運動方程式の積分

運動方程式の積分
仕事とエネルギー
運動エネルギー
ポテンシャルエネルギー
ＣＳ２００３狩野
1
運動方程式から得られる知識
z
個別の運動について
•
z
運動方程式を，与えられた力と初期条件で解く
すべての運動について
•
•
力積と運動量
• 力が一定時間加わると
•
運動量が変化する
仕事とエネルギー
• 力が一定距離加わると
•
•
•
運動エネルギーが変わる
ポテンシャルエネルギーが変わる
エネルギーが散逸する
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2
物体に仕事をする
↓
運動状態が変化する
↓
された仕事に等しい
運動エネルギーを
獲得する
運動エネルギーの意味と例題
運動エネルギーは，その時の物体の運動状態だけで決まる（履歴によらない）
例．
滑らかな水平面上に
静止している物体 ( m = 1kg)に
一定の力( F = 1 N)を加えて
T = 1sの間，直線上を加速した。
このとき，物体はどれだけの
運動エネルギーを得るか？
最終的に得た速度から直接に計算するなら
2
1 2 1  F  1 F2 2
mv = m  T  =
T = 0.5 J
2
2 m 
2 m
仕事により計算するなら
L
W = ∫ Fdx = FLだから，移動距離がわかればよい :
0
1F 2
1 F2 2
L=
T だから，W =
T で同じ。
2m
2 m
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3
運動エネルギーの転換
z
物体が相手に力を及ぼし（及ぼされ）つつ移動する
•
•
相手の運動状態が変わるとき
•
相手の物体の運動エネルギーが変化する
•
ミクロで乱雑な運動のエネルギーになる
•
•
相手を蹴飛ばす！
摩擦熱
相手との距離が変わるとき
•
自分の運動状態を変化させながら，力のもとで移動
•
距離がもとに回復する過程では
•
•
運動状態を変える潜在能力（ポテンシャル）の獲得
•
•
•
•
仕事をする
運動エネルギーが仕事を通じて「どこか」に移る，と考える
逆に仕事をされて，運動状態がもとに戻る。
ポテンシャルエネルギー
バネ，万有引力，…
3
1
2
0.5
1
-1
0
-0.5
-0.5
0
0.5
1 -1
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4
数式的表現（1次元）
dv
m =F
dt
→
→
dv
m =F
dt
t2
t
2
dv
∫t m dt dt = ∫t Fdt
1
1
p2 − p1 = ∫ Fdt
→
t1
mdv = d (mv) ≡ dp = Fdt
t
t
r
v2
2
2
2
dv
dv dx
dv
m 2
∫x m dt ⋅ dx = ∫t m dt ⋅ dt dt = ∫t m dt ⋅ vdt =  2 v  = r∫ F ⋅ dr
v1
1
1
1
1
x2
→
運動量の変化は
受けた力積に
等しい
t2
x
→
1
1 2 2
m
m
2
2
2
v(t2 ) − v(t1 ) =
p2 −
p1 = ∫ F ⋅ dx
2
2
2m
2m
x1
→
m
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dv
m 
 1 2
v = d  v2  = d 
p  = F ⋅ dx
dt
2 
 2m 
運動エネルギーの変化は，
された仕事に等しい
5
x
例題：重力のもとで落下する物体
z
重力が物体にする仕事
•
x1
-mg
物体の運動エネルギーを変える
x2
x
1 2 1 2 2
mv2 − mv1 = ∫ (− mg )dx = − mg ( x2 − x1 )
2
2
x1
1 2
1
mv2 + mgx2 = mv12 + mgx1
2
2
v1=0 の場合
出発点の高さをｈとし
終点の高さを０，速度をｖとすると
どの位置でもこの
和をとれば同じ値
ｖ１ > 0の場合？
もとの位置にもどる
と，同じ速さになっ
ている！！
０
上向きにmg の（重力に抗する）力でｈだけ
上向きに物体を運ぶとき，物体はｍｇｈの
仕事をされる.
その仕事が運動エネルギーに転換される
1 2
mv − 0 = − mg (0 − h)
2
1 2
mv = mgh
2
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ｈだけ高いところにある物体は
ｍｇｈに等しい量の
「運動エネルギーに転換できる能力」
を蓄えている
ポテンシャル
エネルギー
6
例題：単振動
z
ｘ
0
バネの復元力がする仕事
•
自然長の位置が原点
F = − kx
 k 2  k 2
−
kx
dx
=
(
