PCSI - DS N°1 du 11 octobre 2014 - Corrigé S2I EXERCICE 1 : QUESTION DE COURS Q1. Déterminer la transformée de Laplace du signal f(t). La décomposition dans le domaine temporel donne : 2 T T 2 4 f (t ) = − .t.u (t ) + (t − ) + 1 u (t − ) − (t − T ) + 1 u (t − T ) T 2 2 T T Soit dans le domaine symbolique : 2 1 4 1 1 −T p 2 1 1 − . 2 + . 2 + e 2 − . 2 + e −Tp F ( p) = T p T p p p T p Q2. En déduire celle du signal périodique g(t). On peut exprimer g(t) en fonction de f(t) : g (t ) = f (t ) + f (t − T ) + f (t − 2T ) + .... Soit dans le domaine symbolique : F ( p) G( = p ) F ( p ).(1 + e −T . p + e −2T . p + ....) = 1 − e −T . p Q3. Déterminer la fonction de transfert H(p) de ce système. En donner l'ordre, la classe et le gain statique. S ( p) 4 Ordre = 3 Classe = 1 Gain = 4 = E ( p ) p (1 + 8 p + 16 p 2 ) ds(t) Q4. Calculer S(p) et déterminer= : lim s(t) ? = lim ?= lim s(t) ? t →0 t →0 t →∞ dt H= ( p) Réponse indicielle : E(p) = => 1 4 S(p) = . p p(1 + 8p + 16p 2 ) ds(t) = lim lim = p 2S(p) 0 t →0 p →∞ dt = lim s(t) lim = pS(p) 0 t →0 1 p p →∞ lim s(t) = lim pS(p) = +∞ t →∞ p →0 ds(t) = = lim lim p 2S(p) 4 t →∞ dt p →0 Q5. Déterminer l’équation de la réponse indicielle. 1 4 4 A B C D S(p) = . = 2 = + 2+ + 2 2 p p(1 + 8p + 16p ) p (1 + 4p) p p (1 + 4p) (1 + 4p) 2 lim p 2S(p)= B= 4 p →0 lim pS(p)= A + p →∞ lim (1 + 4p) 2 S(p) = D= 64 p →− C 4 1 4 On pose p=1 => 4 C 64 = A+4+ + 25 5 25 C = 128 A = −32 => 32 4 128 64 S(p) = − + 2+ + p p (1 + 4p) (1 + 4p) 2 Page 1/5 PCSI - DS N°1 du 11 octobre 2014 - Corrigé S2I De retour dans le domaine temporel… t − s(t)= 4 t − 8 + (t + 8)e 4 Q6. A partir des résultats obtenus aux questions précédentes, donner l’allure de la réponse indicielle. EXERCICE 2 : MACHINE DE RÉÉDUCATION SYS-REEDUC Q1. A l’aide du tableau 1, tracer le diagramme des interacteurs de la phase d’utilisation normale. Q2. Compléter le schéma bloc fonctionnel (avec le nom des composants dans les blocs à la place des fonctions de transfert) de cet asservissement. Q3. Donner dans le domaine de Laplace les équations 1, 2, 3 et 4. ( M + m).r.ρ1. p.Ω m ( p= ) CM 1( p ) r.ρ1 − Fp ( p ) U m= E( p ) + R.I ( p ) ( p) E( p= ke .Ω m ( p ) ) CM 1( p ) = kt .I ( p ) Q4. A partir des équations [3] à [6], déterminer les fonctions de transfert K 2 , H 3 ( p ) , K 7 et K 9 . K7 = E( p ) = ke Ωm( p ) = K2 CM 1( p ) k t .I ( p ) k t .I ( p ) k = = = t U m ( p ) − ke .Ω m ( p ) U m ( p ) − E( p ) R.I ( p ) R Page 2/5 PCSI - DS N°1 du 11 octobre 2014 - Corrigé Ωm( p ) Cm ( p ) − Fp .K 9 = H 3( p ) Ωm( p ) Cm ( p ) − r.ρ1.F( p ) = S2I 1 ( M + m). p.r 2 .ρ12 1 et K 9 = r.ρ1 (m + M ).r 2 . ρ12 . p Q5. Etant donné le lien entre les grandeurs physiques d'entrée et de sortie du bloc H 4 ( p ), donner sa fonction de transfert. Par identification H 3 ( p ) = Ω m ( p ) = p.θ m ( p ) → θ m ( p ) = 1 1 .Ω m ( p ) → H 4 ( p ) = p p Q6. donner la fonction de transfert K 5 . = K5 Ω sortie = 0,1 Ωentrée Q7. Déterminer la fonction de transfert K 6 . • Nous avons vu qu’avec le RSG : x = r .ω poulie . K6 = r = 0,0461 (m) Q8. Déterminer l'expression de la fonction de transfert K1 en fonction de K 8 , K 5 et K 6 permettant d'obtenir un asservissement de X sur la consigne X c . D’après le schéma bloc, nous aurons au niveau du comparateur : K8 . X ( p) ε ( p ) = K1 . X c ( p ) − K 8 .