PDFファイル

慣性モーメントを求めてみよう
1
慣性モーメント
I   r 2 dm
rは軸までの距離。
dmは質量の微小部分
ある軸の周りの回転しにくさを表す量
問題質量Ｍ、長さ2ℓの細い一様な棒の、
図の軸(中心を通る）の周りの慣性モーメントを求めよ。
2ℓ
教科書p.71
2
解答
I   r dm
z
2
rは軸までの距離。
dmは質量の微小部分
dx
M
-ℓ
0
ℓ
x
線密度（単位長さ当たりの質量）をρとする。
dm=ρdx,
3

I   x 2 dx  2 

3

ρ＝M/(2ℓ）より、
M 2
I 
3
3
解答続き：別解1
z
y方向の厚みをbとする。
z方向の高さをcとする。
体積密度をρとする。
ρ=M/(2ℓbc)
y
M
0
-ℓ
dx
x
ℓ
dm  dxdydz

b
c

0
0

I   dx  dy  dzx     dxx
2

2
b
c
0
0
 dy  dz
2 3
M 2

bc 
3
3
4
解答続き：別解２
x-ℓ dx
M
xを棒の端からとる。
0
I 
2
0
2ℓ
x
x 2
3


( x  )
2 
2
( x  ) dx   


3
 3  x 0
ρは線密度で、ρ＝M/(2ℓ）より、
3
M 2
I 
3
5
解答補足：教科書p.71の問題との対応
教科書の問題では、
・軸の場所が一般的。
軸が中央に来た場合の式を使う。
・棒の長さは
l
l
に
2
を代入
6
慣性モーメント続き（重積分）
問題質量Ｍの長方形の板ABCDがあり、
AB, BDの長さはそれぞれ2a, 2bであるとする。
A 2a
M
C
B
2b
D
(a) 長方形と同じ面内で、AB, CDの中点を通る軸の周りの
慣性モーメントを求めよ。
(b) 中心を通り、長方形に垂直な軸の周りの
慣性モーメントを求めよ。
7
(a)の解答
z
b
図のように座標をとる。
y方向の厚さをcとする。
y
x
dx
0
a x
座標(x,y,z)にある
微小部分を考えると、
M   (2a)(2b)c
dm  dxdydz
回転軸までの距離はx
a
b
c
a
b
0
a
I   dx  dz  dy x     dxx
3
4a
Ma

bc 
3
3
2
a
2
b
c
b
0
 dz  dy
2
8
z
(b)の解答
y
図のように座標をとる。
x
座標(x,y,z)にある
微小部分を考えると、
dm  dxdydz
M   (2a)(2b)c
回転軸までの距離rは r 2  x 2  y 2
a
b
c
a
b
0
a
b
a
b
y
I   dx  dy  dz ( x 2  y 2 ) 
x
 c  dx  dy ( x 2  y 2 )
a
b
a
b
2

