２年５章 三角形と四角形
3
下の図のような，平行四辺形
ABCD があり，点 E は辺 AD 上の
点で， EBxEC です。
■平行四辺形
{BADx105¸ ， {BECx80¸ のとき，
1
{ECD の大きさは何度ですか。
図で，四角形 ABCD はひし形，
4EBC は正三角形です。F は，直
線 AE と辺 CD との交点です。
{EFDx83¸ のとき，{ADF の大き
さは何度ですか。
4
下の図のように，平行四辺形
ABCD に お い て ， {ABCx60¸ ，
{BCEx25¸ ， {CDEx45¸ の と き ，
{CEDx{x と し て ， {x の 大 き さ を
求めなさい。
2
図で，四角形 ABCD は平行四
辺形です。E は辺 AD 上の点で，
ED=DC ， EB=EC です。
{EAB=98¸ のとき，{ABE の大き
さは何度ですか。
5
下の図で，四角形 ABCD は，
平 行 四 辺 形 で す 。 ABxAC ，
{ABCx54¸ の と き ， {ACD の 大
きさは何度ですか。
9
■円
6
図で，A，B，C は円 O の周上
ある円において，1 つの弧に対
する中 心角の大き さが 72¸ のとき，
の点であり， ACkBO です。
その弧に対する円周角の大きさは
{ABCx38¸ の と き ， {ACB の 大
何度ですか。
きさは何度ですか。
10
次の図のように，線分 AB を
直径とする半円 O があります。ま
7
8
図で，A，B，C，D は円 O の
た，2 点 C，D が AB 上にあり，
周上の点で，E は線分 BD と OC
{BACx10¸ ， BC : CDx1 : 2 と な
との交点です。 {BOE=84¸ ，
っています。2 つの線分 OD と AC
{DEC=74¸ のとき，{BAD の大き
の交点を E とするとき， {CED の
さは何度ですか。
大きさを求めなさい。
下の図のように，点 A，B，C，
D，E，F は円 O の円周上にあり，
{DCEx20¸ ， {DBFx55¸ です。
このとき， {EAF の大きさは何度
ですか。
11
下の図の円 O で， {x の大き
さを求めなさい。
12
下の図のような円があり，異
14
下の図のように，円 O の周上
なる 3 点 A，Ｂ，Ｃは円周上の点
に 4 点 A，B，C，D をとり，AC
です。線分 AC 上に，2 点 A，C
と BD の交点を E とします。
と異なる点 D をとります。また，
{BOCx130¸ ， {AEDx110¸ の と
2 点 B，D を通る直線と円との交
き，次の問に答えなさい。
点のうち，点 B と異なる点を E と
します。
①
{x の大きさを求めなさい。
②
{y の大きさを求めなさい。
{EDCx60¸ で あ り ， 図 の 太 線
(
) で 示 し た 2 つ の 弧 AB と
CE の長さの和が 3¼cm であると
き，この円の半径は何 cm ですか。
13
下の図の円 O で，太線の AB
15
下の図は，点 O を中心とする
を 4 等分する 3 つの点をとり，点
円であり，4 点 A，B，C，D は円周
A に近い方から点 C，D，E とし
上の点で，線分 BD は円の直径です。
ます。{AEBx20¸ のとき，{CAE
{BACx50¸ のとき， {x の大きさを
の大きさ x を求めなさい。
求めなさい。
16
下の図のように，円 O の円周
19
下の図の円 O で， ACkOB で
上に 5 つの点 A，B，C，D，E が
あるとき，{x の大きさを求めなさ
あり，線分 AD は円の中心 O を通
い。
り，線分 AB と線分 EC は平行で
す。{DABx56¸ ，{CEBx32¸ で
あるとき，{CDA と {DCE の大き
さを，それぞれ答えなさい。
20
下の図のように，2 直線 PA，
PB は，それぞれ点 A，B で円 O
に接しています。{ACBx65¸ のと
き，{APB の大きさを求めなさい。
17
下の図のような円 O において，
{x の大きさを求めなさい。
21
下の図のように，円 O の周上
に 3 点 A，B，C があり，
18
下の図のように，円 O の周上
{ABCx40¸ ，点 C をふくまない
に 4 つの点 A，B，C，D があり，
AB に 対 す る 中心 角 {AOBx240¸
線分 AC は円 O の直径です。
です。 {x の大きさを求めなさい。
{DBCx42¸ のとき，{ACD の大き
さを求めなさい。
22
下の図において，点 A，B，
25
下の図のように，長さが 10cm
C，D は円周上の点です。 {BAD の
の線分 AB を直径とする半円 O が
大きさを求めなさい。
あります。弧 AB 上に，{ABCx23¸ ，
{BADx31¸ となるように 2 点 C，
D をとります。
23
下 の 図 の 円 Ｏ で {x の 大 き さ
①
{CAD の大 きさ を求め な さ い 。
②
弧 CD の長さを求めなさい。
26
下の図のように，円 O の周上
を求めなさい。ただし，AB は直径
とします。
24
下の図のように，円 O の円周
上に 4 点 A，B，C，D をとり，
四角形 ABCD をつくる。線分 AC，
BD 上の交点を E とする。線分 BD
が中心 O を通り， {BACx32¸ ，
{BCAx40¸ の と き ， {CED の 大
きさを求めなさい。