)
 − x 2  −  − x1 
∫x1
 2   2 
k
k
1
1
mv 22 + x 22 = mv12 + x12
2
2
2
2
1
1
mv 22 − mv12 =
2
2
x2
位置によらず，和を作れば一定の値
もとの位置に戻ると速さは同じ
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バネの力に抗してした仕事が
運動エネルギーとなる能力
として蓄えられる
k
m
v (t ) = − aω sin ω t = − v0 sin ω t
x (t ) = a cos ω t , ω =
1 2 1 2 2 2
mv = ma ω sin ωt
2
2
1
= ka 2 sin 2 ωt
2
1 2 1 2
kx = ka cos 2 ωt
2
2
和をとると，いつでも
1 2 1 2 2 1 2
ka = ma ω = mv0
2
2
2
7
ｖ
Ｆ
例題：摩擦力
z
摩擦力
•
z
重力
•
z
速度の向きと反対
1 2 1 2
mv2 − mv1 = −
2
2
速度によらず常に一定
バネの復元力
•
速度によらず位置だけで決まる
x2
∫ Fdx
x1
"摩擦力が物体にする仕事は
移動の向きによらず常に負
摩擦力のする仕事で，運動エネルギー
に変換できる能力を蓄積することは不可能
←→
摩擦がなければ運動できない
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8
数式的な表現（3次元）
dv
m
=F
dt
→
→
dv
m
=F
dt
→
t2
t
2
dv
∫t m dt dt = ∫t Fdt
1
1
運動量の変化は
受けた力積に
等しい
t2
p 2 − p1 = ∫ Fdt
→
t1
mdv = d (mv ) ≡ dp = Fdt
r2
t
t
r
v2
2
2
2
dv
dv dr
dv
m 2
∫r m dt ⋅ dr = ∫t m dt ⋅ dt dt = ∫t m dt ⋅ vdt =  2 v  = r∫ F ⋅ dr
v1
1
1
1
1
r
→
1
1 2 2
m
m
2
2
2
v(t2 ) − v(t1 ) =
p2 −
p1 = ∫ F ⋅ dr
2
2
2m
2m
r1
→
m
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dv
m 
 1 2
v = d  v2  = d 
p  = F ⋅ dr
dt
2 
 2m 
運動エネルギーの変化は，
された仕事に等しい
9
例題：重力による仕事
重力による仕事は
「変位の重力方向の成分」
のみが寄与する
F = mg
F ⋅ dr = F ⋅ dr& + F ⋅ dr⊥ = F ⋅ dr&
r2
重力による仕事は
経路によらず
始点と終点の高さだけで決まる
∫ F ⋅ dr = ∫ F ⋅ d r
&
r1
r1
水平移動すなわち
等高面（等ポテンシャル面）が
同じ位置の間の移動では
重力は仕事をしない
2点間で
物体がもつポテンシャルエネルギーの差は，
その2点間の高度差をｈとすると
ｍｇｈである。
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r 2の高さ
r2
=
∫
F ⋅ dr&
r1の高さ
ｒ2
dr dr& g
dr⊥
ｒ1
10
V
例題重力による放物運動
z
ｙ0
θ
-mg
重力による放物運動
•
•
運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和が一定
運動方程式の解を使って示す
d 2x
水平方向： 2 = 0
→ vx (t ) = V cos θ
dt
d2y
g
垂直方向： 2 = − g → v y (t ) = − gt + V sin θ → y (t ) = − t 2 + V sin θ ⋅ t + y0
dt
2
1
1
2
mV + mgy0 = m(vx2 (t ) + v y2 (t )) + mg y (t )
? 2
2
1
m ( vx2 (t ) + v y2 (t ) )
2
1
= m (V 2 cos 2 θ + V 2 sin 2 θ + g 2t 2 − 2 gtV sin θ )
2
1
1
1
= mV 2 + mg 2t 2 − mgt ⋅ V sin θ
2
2
2
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11
例題 2次元の単振動
運動方程式
2個のバネの復元力がする仕事は経路によらず，
原点（自然長）を中心とする円の上の移動は仕事０
 d 2x
 d 2r
m dt 2 = − kx
m 2 = F = − kr
⇔

