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Chapitre
28
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Dans le chapitre précédent, nous avons vu qu'un circuit
électrique immobile plongé dans un champ magnétique
variable est le siège d’un phénomène d’induction ; plus
précisément, la loi de Faraday nous a appris que c'est la
variation du flux magnétique à travers le circuit qui induit
l’apparition d’une force électromotrice en son sein.
Plan
Le cours
1134
1. Approche expérimentale
1134
2. Mise en équation,
couplage électromécanique
1139
3. Étude énergétique,
conversion de puissance
1155
4. Applications de l’induction
dans la vie courante
1160
L’essentiel
1174
Les applications
1176
Nous allons maintenant découvrir qu’un phénomène
d’induction est également observé lorsqu’un circuit est mis
en mouvement dans un champ magnétique stationnaire
(ou permanent, c’est-à-dire indépendant du temps). Bien
que dans cette nouvelle configuration le champ magnétique ne varie pas, l’apparition d’une force électromotrice
induite se comprend très simplement à partir de la loi de
Faraday : le mouvement du circuit au sein de la zone de
champ provoque en effet une variation du flux magnétique
qui le traverse.
Il existe ainsi deux possibilités pour induire du courant dans
un circuit électrique :
• placer le circuit dans un champ magnétique variable, comme
nous l’avons vu au chapitre 27 ;
• ou déplacer le circuit dans un champ magnétique stationnaire ; nous verrons d'ailleurs que cette configuration est
parfois équivalente à la précédente par changement de
référentiel.
Cette nouvelle facette du phénomène d’induction donne
lieu à de nombreuses applications dans la vie courante,
aussi variées que le haut-parleur et le microphone électrodynamiques, la guitare électrique, le moteur à courant
continu, ainsi qu’à un ingénieux système de freinage sans
contact dit « par courants de Foucault ».
1133
Le cours
1. AÖÖÙÊ« øÖÙ®ÃÄã½
1.1 Circuit en mouvement au voisinage d’un aimant immobile
• M®Ý Ä ò®Ä ½'®Äçã®ÊÄ
La première expérience d'induction envisagée au
chapitre 27 (§ 2.1) était celle d'un aimant droit
s'approchant rapidement d'un circuit électrique
immobile, formé d'une bobine plate en série avec
une résistance. Dans cette expérience emblématique de l'induction, l'aimant mobile plonge la
bobine dans un champ magnétique variable, ce qui
induit l'apparition d'une force électromotrice en
son sein (figure 1.a). Reprenons maintenant ce
dispositif mais, cette fois-ci, immobilisons l’aimant
et mettons plutôt la bobine en mouvement au
voisinage de ce dernier (figure 1.b) : nous constatons qu'il apparaît de nouveau une f.é.m. induite
aux bornes de la bobine et que cette f.é.m. est
exactement la même que dans la configuration de
la figure 1.a. L'induction d'un courant dans un
circuit ne nécessite donc pas obligatoirement un
champ magnétique variable, mais peut se produire
dans un champ stationnaire, à condition que le
circuit soit en mouvement.
• R½ã®ò®ã ç Ö«ÄÊÃÄ '®Äçã®ÊÄ
Ces deux configurations présentent un point
commun évident : elles sont équivalentes par
changement de référentiel, la seconde étant
identique à la première si on se place dans le
référentiel de la bobine. Puisque la f.é.m. mesurée
est la même dans les deux expériences, nous en
déduisons que c'est le mouvement relatif entre la
bobine et l'aimant qui conditionne entièrement le
phénomène d'induction.
Ainsi, il n'existe pas deux phénomènes d'induction
fondamentalement distincts, mais deux configurations distinctes du point de vue de l'observateur,
qui sont en réalité équivalentes pour décrire le
phénomène. Nous dirons qu'il y a relativité du
phénomène d'induction.
La configuration d'un circuit fixe dans un champ magnétique variable est souvent appelée induction de
Neumann, en hommage à l'allemand Franz Ernst Neumann qui publia au milieu du XIXème siècle une
théorie mathématique de l'induction. La configuration d'un circuit mobile dans un champ stationnaire est
quant à elle appelée induction de Lorentz, en hommage au néerlandais Hendrik Antoon Lorentz qui
obtint en 1902 le prix Nobel pour ses travaux sur le magnétisme et ses aspects microscopiques. Cette
terminologie n'est pas exigible et nous ne l'utiliserons plus par la suite.
1134 ∙ Magnétisme et Induction
28
• RÍ½ ç ¥½çø Ã¦Äã®Øç - LÊ® FÙù
Lors de l'étude de l'induction au sein d'un circuit fixe dans un champ variable, nous avons vu que la f.é.m.
induite e dépend de la variation du flux magnétique Φ à travers le circuit et est donné par la loi de Faraday :
e = - dΦ/dt. Cette loi s'applique en particulier à l'expérience de la figure 1.a où l'aimant s'approche de la
bobine. La loi de Faraday s'applique-t-elle également à l'expérience de la figure 1.b où c'est la bobine qui
s'approche de l'aimant immobile ? Si nous reprenons ces deux expériences, nous constatons que dans chacune
d'elles, le flux du champ magnétique de l'aimant à travers la bobine varie :
• dans la manipulation de la figure 1.a, la variation de flux est due à la variation de champ magnétique liée au
mouvement de l’aimant (figure 2.a) ;
• dans celle de la figure 1.b, le champ magnétique de l'aimant est stationnaire mais non uniforme, et c’est le
déplacement du circuit au sein de ce champ qui génère la variation de flux (figure 2.b).
