selon la figure ci-dessous. Sur ce banc, un aimant est fixé à l’origine O, et un autre aimant, de masse m, est fixé
sur un palet mobile sans frottement :
Les aimants sont orientés de telle sorte qu’ils se repoussent mutuellement. La possibilité pour m d’osciller
! autour d’une position
d’équilibre résulte de la compétition entre la répulsion électromagnétique, réduite à une force notée F , prépondérante lorsque
les aimants sont proches, et le poids, qui devient prépondérant lorsque la distance augmente.
Faire un bilan des forces à l’équilibre sur un schéma.
b) Sans connaissances préalables en électromagnétisme, on cherche dans la suite à vérifier si la force électromagnétique agissant
€
!
⎛ x o ⎞n !
dans cette expérience peut être modélisée par une loi de la forme : F (x) = k ⎜ ⎟ ex , avec k > 0 et n entier naturel. Exprimer
⎝ x ⎠
dans cette hypothèse la position d’équilibre xe en fonction de xo, k, m, g, L, h et n dans le cas des petits angles (h <<L ).
Cette approximation sera toujours utilisée dans la suite.
c) On mesure xe pour différentes cales, puis on représente Ln(h) en fonction de Ln(xe/xo). En prenant xo = 1,00 m, déduire des
mesures ainsi représentées ci-dessous les valeurs de n et k. €
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On donne : L = 120 cm ; m = 189 g ; g = 9,81 m.s-2.
valeurs correspondantes :
ln(xe / xo)
ln(h)
– 2,19
– 4,61
– 2,39
– 3,91
– 2,56
– 3,22
– 2,63
– 2,81
– 2,73
– 2,53
– 2,76
– 2,30
– 2,81
– 2,12
d) Exprimer littéralement l’énergie potentielle totale Ep(x) de m, à une constante additive près, en fonction de x, xo, k, m, g, L, h
et n.
⎛ x ⎞n
kx n
Montrer qu’elle se met sous la forme : E p (x) = k ⎜ o ⎟ x + o x1−n + cte .
n −1
⎝ x e ⎠
e) Lorsqu’on se limite à des oscillations de faible amplitude autour de la position d’équilibre, on rappelle qu’on peut utiliser
2
( x − x e ) ⎛⎜ d 2 E p ⎞⎟ .
pour l’énergie potentielle un développement de Taylor d’ordre 2 : E p (x) ≈ E p ( x = x e ) +
⎜ dx 2 ⎟
2
€
⎝
⎠x =x e
1
2
En déduire une expression de E p (x ≈ x e ) sous la forme : K ( x − x e ) + cste ; le détail de la constante additive n’est pas
2
demandé, mais on exprimera la constante K en fonction de xe, xo, k et n.
€
f) Justifier qu’au voisinage de l’équilibre, la résultante des forces subies par m équivaut à une force de rappel élastique dont on
précisera la constante de raideur équivalente.
€
g) Toutes choses égales par ailleurs, montrer que la€période T des petites oscillations autour de l’équilibre est proportionnelle à
une puissance de h que l’on déterminera ; en déduire une méthode de mesure de n que l’on décrira succinctement.
III Interaction entre atomes de gaz nobles
On veut comprendre l’évolution de quelques propriétés physiques des gaz nobles de la dernière colonne de la classification périodique
des éléments : hélium, néon, argon, krypton et xénon, notés par la suite par leurs symboles chimiques : He, Ne, Ar, Kr et Xe. Ces corps
sont sous forme gazeuse à pression et température ambiante et liquide à des températures très basses. Le tableau ci-dessous récapitule
certaines de leurs caractéristiques :
Atome
Masse molaire (g.mol-1)
Masse volumique (kg.m-3)
Température d’ébullition (K)
σ (Å)
ε/kB (K)
He
4,00
125
4,20
2,63
5,46
Ne
20,0
1,21.103
27,1
2,77
36,8
Ar
40,0
1,39.103
87,3
3,40
117
Kr
83,8
2,41.103
120
3,60
165
Xe
131
3,06.103
165
4,06
218
Pour modéliser l’interaction entre deux atomes d’un gaz noble, on utilise le potentiel de Lennard-Jones (1929) dont l’expression est :
⎡⎛ σ ⎞12 ⎛ σ ⎞6 ⎤
E p 4ε⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥
⎝ r ⎠ ⎥⎦
⎢⎣⎝ r ⎠
où r représente la distance entre les atomes. Les valeurs de ε et de σ sont regroupées dans le tableau précédent. On a l’habitude de
donner les valeurs de σ en Å = 10-10 m (Ångström) et celle de ε sous la forme ε/kB qui s’exprime en Kelvin avec kB = 1,38.10-23 J.K-1 la
constante de Boltzmann. Dans ce potentiel, le terme en 1/r6 correspond aux interactions de Van der Waals ; le terme en 1/r12 est un
€
potentiel empirique qui traduit le fait que les atomes
ne peuvent pas s’interpénétrer. On veut exploiter ce potentiel pour comprendre
l’évolution de quelques propriétés physiques des gaz nobles. Pour cela, on considère le modèle suivant :
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l’interaction entre deux plus proches voisins dérive de l’énergie potentielle de Lennard ;
un atome M de masse m est en interaction avec ses plus proches voisins. Pour simplifier le traitement mathématique, on ne
considère que le plus proche voisin distant de r ;
• en phase liquide, les atomes sont mobiles mais ne peuvent sortir du puits de potentiel créé par son plus proche voisin ;
• en phase gazeuse, les atomes sont mobiles et libres de s’éloigner indéfiniment ;
3
• l’énergie cinétique des atomes est reliée à la température par la relation Ec = k BT .
2
On rappelle la valeur du nombre d’Avogadro : Na = 6,02.1023 mol-1.
•
•
1) Etude de la courbe d’énergie potentielle
€
a) La courbe d’énergie potentielle admet
! un minimum. Déterminer sa position rmin et sa valeur Emin.
b) Déterminer la force d’interaction f qui dérive de cette énergie potentielle.
c) Dans quel domaine de distance cette force est-elle attractive, répulsive, nulle ?
2) Etude de la température d’ébullition
€3
a) Exploiter la relation Ec = k BT pour estimer la température T1 permettant l’atome étudié de sortir de son puits de potentiel.
2
b) Justifier que cette température est une bonne estimation de la température d’ébullition. La calculer pour chacun des corps
considérés. Conclure.
€ volumique
3) Etude de la masse
a) Justifier que la distance inter-atomique est proche de rmin en phase
liquide. En déduire le nombre d’atomes par unité de volume en phase
liquide.
b) En déduire la masse volumique de la phase liquide de chacun des corps
considérés. Conclure.
4) Etude qualitative de l’évolution de la masse volumique avec la température
On donne le portrait de phase d’une particule mobile dans le potentiel de
Lennard-Jones sur la figure ci-contre.
a) Décrire l’évolution des courbes lorsque l’énergie mécanique du système
augmente.
b) A quel type d’état correspondent les courbes fermées ? ouvertes ?
c) Dans le cas de courbes fermées, comment évolue la distance moyenne du
système à son plus proche voisin avec son énergie.
d) En utilisant la relation énergie cinétique – température donnée
précédemment, quelle prédiction qualitative peut-on faire sur l’évolution de
la distance moyenne entre atomes dans un liquide en fonction de la
température ?
e) En déduire l’évolution qualitative de la masse volumique de la phase
liquide avec la température prédite par ce modèle ?
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