 dt
2
d
y
m
r = xe x + ye y
= − ky

2
 dt
F ⋅ dr = − kr ⋅ dr
k 
k 
= − kx dx − ky dy = − d  x 2  − d  y 2 
2 
2 
k

k 
k 
−d  ( x 2 + y 2 )  = −d  r 2  = −d  r 2 
2

2 
2 
1
y
0
-1
2
力：どの位置でも，
原点に向かう（半径方向）。
原点からの距離に比例する大きさ。
1.5
z
1
0.5
( x2 , y2 )
0
-1
0
x
1
微小な移動を，半径方向と
それに直交する方向に分解
力が仕事に寄与するのは
半径方向の移動だけ
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∫
( xdx + ydy ) =
( x1 , y1 )
( x2 , y2 )
∫
( x1 , y1 )
x2
y2
x1
y1
= ∫ xdx + ∫ ydy =
xdx +
( x2 , y2 )
∫
ydy
( x1 , y1 )
1 2
1
( x2 + y22 ) − ( x12 + y12 )
2
2
1
1
2
2
m(vx + v y ) + k ( x 2 + y 2 ) = 一定
2
2
12
例題水平面上の摩擦力うける運動
z
z
摩擦力の仕事は経路の長さによる
もとの位置に戻ってきたとき，速さは復元し
ない。
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13
保存力と非保存力
z
外力Ｆが物体にする仕事
• 保存力
• 経路によらず，始点と終点の位置だけで決まる
• 位置だけの関数の勾配として与えられる
• 非保存力
• それ以外
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14
r
ポテンシャルエネルギー U (r ) = − ∫ F ⋅ dr
r0
（位置エネルギー）
z
位置1→２の移動のあいだに起きる運動エネルギーの変化ΔEK は，その間
に保存力がした仕事W21 と一致する
•
・
•
•
z
ポテンシャルエネルギーは差だけに意味がある
•
•
•
z
(ΔEK −W21)の値は，経路によらず，いつも0
U = −W21 を「１と２の間のポテンシャルエネルギーの差」という
保存力のもとで運動する物体は常に EK + Ｕ＝一定
保存される
エネルギーの基準点は適宜決める
基準点から計算しやすい経路で，Ｆによる仕事（積分）をもとめ，ポテンシャルを計算する
基準点は力が０となる位置を選ぶことが多い。
保存力に抗して物体に力を加え静かに移動したとき
•
その力がした仕事とポテンシャルエネルギーの差が等しい
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15
外力のもとで
物体を移動させるのに必要な仕事
z
z
2地点間で、外力Fに抗して、物体を（同じ速度で）移動させるときの仕事
•
•
Fと逆向きの力G（＝−F）を加える必要がある
Gが物体にする仕事は物体に（もしくは空間の性質のひずみとして）蓄積される
Fだけが作用して運動する物体の運動エネルギーの変化と量的に一致
x2
x2
U ( x2 ) − U ( x1 ) = ∫ Gdx = − ∫ Fdx
x1
G＝−F
x1
F
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16
例題
万有引力の
ポテンシャルエネルギー
x
y
z
z
z
原点に質量Ｍの物体
位置rに質量ｍの物体
ｍのポテンシャルエネルギー
無限遠をエネルギーの基準とする
0
1
-1
0
-1
-2
-3
積分の経路にはよらない
-4
力は常に原点に向かう
移動を半径方向と円周方向に分解
仕事は同心球面上で同じになる
計算：
位置ベクトルｒの方向の直線上で積分する
定義
F = −G
-1
0
z
z
1
mM
r2
r
⋅ 
r
mM r 

