戦略的最適行動論（2011.5.23）６．展開形ゲーム１．ゲームの⽊と逆向き帰納法・これまでは扱ってきた戦略型ゲームは同時手番であり、すべてのプレイヤーが相手の行動を知らずに同時に意思決定を行っていた。しかし現実には、相手の行動に反応するなど、意思決定に時間差を伴うことが多い。 ➢展開形ゲームの導入。例１）チェーンストア・ゲーム・A 町は大手チェーン店が独占している。今、ある投資家が A 町にピザ店を開業して新規参入するか、それとも参入しないで別の事業を行うかの選択に直面している。－投資家が参入しなければ、チェーン店は独占を維持できるので 5 の利得が得られる。一方、投資家は別の事業で 1 の利得を得る。－投資家が参入すれば、チェーン店はそれと対立して値下げするか、それとも協調するかという選択に直面する。対立すれば互いに値下げ合戦が続き、双方とも利得は 0 になってしまう。協調すれば双方とも利得は 2 になる。チェーン店からすると独占状態よりは利得が減少する。一方、投資家は事業に参入しないよりは利得が大きい。・このゲームでは、投資家が事業に参入しない限り、チェーン店は選択する必要がない。また、チェーン店は、投資家が参入するという行動を選択したことを知った上で、自らの選択を行う。つまり、プレイヤーの意思決定に時間差がある。・図で表現すると… ・展開型ゲームを図示したものをゲームの⽊（ゲーム・ツリー）と呼ぶ。・利得は上が投資家、下がチェーン店である。・ゲームにおける各プレイヤーの手番（枝の分かれ目）をノードと呼ぶ。・ゲームの開始からあるノードまでをパスまたは履歴と呼ぶ。・ゲームの開始からあるノードまでをゲームのプレイと呼ぶ。投資家参入する参入しないチェーン店協調対立 1 5 2 0 2 0 1 戦略的最適行動論（2011.5.23）・展開型ゲームの解き方－ゲームは投資家がピザ事業に参入するかどうかの選択から始まる。投資家は大手ピザチェーンの行動に対して最適に反応する。そのためには、チェーン店がどのような選択をするかを推測しなければならない。－そこで、チェーン店の選択を先に考える。チェーン店の利得は協調すれば 2、対立すれば 0 なので、協調を選択する。－チェーン店が協調を選択すると、投資家がピザ事業に参入した時の利得は 2 である。参入しない時の利得は 1 なので、ピザ事業に参入する。－というわけで、投資家はピザ事業に参入し、チェーン店は協調するのがゲームの解（ナッシュ均衡）である。－ナッシュ均衡となるプレイを均衡プレイ（均衡経路）とよぶ。 ➢このように各プレイヤーは相手の行動に対する最適反応をとるので、相手の将来の行動を先読みしなければならない。なので、ゲームの終点に近い手番から順々にプレイヤーの最適行動を求めていく。このような解き方を逆向き帰納法（バックワード・インダクション）とよぶ。・ここでおさらい。ゲームにおける戦略とは、プレイヤーがゲームをプレイするために立案する行動計画であり、行動そのものではない。つまり、プレイヤーがすべてのノードにおいて選択する行動を指定する計画である。 ➢実際のゲームでたどることのないパスについても、どの行動を行うか決めておく。例２）食事デート・2 人の男女が食事に行こうとしています。女性はイタリアンを食べに行きたいと思っています。それに対して、男性は焼き肉を食べたいと思っています。こんなことでケンカになってデートが中止になるのは、お互い避けたいところです。今度は、女性が先にどちらを食べに行くか決めていいことになりました（レディー・ファーストなので）。女性イタ焼肉男性イタ男性焼肉イタ 2 0 0 1 1 0 0 2 焼肉 2 ・このゲームの解は以下の通り。女性はイタリアンを選ぶ。男性は女性がイタリアンならイタリアン、女性が焼肉なら焼肉を選ぶ。 ➢実際に女性が焼肉を選ぶことはないが、男性はその場合の行動も決めておく。・均衡プレイでは、イタリアンを食べに行くことになる。このように先に行動したり、意思表明することでをコミットメントとよぶ。