De plus, le mouvement relatif entre la bobine et l'aimant étant le même dans les deux configurations, les
variations du flux magnétique sont les mêmes dans les deux expériences. Puisque les f.é.m. mesurées sont
également les mêmes, nous pouvons affirmer que l'expérience 1.b vérifie elle aussi la loi de Faraday (figure 2.c).
Dans ce raisonnement, nous avons négligé le champ magnétique propre, créé par le courant induit dans
la bobine ; nous avons donc négligé l'auto-induction qui s'ajoute à l'induction liée au champ de l'aimant.
Notez que cette hypothèse simplificatrice ne change rien à nos conclusions.
Toutes les expériences montrent que la validité de la loi de Faraday ne se limite à cet exemple particulier et
nous admettrons sa généralité : quelle que soit la configuration, le phénomène d'induction au sein d'un
circuit est fondamentalement lié à une variation du flux magnétique qui le traverse et la loi de Faraday est
applicable. Seule la cause de la variation du flux diffère d’une configuration à l'autre.
Si la loi de Faraday est valable, la loi de Lenz l'est également, puisqu’il s'agit d’un résultat qualitatif
découlant directement de la loi de Faraday. Ainsi, dans cette nouvelle situation d’induction, le courant
induit a toujours comme effet de modérer les variations de flux magnétique à travers le circuit.
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1135
Le cours
• B®½Ä
Principe général du phénomène d’induction
• L'apparition d'un phénomène d’induction au sein d'un circuit est fondamentalement liée à une variation
du flux magnétique qui le traverse.
• L'induction peut être observée en plongeant un circuit immobile dans un champ magnétique variable,
ou en déplaçant un circuit dans un champ magnétique stationnaire.
• Ces deux configurations étant équivalentes par changement de référentiel : on dit qu’il y a relativité du
phénomène d’induction.
• La loi de Faraday et la loi de Lenz sont applicables dans les deux configurations.
La bobine étudiée ici a été translatée dans un
champ magnétique non uniforme ; remarquez bien que dans le cas d'un circuit
indéformable en translation pure, la non
uniformité du champ est impérative, sans quoi
le mouvement n'entraine aucune variation de
flux magnétique (figure 3). En revanche, les
expériences qui suivent montreront qu'une
variation de flux peut être obtenue dans un
champ uniforme à condition de mettre le
circuit en rotation (§ 1.2) ou de le déformer
(§ 1.3).
1.2. Circuit en rotation dans un champ magnétique stationnaire et uniforme
Considérons maintenant une bobine plate formée
de N spires rectangulaires, reliée à un résistor, et
plongée dans un champ magnétique stationnaire et
uniforme de direction horizontale. Observons alors
la tension à ses bornes à l’aide d’un oscilloscope :
tant qu’elle demeure fixe, aucune tension n’est
relevée à ses bornes (figure 4). Mais si, à l'aide d'un
système de fixation approprié, nous la mettons en
rotation à vitesse angulaire constante autour d'un
axe fixe vertical, nous constatons alors l'apparition
d'une f.é.m. induite qui oscille au cours du temps
(figure 5).
1136 ∙ Magnétisme et Induction
28
Exercice 1
Interprétation de l’induction au sein d’un circuit en rotation
1. Expliquer qualitativement l'apparition d'une f.é.m. induite oscillante dans ce circuit.
2. Analyser le phénomène dans le référentiel où la bobine est immobile et commenter, en faisant référence
aux configurations étudiées dans les chapitres précédents.
1. Bien que le champ soit stationnaire et uniforme,
la rotation modifie périodiquement l'angle φ entre
la direction du champ et le vecteur normal à la
surface Σ s'appuyant sur les spires de la bobine
(figure 6.a). Le flux magnétique à travers le circuit,
qui fait intervenir le produit scalaire entre le champ
et ce vecteur normal, varie donc périodiquement au
cours du temps et induit, d'après la loi de Faraday,
l'apparition d'une f.é.m. oscillante.
2. Le référentiel de la bobine est en rotation
uniforme autour d'un axe vertical par rapport au
référentiel du laboratoire. Dans ce référentiel, la
bobine plate est bien entendu immobile, mais le
champ magnétique est variable, ce qui explique le
phénomène d’induction (figure 6.b). On peut
remarquer qu’il s'agit d'un champ uniforme et
tournant, comme celui que nous avons étudié au
§ 3.4 du chapitre 26, puis dans l'exercice 5 du
chapitre 27 ; cet exercice est d'ailleurs l'exact
analogue de la situation étudiée ici (à l'exception de
la forme des spires).
L'induction d'un courant périodique par un
champ tournant constitue le principe de
fonctionnement des alternateurs.
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1137
Le cours
Voici ce qu’il faut retenir :
Principe de l’induction au sein d’un circuit en rotation dans un champ stationnaire
• Un circuit en rotation dans un champ magnétique stationnaire est le siège d’un phénomène d’induction,
le changement d'orientation du circuit produisant une variation de flux magnétique même si le
champ est uniforme.
• Cette configuration est équivalente, par changement de référentiel, à celle d'un circuit fixe plongé dans un
champ magnétique tournant.
Ce dispositif expérimental a déjà été envisagé au chapitre 26, § 1.1, mais dans un autre contexte : la spire
était alors alimentée par un générateur et mise en mouvement sous l'effet des actions de Laplace. La
situation étudiée ici est différente puisque la spire n'est pas alimentée et que c'est son mouvement sous
l'effet d'un opérateur extérieur qui provoque, par induction, l'apparition d'un courant électrique.