−
G

 dr
2
∫
r r
無限のかなた 
r
U (r ) = −
引力
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∞
mM
dr ′
U (r ) = + ∫ G 2 dr ′ = −GmM ∫ 2
r′
r′
∞
r
r
∞
mM
1
= +GmM   = −G
r
 r r
17
等ポテンシャル面（等高線，等高面）
例：１質点による万有引力ポテンシャル
U（ｒ）= - GmM/|r|
が一定の位置をつなげると
原点を中心とする球面になる
等ポテンシャル面
その2次元断面は円
等高線と鳥瞰図
1
0.5
-1
1
-2
0
0.5
-3
-0.5
-1
0
-0.5
-0.5
0
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
0.5
力は等高線に直交する
等高線が密なとき力が大きい
1 -1
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18
ポテンシャル曲線
z
z
ポテンシャルエネルギーのグラフ
エネルギーの「0」は適宜決める
全エネルギー
• 力が0となる位置をとることが多い
運動エネルギー
ポテンシャル
エネルギー
• 無限遠，自然長，…
z
運動可能な範囲
• 運動エネルギーは負にならない
z
安定な平衡点と不安定な平衡点
• ポテンシャル曲線の傾きが力を表す
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19
エネルギー積分
p2
+ U ( x) = E = 一定
2m
を用いると粒子座標の時間変化を得るのが
運動方程式から求めるより簡単になる．
dx
= ± 2m ( E − U ( x ) )
dt
dx
±
= dt
2
( E − U ( x) )
m
dx
±∫
= ∫ dt
2
( E − U ( x) )
m
p=m
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20
ポテンシャルUの勾配 grad U
dU =
∂U
∂U
∂U
dx +
dy +
dz = gradU ⋅ dr
x
y
z
∂
∂
∂
Uの変化がない向きにdr移動する(等高面上の移動)：
1
dU = 0 ⇒ gradU ⋅ dr = 0
drは等高面内にあるから，gradUは等高面と直交
0.5
 ∂U ∂U ∂U 
gradU = 
,
,
 の大きさはUの勾配を表す
 ∂x ∂y ∂z 
0
F =−
dU
dx
-0.5
保存力の正体
-1
-1
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-0.5
0
0.5
21
1
1/r ポテンシャルから力を導く
V (r ) =
κ
r
 ∂V
∂V
∂V 
F = −∇V = − 
ex +
ey +
ez 
∂y
∂z 
 ∂x
dV ∂r
∂V
κ x
=
= − 2
∂x
dr ∂x
r r
∂r
∂
2
2
2 1/ 2
=
x + y + z )
(
∂x
∂x
x
1 2
2
2 −1/ 2
2x =
= (x + y + z )
r
2
ＣＳ２００３狩野
F=
κ x
r2 r
22
z
応用問題
物体に作用する力は面か
らの垂直抗力と重力だけ。
垂直抗力は角θの関数
重力の半径方向の成分が物体
を球面に押しつける
これと垂直抗力の差が円運動
の向心力をつくる
重力による仕事で加速
重力の半径方向成分は角度
とともに小さくなる。
速度が増して，円運動に必要な
向心力が大きくなる。
ＣＳ２００３狩野
半径ｒのなめらか球面上を質量ｍの質点が
天辺から滑り落ちる。重力の影響で質点は
徐々に加速しついには球面から飛び出す。
これが起きるのはどの位置か。
重力の半径方向成分が
向心力と一致する位置で
垂直抗力は０となる
すなわち球面から離れる
R
θ
Rは質点に仕事をしない
ので，重力によるポテン
シャルエネルギーと運動
エネルギーの和が保存
v2
円運動をする限界：m = mg cos θ
r
1
エネルギー保存： mv 2 = mgr (1 − cos θ )
2
mv 2 = 2mgr (1 − cos θ ) = rmg cos θ
→
2(1 − cos θ ) = cos θ
cos θ =
mg
2
3
23

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