に 5 点 A，B，C，D，E がありま
す。 {x の大きさを求めなさい。
２年５章 三角形と四角形
解答
4
{ABCO{BCDx180¸ より
1
{DCEx180¸P60¸P25¸x95¸
{ADFx{x とすると
したがって
{ABEx{xP60¸
{xx180¸P45¸P95¸x40¸
5
4ABE は二等辺三角形だから
{BAFx120¸P
1
{x
2
Ã
{DAFx£180¸P{x¤P 120¸P
ABxAC より
1
{x
2
Ä
1
x60¸P {x
2
4ADF において
Ã
Ä
1
60¸P {x O83¸O{xx180¸
2
{ACBx{ABCx54¸
平行線の錯角は等しいから，
{ACDx{BACx180¸P54¸A2x72¸
6
{AOCx2{ABCx76¸
{ACOx£180¸P76¸¤C2x52¸
{xx74¸
したがって
2
ACkBO であるから
{OBCx52¸C2x26¸
{ADC=180¸P98¸=82¸
{ACBx{CBOx26¸
ED=DC であるから
{DCE=
180¸P82¸
x49¸
2
7
対頂角は等しいから
{ECB=98¸P49¸=49¸
EB=EC より
したがって
{OEB=74¸
{EBC=49¸
{ABE=82¸P49¸=33¸
3
{OBE=180¸P84¸P74¸=22¸
OBxOD であるから
{BODx180¸P22¸A2x136¸
{BCEx£180¸P80¸¤C2x50¸
したがって，円周角の定理により
平行四辺形の対角は等しいから
{BADx
{BCDx{DABx105¸
したがって，
{ECDx{BCDP{BCE
x105¸P50¸x55¸
1
1
{BODx A136¸x68¸
2
2
8
{EBDx{DCE より
{EBFx55¸P20¸x35¸
したがって
{EAFx{EBFx35¸
9
13
72¸A
太線の AB に対する中心角は
1
x36¸
2
360¸P20¸A2x320¸
10
であるから
{COEx£320¸C4¤A2x160¸
円周角の定理より
{BOCx10¸A2x20¸
BC : CDx1 : 2 より
したがって
{BODx60¸
xx{CAEx160¸A
したがって
{CEDx{AEOx60¸P10x50¸
11
{xx180¸P£68¸O85¸¤x27¸
14
①
円周角の定理より
1
{xx A130¸x65¸
2
② 三角形の内角と外角の関係より
{yx110¸P{BDCx110¸P{xx45¸
角の関係より
{DBCO{DCBx60¸
AB に対する中心角は 2{DCB ， CE
15
BC に対する円周角であるから
{BDCx{BACx50¸
に 対 す る 中 心 角 は 2{DBC で あ る か
BD は直径であるから
ら，中心角の和は
2{DCBO2{DBCx2A60¸x120¸
{xx180¸P90¸P50¸x40¸
16
半径を rcm とすると
120¸
2
A2¼rx ¼r
360¸
3
ABOCEx3¼ であるから
2
3¼x ¼r
3
したがって，半径は
{BCDx90¸
したがって
弧の長さは中心角に比例するから，
ABOCEx
xx80¸
したがって
12
4DBC において，三角形の内角と外
1
x80¸
2
AD は直径であるから， {ABDx90¸
したがって
{ADBx180¸P90¸P56¸x34¸
BC に対する円周角だから
9
cm
2
{BDCx{BECx32¸
したがって
{CDAx66¸
DB=EC より，
{BDCO{DCEx180¸P90¸x90¸
したがって
{DCEx90¸P32¸x58¸
17
22
A C と BD の交点を E とする。
BA に対する円周角であるから
{BDAx{BCAx31¸
円周角の定理より
{BACx{BDCx25¸
したがって
{x は 4ABE の外角であるから
{xx{EABO{ABE
x25¸O48¸x73¸
{BADx180¸P80¸P31¸x69¸
23
円周角の定理より
18
{ECBx{EDBx28¸
AB は直径であるから， AB に対す
円周角の定理より
{DACx{DBCx42¸
AC は直径であるから
る円周角は 90¸ となる。したがって
{ADCx90¸
{xx{ACBP{ECBx90¸P28¸x62¸
24
したがって
{ACDx180¸P42¸P90¸x48¸
19
BD は直径であるから
{BADx90¸
したがって
{COB=28¸A2=56¸
ACkOB より
{OBAx28¸
{EADx90¸P32¸x58¸
AB に対する円周角であるから
{ADEx{BCAx40¸
したがって
{xx180¸P28¸P56¸x96¸
したがって
20
{CEDx{EADO{ADEx98¸
{AOBx2{ACBx130¸ であるから
{APBx360¸P£90¸A2O130¸¤x50¸
25
{ACBx90¸ であるから
①
21
{CADx180¸P£90¸O31¸O23¸¤x36¸
円周角の定理より
1
{ACBx A240¸x120¸
2
したがって
②
弧の長さの比は中心角の比に等
しいから
CD : ABx£36A2¤ : 180x2 : 5
したがって
{xx180¸P120¸P40¸x20¸
CDx10¼A
1
2
A x2¼ £cm¤
2
5
26
{xx40¸A2O30¸A2x140¸
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