2.3. Rail de Laplace
Intéressons-nous enfin à une expérience un peu plus complexe mettant en jeu un circuit déformable, dont une
partie seulement est mobile : considérons pour cela un rail horizontal formé de deux barres métalliques
parallèles, fixes dans le référentiel d’étude ; ces barres sont reliées électriquement, d’un côté par une résistance
R, de l’autre par une tige conductrice que nous allons déplacer parallèlement au rail (figure 7.a). L’ensemble est
plongé dans un champ magnétique stationnaire et uniforme dirigé verticalement, créé par exemple par un
aimant en U.
Nous reconnaissons le dispositif du « rail de Laplace » étudié au chapitre 26 (§ 1.1, figure 1). Toutefois,
dans le chapitre 26, le rail était alimenté par un générateur et le mouvement de la tige était dû aux seules
actions de Laplace ; la situation étudiée ici est différente puisque le rail n'est pas alimenté (il est relié à
gauche à une simple résistance) et que la tige est mise en mouvement par un opérateur extérieur. Nous
comparerons ces deux configurations au paragraphe 2.
1138 ∙ Magnétisme et Induction
28
Observons alors à l’oscilloscope la tension qui apparait aux bornes de la résistance R lorsque nous déplaçons la
tige le long du rail, en veillant à bien maintenir le contact électrique. Nous constatons que :
• Le mouvement de la tige conduit à l'apparition d'une tension à l’oscilloscope, dont le signe dépend du sens
du mouvement (figures 7.a & 7.b). Il apparait donc une f.é.m. et un courant induits dans le circuit.
• Cette expérience est un peu différente des précédentes car le circuit est constitué de différentes parties
mobiles les unes par rapport aux autres et cette configuration ne présente donc pas d’équivalent où le circuit
serait fixe dans un champ variable. En revanche, nous retrouvons un point commun avec toutes les autres
expériences d’induction : le flux magnétique à travers le circuit varie, car le déplacement de la tige conductrice
modifie l’aire de la surface plane délimité par cette tige, les deux portions de rail et la résistance (figures 7.c
& 7.d). Ce flux augmente ou diminue selon le sens du mouvement, d’où le changement de signe de la f.é.m.
et du courant induits, conformément à la loi de Faraday.
Voici ce qu’il faut retenir :
Principe de l’induction au sein d’un circuit déformable dans un champ stationnaire (rail de Laplace)
Un circuit déformable, dont une partie est mobile, plongé dans un champ magnétique stationnaire, est le
siège d’un phénomène d’induction. C’est la déformation du circuit qui produit une variation de flux
magnétique, même si le champ est uniforme.
2. M®Ý Ä Øçã®ÊÄ ç Ö«ÄÊÃÄ. CÊçÖ½¦ ½ãÙÊÃÄ®Øç
Après ces expériences introductives, il nous faut effectuer une étude théorique complète des situations
d'induction au sein d'un circuit en mouvement dans un champ stationnaire. Conformément au programme, les
circuits auxquels vous serez confrontés comprendront un circuit dont le mouvement sera nécessairement soit
une translation rectiligne, comme la tige glissant sur le rail de Laplace présenté au § 1.3, soit une rotation
autour d'un axe fixe, comme la bobine plate présentée au § 1.2. C'est pourquoi nous vous proposons d'étudier
en détail ces deux dispositifs, qui nous serviront ensuite de référence pour aborder les exercices.
2.1. Exemple de référence pour les circuits en translation : le rail de Laplace
Commençons par étudier l'expérience de la tige conductrice en mouvement sur un rail de Laplace et soumise à
un champ magnétique vertical descendant créé par un aimant en U. Outre les barres métalliques parallèles
composant le rail, distantes d'une longueur l, le dispositif comporte une résistance R et une tige de résistance r,
de masse m et de longueur légèrement supérieure à l, susceptible de glisser sans frottements sur le rail.
Le champ magnétique est stationnaire ; par soucis
de simplification, il sera également supposé
uniforme entre les deux barres du rail, dans toute la
zone où la tige se déplace (figure 8). Nous allons ici
nous intéresser au cas où la tige est lancée en
translation vers la droite par un opérateur qui
n'intervient plus par la suite. Nous admettrons que
le mouvement est une translation rectiligne
parallèlement au rail et noterons v0 la norme de la
vitesse initiale de la tige. Le circuit ne comportant
aucun enroulement, son champ propre est très
faible devant le champ magnétique extérieur et
l'auto-induction sera négligée.
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1139
Le cours
• AÄ½ùÝ Øç½®ãã®ò ÖÙ½®Ã®Ä®Ù
Vous le savez, l’étude d'une situation d'induction
doit commencer par une analyse qualitative qui
met en évidence l'origine du phénomène d'induction, en identifiant la cause de variation du flux
magnétique à travers le circuit. Cette analyse doit
être complétée, si possible, par une prédiction du
sens de la f.é.m. induite ou du courant induit, grâce
à la loi de Lenz.
Commençons par orienter arbitrairement le contour
(C) du circuit dans le sens direct par rapport au
champ magnétique, de façon à obtenir un flux
magnétique algébrique positif (figure 9). Ce flux est
calculé à travers la surface Σ délimitée par (C), c’està-dire par les deux barres fixes du rail, la résistance
à gauche, et la tige mobile à droite.
Reprenons maintenant le raisonnement effectué au
§ 1.3 : compte tenu du mouvement initié par
l'opérateur, la tige se déplace vers la droite et l'aire
de la surface Σ augmente ; il en résulte une augmentation du flux magnétique à travers le circuit,
donc l'apparition d'une f.é.m. induite e et d'un
courant induit i. Or, d'après la loi de Lenz, nous
savons que ce courant doit créer un champ
magnétique de sens opposé à celui de l'aimant, afin
de modérer l'augmentation du flux : nous pouvons
donc prédire qu'avec l'orientation choisie, i sera
négatif (figure 10).