θ m ( p ) ⇔ ε ( p ) = K1 X c ( p ) − K 5 .K 6 Pour une question de cohérence, si on souhaite que les deux grandeurs soient comparables : K8 1000 = ≈ 69047,7 incréments/mètre K1 = K 5 . K 6 π . r. ρ 1 Q9. montrer que le schéma-bloc de la figure 8, peut être mis sous la forme suivante : La première étape consiste à se ramener à un schéma bloc avec retour unitaire. Page 3/5 PCSI - DS N°1 du 11 octobre 2014 - Corrigé S2I Q10. Exprimer Ω m en fonction de U m et de Fp . Vous donnerez le résultat sous la forme : = Ωm (U m .K 2 ) − Fp .K 9 .H ( p ) . ) ( = Ω m H 3 . (U m − K 7 .Ω m ) .K 2 − K= U m .K 2 .H 3 − K 7 .K 2 .H 3 .Ω m − K 9 .H 3 .Fp 9 .Fp = Ωm K 2 .H 3 K 9 .H 3 = Ωm U m . − Fp . 1 + K 7 .K 2 .H 3 1 + K 7 .K 2 .H 3 (U m .K 2 ) 1 + K H.K .H − Fp .K 9 . 3 7 2 3 Q11. Déduire que le schéma-bloc de la figure 8, peut être mis sous la forme suivante : On isole ensuite le bloc C(p) Q12. Exprimer A, B et D (constants) en fonction des paramètres du système : r , ρ1 , kt , ke , R , M , m et K8 . r 2 .ρ12 .R K .K .K K9 = 9 5 6 → D= K 8 .k t K 8 .K 2 K1 . K 2 K K8 kt 1 A= 8 . ke R ( m + M ) .r 2 .ρ12 .p 1 ke K1.K 2 .H 3 .H 4 .K 5 .K 6 = . => k 1 1 + K 7 .K 2 .H 3 p R.(m + M ).r 2 .ρ12 R.(m + M ).r 2 .ρ12 1 + ke . t . = B . 1 . + p p 2 2 R ( m + M ) .r .ρ1 .p k e .k t k e .k t K8 . Q13. Exprimer ε x en fonction des deux entrées Fp et X c et des constantes A , B , D et K c . εX = Xc − (ε X .C ( p) − D.Fp ) A p. (1 + B. p ) ε X 1 + D. A.Fp A .C ( p ) = Xc + ⇔ p. (1 + B. p ) p. (1 + B. p ) ( p.(1 + B. p ) + A.C ( p) ).ε X = p.(1 + B. p ). X c + D. A.Fp Avec C(p) = Kc , il vient : ε X = p.(1 + B. p ) D. A .X c + . Fp p.(1 + B. p ) + A.K c p.(1 + B. p ) + A.K c Page 4/5 PCSI - DS N°1 du 11 octobre 2014 - Corrigé S2I Q14. déterminer l'écart de position ε x en réponse à deux échelons d'intensité F0 pour la force du patient et X 0 pour le déplacement. Conclure quant au respect du cahier des charges. Pour une entrée échelon F0 X et 0 p p D 6.F0 Avec le théorème de la valeur finale : lim ε X (t ) = lim p.ε X ( p ) = F0 . = t →∞ p →0 Kc Kc Le cahier des charges n’est pas respecté puisque l’écart statique n’est pas nul. Q15. Exprimer ε x en fonction des deux entrées Fp et X c et des constantes A , B , D , K i et Ti . 1 + Ti . p 1 = K i . C ( p ) = K i 1 + Ti . p Ti p p.(B. p + 1) A.D εX = .X c + .F p 1 + Ti . p 1 + Ti . p + p.(B. p + 1) + p.(B. p + 1) A.K i A.K i T . p T . p i i Q16. déterminer l'écart de position ε x en réponse à deux échelons d'intensité F0 pour la force du patient et X 0 pour le déplacement. Conclure quant au respect du cahier des charges. Avec le théorème de la valeur finale : lim ε X (t ) = lim p.ε X ( p ) = 0 t →∞ p →0 L’écart statique devient nul, le cahier des charges est respecté. Q17. Conclure quant au respect du cahier des charges sur le reste des critères énoncés. Faire apparaître sur le document réponse le ou les grandeurs mesurées. t5% ≈ 0,12 (s) On retrouve bien le résultat obtenu précédement avec une erreur statique nulle. Après lecture sur la courbe nous avons bien un temps de réponse 0,12 s < 0,2 s Le cahier des charges est donc respecté. Le dépassement semble cependant très important pour une utilisation de ce type de système. Une amélioration possible est à envisager de ce coté là. 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