戦略的最適行動論（2011.5.23） 2．部分ゲーム完全均衡（テキスト p122-132）・チェーンストア・ゲームの解衡は、（参入、協調）であった。これを戦略型ゲームでも確認してみる。チェーン店投資家協調対立参入２，２０，０非参入１，５１，５・このゲームのナッシュ均衡は、（参入、協調）と（非参入、対立）。展開型ゲームでは導出されない均衡点がある。・（非参入、対立）はチェーン側が参入を阻止するために対立すると脅して、投資家が参入をとりやめると解釈できる。しかし、実際に投資家が参入すれば、チェーン店にとって協調したほうが利得が大きい。というわけで、この脅しはウソっぽい（信憑性のない脅し）。・このような信憑性のない脅しはナッシュ均衡であるが、不完全均衡とよばれる。それに対して、信憑性のない脅しを取り除いたものは完全均衡とよばれる。・完全均衡だけを求めるにはどうしたらよいか？それは、すべての部分ゲーム（ゲームの枝分かれした部分）において、ナッシュ均衡を導く戦略の組でなければならない（部分ゲーム完全なナッシュ均衡）。・この場合は（参入、協調）が部分ゲーム完全なナッシュ均衡である。 ➢でも、こんなことしてたら、チェーン店は新規参入されまくりになってしまう…（チェーン・ストアのパラドクス）。・一般に、次の定理が成り立つ。定理：有限の情報をもつ完全情報 n 人ゲームでは、先読み推論によって定まるプレイヤーの戦略の組は部分ゲーム完全なナッシュ均衡である。定理：有限の情報をもつ完全情報 n 人ゲームでは、純戦略による部分ゲーム完全なナッシュ均衡点が少なくとも１つは存在する。３．ゲームの情報構造・展開型ゲームであっても、相手のプレイヤーがどのような行動を選択したのかわからないということがある。そのような場合、ゲーム・ツリー上では、2 つのノードをつないで表現する（情報集合）。 ➢プレイヤーの情報集合は互いに交わらない。また、情報集合の中のすべての分岐点は同じ数の選択肢をもつ。・各プレイヤーがすべての手番において、過去の履歴を完全に知っているとき、各情報集 3 戦略的最適行動論（2011.5.23）合における手番は１つである。これを完全情報ゲームとよぶ。一方、過去の履歴を完全に知っていないプレイヤーがいるために、複数の手番を含む情報集合が存在するゲームを不完全情報ゲームとよぶ。 ➢戦略型ゲームはプレイヤーが同時に行動を選択する（＝過去のプレイヤーの行動を知らない）ので不完全情報ゲームである。・このゲームでは、女性が先に選択しているものの、男性は女性がどちらを選択したのかがわからない。・このような不完全情報ゲームでは、先読み推論法で解くことはできない。戦略形ゲームに変換して解く。女性イタ焼肉男性男性イタ焼肉イタ 2 0 0 1 1 0 0 2 焼肉 4 戦略的最適行動論（2011.5.23）練習問題番号・名前１）次のゲームの部分ゲーム完全なナッシュ均衡を求めなさい。L と R はそれぞれのプレイヤーP1, P2 の行為の選択肢です。また、上が P1 の利得、下が P2 の利得です。 P1 L R P2 P2 L R 0 4 2 -1 L R -1 3 0 1 ２）電車の駆け込み乗車が後を絶ちません。ドアに挟まれてケガをするのは乗客なのに、なぜみな駆け込み乗車をやめないのでしょうか。ここで、乗客が駆け込んできて、車掌がドアを閉めると、乗客はドアに挟まれて-10 の利得となります。一方、車掌も挟まった乗客に対応するために電車が遅れて-3 の利得となります。乗客が駆け込んでも車掌がドアを閉めなければ、乗客は早く目的地に行けるので+2 の利得となります。車掌はドアを余計に開けている分、電車が遅れるので-1 の利得となります。さて、そもそも乗客が駆け込まなければ、乗客は次の電車を待つだけ時間をロスするので-1 の利得となります。車掌はスムーズに電車を運行できるので+1 の利得です。この状況を展開形ゲームで表現し、部分ゲーム完全均衡を求めなさい。そのうえで、なぜ駆け込み乗車がなくならないかを考察しなさい。 5