• PÙÃãÙ¦
Les phénomènes étudiés étant liés au mouvement
de la tige, nous devons impérativement commencer
notre étude par un paramétrage : il nous faut
choisir un système d'axes et des coordonnées pour
le barycentre G de la tige.
Puisque d’après l’énoncé il s’agit d’un mouvement
de translation rectiligne parallèlement au rail, nous
choisissons naturellement un repère cartésien
(Oxyz), avec (Ox) colinéaire au rail et dirigé vers la
droite (figure 11) ; en plaçant l’origine O à la
position initiale de G, nous avons :
G
G
rG = x (t ) ex avec x0 = 0 et x 0 = v 0.
Nous choisissons Gensuite (Oz) vertical descendant,
G
de façon à avoir B = B0e z , et enfin (Oy) colinéaire à
la tige, dirigé de M vers N, de façon à obtenir un
trièdre direct.
1140 ∙ Magnétisme et Induction
28
À ce stade, si cela n'a pas été fait lors de l'étude qualitative, il faut orienter le contour (C) du circuit.
Comme nous l'avons expliqué dans les précédents chapitres, il est toujours préférable de choisir cette
orientation dans le sens direct par rapport aux axes du repère ; ici, l'orientation choisie plus haut est bien
directe relativement à (Oz) et le sens arbitraire du courant le long de la tige, de M vers N, correspond bien
au sens positif de l'axe (Oy).
• ÉØçã®ÊÄ ½ãÙ®Øç ç ®Ùç®ã
Plaçons-nous à un instant t quelconque où la tige se trouve à la distance x(t) de l'origine et calculons la f.é.m.
induite e(t) dans le circuit à cet instant. Il nous faut pour cela déterminer le flux Φ(t) à travers la surface Σ
s'appuyant sur le contour du circuit, en rose sur la figure 12, puis appliquer la loi de Faraday.
Or, le calcul du flux présente une petite difficulté : si le champ magnétique est uniforme dans la zone où se
déplace la tige (entrefer de l’aimant en U), il ne l’est pas dans la partie gauche du circuit, là où se trouvent la
résistance R et les fils de connexion. Nous pouvons cependant contourner cette difficulté en décomposant la
surface Σ en deux parties (figure 12) :
• Sur la première, notée Σ0 et correspondant aux
abscisses x négatives, le champ magnétique n’est
pas uniforme. Toutefois, comme il est stationnaire
et que cette portion de circuit est indéformable, le
flux magnétique Φ0 à travers Σ0 ne dépend pas du
temps.
• La seconde, notée Σ’, est plane et correspond aux
G G
abscisses x positives ; sa normale est n = ez et son
aire S’ s’écrit :
S’(t) = l·x(t)
Comme elle est entièrement plongée dans un
champ magnétique uniforme, nous pouvons
aisément exprimer le flux Φ’ qui la traverse :
G
G
Φ′ (t ) = B0ez ⋅ S ′ (t ) ez
soit :
Φ ′ (t ) = B0l x (t )
Ainsi, le flux Φ à travers la surface s’appuyant sur l’ensemble du circuit s’écrit finalement :
Φ (t ) = Φ0 + Φ′ (t )
soit :
Φ (t ) = Φ0 + B0l x (t )
Notons que Φ est positif et augmente au cours du temps à mesure que la tige se déplace vers la droite.
Il nous reste maintenant à en déduire la f.é.m. induite en appliquant la loi de Faraday, c’est-à-dire en dérivant
l’expression que nous venons d’obtenir pour Φ(t). Certes, le terme Φ0 est inconnu, mais cela ne pose aucun
problème car il est indépendant du temps et va donc disparaître lors de la dérivation. Nous avons ainsi :
e (t ) = −
dΦ
dt
d′ où :
e (t ) = −B0 l x (t )
qui est < 0 si x > 0
Retenez que seules les variations du flux magnétique à travers le circuit sont utiles au calcul de la f.é.m.
induite. De ce fait, si le flux lui-même comporte un terme constant dont l’expression semble difficile,
voire impossible à obtenir, il est inutile de chercher à le calculer car il disparaitra lors de la dérivation.
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1141
Le cours
Il faut maintenant, comme au chapitre 27, représenter le circuit électrique équivalent, qui comprend
la f.é.m. induite e, la résistance r de la tige, ainsi que
tous les dipôles réels du circuit ; il n'y a ici que la
résistance R et nous aboutissons au circuit équivalent de la figure 13.a. La f.é.m. e et le courant induit
i doivent être orientés dans le même sens que (C).
L'auto-induction a été négligée, ce qui est
légitime car le circuit ne comporte pas de
générateur et n'est pas bobiné. Pour la
prendre en compte, il faudrait ajouter une
inductance L dans le modèle électrique, ce qui
conduirait au circuit de la figure 13.b.
Il ne nous reste plus qu'à appliquer la loi des mailles dans ce circuit, ce qui donne :
(R + r ) i (t ) = e (t )
soit :
(R + r ) i (t ) = −B0 l x (t )
Toute cette étude électromagnétique (loi de Faraday, circuit électrique équivalent, loi des mailles) ressemble
beaucoup à ce que nous avions l'habitude de faire au chapitre 27 et aboutit à une équation électrique qui doit
nous permettre de calculer le courant i induit. Toutefois, contrairement au cas d'un circuit fixe plongé dans un
champ variable connu, l'expression de la f.é.m. reste partiellement indéterminée car elle fait intervenir la vitesse
de la tige qui n'est pas connue à tout instant (voyez le tableau ci-dessous).
Type d'induction
Circuit fixe plongé dans un champ
magnétique variable connu
Circuit mobile plongé dans un champ
magnétique stationnaire
Bobine plate dans un champ tournant
(exercice 5 du chapitre 27)
Tige lancée sur un rail de Laplace
Exemple de dispositif
Expression du flux
Φ (t ) = Nπa2B0 cos (ωt )
Expression de la f.é.m.
e (t ) = Nπa2B0ω sin(ωt )
Équation électrique
Bilan
i (t ) =
e (t )
R
=
Nπa2B0ω
sin(ωt )
R
L'équation électrique suffit à
déterminer le courant induit
1142 ∙ Magnétisme et Induction
Φ (t ) = Φ0 + B0l x (t )
e (t ) = −B0 l x (t )
i (t ) =
e (t )
R+r
=−
B0l
x (t )
R+r
L'équation électrique ne suffit pas à
déterminer le courant induit car x (t ) est
inconnu (seul x 0 = v 0 est connu)
28
Ainsi, l'équation électrique ne permet pas, à elle seule, de déterminer le courant induit : il faut nécessairement
lui adjoindre une équation mécanique rendant compte du mouvement du circuit sous l'effet des différentes
forces mises en jeu.
Nous savons que x (t ) > 0 , tout au moins au début du mouvement, car la tige a été lancée vers la droite.
L'équation électrique montre donc que i(t) < 0, ce qui est conforme à notre prédiction qualitative basée
sur la loi de Lenz !
• ÉØçã®ÊÄ ÃÄ®Øç ç ®Ùç®ã.
L'étude mécanique ne devrait pas vous poser de difficulté : en effet, elle a déjà été réalisée dans le chapitre 26,
§ 2.1, où ce dispositif avait servi de référence pour l'étude des actions de Laplace sur un circuit en translation !
Il faut commencer par le bilan des actions subies par la tige (figure 14), comprenant :
• Le poids, qui équivaut à une Gunique force verticale
G
appliquée au barycentre G : P = mg.
• Les actions de contact sur le rail en M et N, qui
G
G
sont assimilables à deux forces F1 et F2 respectivement appliquées en M et N (les contacts sont
ponctuels) et qui, en l'absence de frottements,
sont orthogonales au rail.
• Les actions de Laplace, dont nous n'allons ici
calculer que la résultante puisque le circuit est en
translation :
⎛
⎞
⎜⎜
JJJJG G
G G
G ⎟⎟⎟ G
G
F L = ∫ i dlP ∧ B0 = i ×⎜⎜⎜ ∫ dlP ⎟⎟⎟ ∧ B0 = i MN ∧ B0
⎜⎜ P ∈Tige
⎟⎟
P ∈ Tige
⎟⎠
⎜⎝P : M→ N
Soit :
G
G
G
F L = i (l e y ) ∧ (B0 e z ) ⇒
G
G
F L = i l B0 e x
G
G
F L est colinéaire au rail, dirigé vers la droite si i > 0, d'où la direction et le sens de F L sur la représentation
conventionnelle de la figure 14. Par ailleurs, la tige étant rectiligne et le champ magnétique uniforme,
nous savons d'après
un résultat établi au § 1.6 du chapitre 26, que les actions de Laplace équivalent à une
G
unique force F L appliquée au milieu de [MN] qui est ici confondu avec G ; cette propriété n'est pas
réellement utile pour la suite des calculs mais elle justifie la représentation d'une force unique appliquée
en G sur le schéma.
Pour obtenir une équation mécanique sur la position de la tige, il faut maintenant appliquer le théorème du
centre d’inertie à la tige, puis le projeter sur l'axe (Ox). Comme nous l'avons expliqué au chapitre 26, le
théorème du moment cinétique n'est en revanche d'aucune utilité car aucune rotation de la tige n’est envisagée. Nous obtenons :
G
G
G
G G
d2 r
G
m 2G = F ext = F L + F1 + F2 + mg
m x (t ) = i (t ) l B0
d'où, en projetant :
dt
Ce type d'équation différentielle du second ordre est récurrente en mécanique et est appelée équation du
mouvement : c'est elle qui, par intégration, permet théoriquement de calculer la coordonnée x(t) du barycentre
de la tige. Toutefois, contrairement au cas d'un solide exclusivement soumis à des actions connues (poids,
réaction de support, force de frottement fluide, rappel d'un ressort...), l'équation du mouvement obtenue ici
n'est pas intégrable car son second membre possède une dépendance en temps inconnue, via le courant i(t)
qui intervient dans la résultante des actions de Laplace.
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1143
Le cours
Attention à l'erreur grossière qui consiste à omettre la dépendance en t dans l'écriture de l'équation puis
à intégrer par rapport au temps comme si le courant i était constant :
m x = i l B0
⎯⎯
⎯ ⎯ ⎯→
i = constante
m x = i l B0 × t + m v 0
• CÊçÖ½¦ ½ãÙÊÃÄ®Øç. RÝÊ½çã®ÊÄ ç ÝùÝãÃ ÊçÖ½.
L'une des conclusions des calculs qui précèdent est manifestement que les équations électrique et mécanique
ne peuvent pas être résolues indépendamment pour trouver le courant induit i et la position x du barycentre du
circuit : elles sont au contraire couplées, i et x figurant conjointement dans chacune des deux équations.
Ce couplage entre les propriétés électrique et mécanique est commun à tous les circuits mobiles dans un
champ magnétique stationnaire ; on dit que l'induction réalise un couplage électromécanique au sein
du circuit.
Dans le cas particulier du rail de Laplace étudié ici, la position x(t) n'apparait pas explicitement dans les équations, que l'on peut écrire comme un système couplé en i(t) et v (t ) = x (t ) :
⎧ (R + r ) i (t ) = −B l v (t )
⎪
⎪
0
⎪
⎪
⎨
d
v
t
(
)
⎪
⎪
⎪ m dt = B0 l i (t )
⎪
⎩
⎡⎢équation 1⎤⎥
⎣
⎦
⎡⎢équation 2⎤⎥
⎣
⎦
Ce système est relativement simple ; vous constaterez néanmoins, au gré des exercices, qu'il peut s'avérer plus
complexe, selon les dipôles présents dans le modèle électrique équivalent (condensateur ou inductance
modélisant l'auto-induction) et les forces subies par les parties mobiles du circuit (force de rappel d'un ressort
ou force de frottement fluide). De ce fait, nous vous proposons une méthode de découplage de ce type de
système, qui fonctionnera à coup sûr, quelle que soit la situation :
Méthode 58 Découplage du système électromécanique caractéristique de l’induction
Isoler l’intensité i dans l’équation mécanique : c’est toujours possible car elle n’y intervient qu’une seule
fois, via la résultante ou le moment résultant des actions de Laplace.
Injecter cette expression de i dans l’équation électrique.
Résoudre l’équation obtenue, qui porte exclusivement sur la variable de position du circuit. Déterminer
les constantes d’intégration grâce aux conditions initiales sur cette variable.
Replacer cette solution dans l’expression de l’intensité afin d’exprimer cette dernière.
Appliquons cette démarche à notre exemple. Isolons l’intensité i dans l’équation mécanique [2] puis injectons là
dans l’équation électrique [1] :
⎡⎢2⎤⎥
⎣ ⎦
⇒
⎛ m ⎞ dv (t )
i (t ) = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎜⎝ B0l ⎟⎠ dt
⎡⎢1⎤⎥
⎣ ⎦
⇒
⎛ m ⎞ dv (t )
(R + r )× ⎜⎜⎜⎜ B l ⎟⎟⎟⎟
⎝
0
⎠ dt
= −B0 l v (t ) ⇒
dv (t )
dt
+
m (R + r )
1
v (t ) = 0 avec τ =
2
τ
(B0l)
Nous obtenons une équation différentielle linéaire, du premier ordre et à second membre nul. Compte tenu de
la condition initiale, la résolution est classique et conduit à :
v (t ) = v 0 e−t τ
1144 ∙ Magnétisme et Induction
28
La vitesse décroit exponentiellement à partir de sa
valeur initiale, imposée par l'opérateur, avec un
temps caractéristique τ d'autant plus court que B0
est élevé (figure 15.a). Les actions magnétiques
réalisent donc un freinage.
En l'absence de champ magnétique, la tige
aurait eu un mouvement de translation
rectiligne uniforme à la vitesse v0, les frottements ayant été négligés ; c'est d'ailleurs ce
que montre la limite de l'équation [2] lorsque
l'on fait tendre B0 vers zéro :
∀t dv/dt = 0, d'où v = v0 ∀t
Une nouvelle intégration donne alors :
x (t ) = v 0 τ (1− e−t τ )
On remarque que x ⎯⎯⎯
→ v 0τ : la tige se déplace
tτ
donc d'une distance finie égale à v0τ (figure 15.b).
Enfin, en réinjectant l'expression de v(t) dans
l'équation [1], il vient :
i (t ) = −
B0l v 0 −t τ
e
R+r
Ainsi, lors du lancement de la tige, le courant induit
prend subitement la valeur i0 = −(B0l v 0 ) (R + r )
avant de décroitre exponentiellement vers zéro
(figure 15.c).
La discontinuité de l’intensité i à t = 0 ne doit pas nous surprendre : l’auto-induction étant négligeable, il
n’y a pas d’inductance dans le circuit électrique équivalent, donc pas de continuité du courant a priori.
• AÄ½ùÝ Ý ÙÝç½ããÝ ÊãÄçÝ. RãÊçÙ ÝçÙ ½ ½Ê® LÄþ.
Concluons notre étude en tentant de mettre en évidence les spécificités du phénomène d'induction observées
dans cette expérience. Les résultats précédents montrent que :
1. Le champ magnétique permet de générer, au sein du circuit, une f.é.m. et un courant induits ; c'est le
phénomène d'induction à proprement parler.
2. Le champ génère également des actions mécaniques, les actions de Laplace, qui ont ici un effet de freinage
de la tige.
3. Ces effets électriques et mécaniques sont intimement liés ; l'induction et les actions de Laplace sont manifestement indissociables, le champ magnétique assurant un couplage électromécanique au sein du circuit.
4. L'ensemble de ces effets est d'autant plus notable que le temps τ est court, le freinage étant alors plus
rapide. Or, pour obtenir un temps τ qui soit court, il faut un champ magnétique intense et un circuit de
grande taille, de faible résistance et de faible masse.
Ceci est assez compréhensible : un champ intense et un circuit de grande taille permettent un flux magnétique élevé, donc une f.é.m. élevée. À f.é.m. fixée, une faible résistance permet d'obtenir un courant induit
élevé, donc des forces de Laplace élevées ; une faible masse, quant à elle, traduit une faible inertie, ce qui
facilite le freinage.
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1145
Le cours
5. Enfin, que le point de vue soit plus spécifiquement électrique ou mécanique, les conséquences de l'induction
tendent bien, conformément à la loi de Lenz, à modérer les variations de flux magnétique :
• D'un point de vue purement électromagnétique, le courant induit crée un champ magnétique de sens
opposé au champ extérieur, et modère l'augmentation du flux. C'est ainsi que nous appliquons la loi de
Lenz depuis son énoncé dans le chapitre 27.
• D'un point de vue mécanique, ce courant induit génère des forces de Laplace qui exercent un freinage sur
la tige ; ceci limite son déplacement vers la droite, initié par l'opérateur, et limite l'augmentation du flux.
Ainsi, le freinage exercé par les forces de Laplace était prévisible dès le début de l'étude en invoquant la loi
de Lenz ! Il peut d'ailleurs être déduit très simplement de la formulation la plus générale de la loi, selon
laquelle les effets produits par un phénomène d'induction s'opposent toujours à leurs causes, l'origine du
phénomène étant ici la mise en mouvement de la tige par l'opérateur.
Application de la loi de Lenz à un circuit mobile sans générateur
• Rappel de la loi : un phénomène d'induction tend toujours, par ses conséquences, à modérer les variations de flux magnétique qui l'ont engendré. Plus généralement, les effets produits par un phénomène
d'induction s'opposent toujours à leurs causes.
• Application possible de la loi : lorsque la cause première du phénomène d'induction est la mise en mouvement dans un champ magnétique stationnaire d'un circuit ne contenant pas de générateur, les actions
de Laplace liées au passage du courant induit ont toujours pour conséquence un freinage du circuit.
2.2. Variante : rail de Laplace avec générateur
Avant d'effectuer l'étude d'un circuit en rotation, nous allons reprendre sous forme d'exercice l'étude du rail de
Laplace, dans une configuration légèrement différente, dite « avec générateur ».
Il s'agit de la configuration proposée au chapitre 26, § 1.1, lorsque nous avons présenté pour la première
fois ce dispositif historique.
Exercice 2 Rail de Laplace alimenté par un générateur continu
Tous les paramètres du dispositif étant inchangés
par rapport à la configuration « sans générateur »
étudiée au paragraphe précédent, le rail est
désormais alimenté par un générateur de f.é.m. U
et de résistance interne R, muni d'un interrupteur.
Aucun opérateur extérieur n'agit plus sur la tige
qui est initialement immobile ; toutefois, on
constate qu'à la fermeture de l'interrupteur, la tige
acquiert un mouvement de translation parallèle au
rail (figure 16).
1. Expliquer la mise en mouvement de la tige ainsi
que l'apparition d'un phénomène d'induction.
Prévoir qualitativement le rôle de la f.é.m. induite.
2. Avec le même paramétrage que celui utilisé dans la configuration « sans générateur », déterminer le
système d'équations couplées vérifié par le courant i parcourant le circuit et la vitesse algébrique v de la tige
le long de l'axe (Ox).
1146 ∙ Magnétisme et Induction
28
3. Déterminer les lois i(t) et v(t) et les représenter graphiquement, en mettant en évidence une durée τ
caractéristique de l'évolution.
4. Quelles propriétés caractéristiques de l'induction a-t-on mis en évidence dans cette expérience ?
1. Lors de la fermeture de l'interrupteur, le générateur débite dans le rail un courant électrique qui
traverse la tige de M vers N et, compte tenu du
champ magnétique vertical descendant, génère des
actions de Laplace dirigées horizontalement vers la
droite (figure 17). De ce fait, la tige est mise en
mouvement vers la droite, ce qui provoque une
augmentation de l'aire de la surface Σ s'appuyant
sur le contour du circuit, d’où un phénomène
d'induction.
D'après la loi de Lenz, la f.é.m. induite doit s'opposer aux variations de flux magnétique à travers le circuit, donc
au déplacement de la tige. Ce déplacement étant dû au courant débité par le générateur via les actions de
Laplace, la f.é.m. induite doit être en opposition sur le générateur et modérer ainsi la valeur du courant
circulant dans le circuit.
Contrairement à la configuration « sans générateur », le courant circulant dans le circuit n'est pas lié au
phénomène d'induction. La f.é.m. induite ne fait que s'ajouter à celle du générateur et le courant résulte
de la superposition de ces deux f.é.m., ce qui apparaitra clairement lors de l'écriture de l'équation
électrique du circuit. Dans ce contexte, la notion même de courant induit n'a pas grande signification et il
ne faut pas axer l'analyse qualitative sur cette notion, mais plutôt sur la f.é.m. induite, en cherchant à
prévoir son sens réel et ses effets sur le dispositif.
2. Cherchons tout d'abord l’équation électrique du
circuit. Le schéma utile pour établir l'expression du
flux magnétique Φ(t) à travers le circuit est celui de
la figure 18.a ; il est quasiment identique à celui de
la figure 12 correspondant à la configuration « sans
générateur » car la géométrie et le paramétrage
sont les mêmes dans les deux configurations. Là
encore, nous pouvons découper la surface Σ en :
• Une surface Σ0, située à gauche de O, à travers la
quelle le flux magnétique, que nous noterons Φ0,
est constant ; en effet Σ0 est indéformable et
plongée dans un champ magnétique stationnaire.
• Une seconde surface Σ’, située à droite de O et
plongée dans un champ magnétique stationnaire
et uniforme, qui contribue au flux total par le
terme variable : Φ’ = B0 l x.
Ainsi, le flux à travers Σ s’écrit :
Φ(t) = Φ0 + B0 l x(t)
La loi de Faraday donne enfin :
e (t ) = −
dΦ
dt
d′ où :
e (t ) = −B0 l x (t )
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1147
Le cours
En revanche, compte tenu de la présence du générateur, le circuit électrique équivalent n'est plus celui de la
figure 13.a, mais celui de la figure 18.b. En lui appliquant la loi des mailles, nous obtenons :
(R + r ) i (t ) = U + e (t )
Cela conduit finalement à l'équation électrique :
(R + r ) i (t ) = U − B0 l x (t )
Comme toujours lorsqu'on réalise le schéma du circuit électrique équivalent, la f.é.m. induite e et le
courant i doivent impérativement être orientés dans le même sens que celui choisi pour orienter le
contour du circuit réel et calculer le flux magnétique. La f.é.m. induite est donc ici orientée dans le même
sens que celle du générateur ; il ne faudrait pas y voir une contradiction avec notre analyse qualitative
préliminaire car cette f.é.m. est algébrique : il suffit que e soit négative pour que la la f.é.m. induite soit bel
et bien en opposition sur le générateur.
Pour obtenir maintenant l’équation mécanique, il faut appliquer le théorème du centre d’inertie à la tige puis
le projeter sur l'axe (Ox) ; le dispositif étant mécaniquement le même que dans la configuration « sans générateur », cette étude est en tout point identique à celle que nous avons réalisée plus haut (revoyez en particulier
la figure 14) et redonne la même équation du mouvement :
m x (t ) = i (t ) l B0
Nous aboutissons donc finalement au système couplé suivant :
⎧⎪
⎪⎪
⎪⎨
⎪⎪⎪
⎪⎩
3. Résolvons par substitution : ⎡⎣⎢2⎤⎥⎦
(R + r ) i (t ) = U − B0 l v (t )
m
⇒
dv
(t ) = B0 l i (t )
dt
i (t ) =
⎡⎢équation 1⎤⎥
⎣
⎦
⎡⎢équation 2⎤⎥
⎣
⎦
m dv
(t ) ⎯⎯⎯⎯⎯→
On injecte dans
B0l dt
l'équation ⎡⎢1⎤⎥
⎣ ⎦
d'où
B0l
dv
1
1
t) + v (t) =
U = v∞
(
dt
τ
τ
m( R + r )
avec
τ=
m (R + r )
2
(B0l )
et
v∞ =
U
B0l
La tige étant initialement immobile, l'intégration de
cette relation donne :
v (t ) = v ∞ (1− e −t τ )
Puis, en réinjectant l'expression de v(t) dans
l'équation [1], nous obtenons :
i (t ) =
B0l v ∞ −t τ
e
R+r
⇒
i (t ) =
U
e −t τ
R+r
Les lois i(t) et v(t) sont représentées sur la figure 19.
1148 ∙ Magnétisme et Induction
m dv
(t ) = U − B0 l v (t )
dt
0
(R + r )× B l
28
4. Nous retrouvons ici les propriétés de l’induction au sein d'un circuit mobile dans un champ stationnaire :
• un couplage électromécanique au sein du circuit, avec l’apparition conjointe d'une f.é.m. induite et
d’actions de Laplace.
• des conséquences conformes à la loi de Lenz, ce qui est visible à plusieurs niveaux :
- Les équations montrent en effet que ∀t , x = v > 0 , soit e = −B0 l x < 0 : la f.é.m. induite est bien en
opposition sur le générateur à l'origine du mouvement de la tige, comme nous l’avions prévu au début de
l’exercice.
- En l’absence de champ magnétique le courant serait imposé par le générateur et vaudrait à tout instant :
i0 = U / (r+R) , valeur fournie par l’équation [1] lorsque l’on fait tendre B0 vers zéro ; le phénomène
d'induction qui conduit à un courant i(t) = i0·e - t/τ tendant vers zéro sur la durée caractéristique τ,
s'oppose donc au passage de ce courant.
• des effets d’induction d'autant plus notables que le champ magnétique est intense et que le circuit est de
grande taille, de faible résistance et de faible masse : en effet, τ décroit lorsque B0 et l augmentent et
lorsque r + R et m diminuent.
Nous remarquons par ailleurs que, contrairement au cas « sans générateur », les actions de Laplace sont ici
motrices. Ceci est sans contradiction avec la loi de Lenz puisque la cause première des phénomènes électromécaniques mis en jeu dans cette expérience est la fermeture de l'interrupteur et le passage d'un courant dans le
circuit, et non le déplacement de la tige par un opérateur.
Vous pourrez en particulier retenir de ce dispositif « avec générateur » que :
• La f.é.m. induite n'est pas toujours génératrice de courant et peut se trouver en opposition sur un
générateur réel débitant dans le circuit.
• Les forces de Laplace n'exercent pas systématiquement un freinage et peuvent, dans certaines situations, être motrices sans violer la loi de Lenz.
2.3. Exemple de référence pour les circuits en rotation
Effectuons maintenant plus brièvement l'étude d'un circuit en rotation autour d'un axe fixe. Reprenons pour
cela l'exemple du § 1.2 où une bobine plate formée de N spires rectangulaires d'aire S est plongée dans un
champ magnétique stationnaire et uniforme de direction horizontale, et tourne autour d'un axe fixe vertical
(figure 20) ; toutefois, plutôt que de supposer comme au §1.2 que le mouvement se fait à vitesse angulaire
constante, intéressons-nous au cas où la bobine a été lancée en rotation à une vitesse angulaire ω0. Par soucis
de simplification, l’auto-induction sera négligée.
• AÄ½ùÝ Øç½®ãã®ò ÖÙ½®Ã®Ä®Ù
Comme nous l'avons expliqué dans le paragraphe 1,
la rotation modifie l'angle entre la direction du
champ et le vecteur normal à la surface Σ s'appuyant sur les spires de la bobine, provoquant ainsi
une variation alternative du flux magnétique à
travers le circuit ; il en découle l'apparition d'une
f.é.m. induite et, le circuit étant fermé par un
résistor, d'un courant induit. D'après la loi de Lenz,
le phénomène d'induction doit modérer les
variations de flux : celles-ci étant alternatives, il en
sera de même du courant induit.
Induction au sein d’un circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire ∙ 1149

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