 c  dxx  dy   dx  y 2 dy 
b
a
b
 a


 2a 3
2b 3  M a 2  b 2
 
 c
2b  2a
3 
3
 3

9
慣性モーメントの続き。
問題
教科書p.72
一般に慣性モーメント
I   r 2 dm
rは軸までの距離。
dmは質量の微小部分
を重心を通らない軸の周りで求めたいとする。
重心を通る軸（図）の周りの慣性
モーメントIGを使って、
I  I G Mb2
(bは２つの軸間の距離）
と書けることを示せ。
これを使って、棒の端を通る軸の周りの
慣性モーメントを求めよ。
M
b
2ℓ
10
円筒座標をやる前に
復習をします。
１．三角関数の復習（高校数学）
２．２次元極座標の復習（高校の数学Ｂ）
３．円筒座標の復習（前期）
11
三角関数の復習
高校の数学１，数学２
図のように、直角三角形を置く。
（角度φが水平からの角度、直角部分が右下）
水平の辺
cos  
斜辺
垂直の辺
sin ＝
斜辺
斜辺
φ
垂直の辺
水平の辺
高校では、角度はθ（シータ）を用いたが、
後で極座標や円筒座標と比較するために、
φ（ファイ）を使っている。
12
２次元極座標
高校の数学Cの復習
質点の位置P(x,y)を２次元極座標(r,φ)で表す。
x  r cos 
y  r sin 
y
P(x,y)
r
r≧0
0≦φ＜2π
0
φ
x
高校ではθを使うが、
後の都合でφを
使っている。
13
質問：なぜφの範囲を0からπにして、
rをマイナスも考えないか？
ぐるっと回った時に、
rがプラスからマイナスになるのは、
不連続な変化になってしまう。
y
0
x
rはずっとプラスにしておく。
14
２次元極座標、続き
r=一定の図形
y
半径rの円
x
0
φ=一定の図形
半直線
y
0
x
15
少し質点に戻って。。
円筒座標系
粒子と一緒に動く
座標系
16
教科書p.2の1-1図の右
z
質点の位置P(x,y,z)を円筒座標(r,φ,z)で表す。
円筒座標系
x  r cos 
y  r sin 
zz
φ(ファイ）
0
x
P(x,y,z)
φ r
Q
点P(x,y,z)のxy平面上への射影を
Qとする。
OQの長さがr, x軸からOQへの角度がφ
角度によく使う記号。
0≦φ＜2π
問題円筒座標系で、下記の条件を満たす点の集合は、
どのような面になるか。それぞれ３次元空間内に図示せよ。
(a)r=一定
(b) φ=一定 (c)z=一定
（注意：rはOQの長さ）
17
y
教科書p.2の1-1図の右
円筒座標
z
P
0

x
P(x, y, z)
y
r
Q
x  r cos 
y
xy平面
y  r sin 
Q
r

O
zz
x
18
問題の解答
z=一定
x
z
0
xy面からの距離が一定。
無限に広がる平面
y
例：床から3mの高さの点の集合は、
天井になる。
19
問題の解答
r=一定
r
x
0
y
円筒座標のrの定義に注意。
xy平面に射影した時の原点からの
距離
（つまり、z軸との距離）
r=一定は、円筒の側面になる。
上下に無限に続いている。
例１：海苔の缶の側面だけ。これが無限に広がったもの。
例２：トイレットペーパーの芯の部分が
無限に広がったもの。
20
問題の解答２
φ一定
φはxy面上に射影した時の、
x軸からの角度。
0
x

y
φ=一定の図形は、
半平面。上、下、rが大きくなる方向
に無限に広がる。
z軸の反対側には行かない。
φの範囲は0から2π。
反対側は違うφになる。
21
円筒座標のイメージ
タワー型マンションは普通は直方体だが、
円形タワーマンションがあったとする。
何階に住んでいるか。-> z座標
円筒の外側には窓があり、
内側はエレベーターや廊下
-> r座標
ある階での部屋は放射状に作ると考えられる。
1101号室、1102号室、
-> φ座標
22
円筒座標の別イメージ
丸いピザを切るとき、
人数によって角度が違う。-> φ
円筒型のケーキで、
・上にはいちご、下はスポンジ
-> z
・外側はクリーム、内側はスポンジ
-> r
・切り分けるときに、どんな角度で切るか。-> φ
23
参考：３次元極座標（後期に詳しくやります）
z
θ
0
x

P
P(x,y,z)
z
r
Q
O
y
r
Q
θ
y
このページは前期の
試験には出ません。
y
Q
O

x
x
角度が２種類必要。片方がθ、もう片方がφ。
-> 円筒座標の角度φと同じ測り方。
rの取り方が違うことに注意。
極座標では原点からの距離。
円筒座標では、xy面上に射影してから、原点からの距離。
極座標は球対称な場を考えるときに使う。
例：電荷が球状に分布している場合。
24
円筒座標を使うメリット
・円運動、らせん運動、円筒の
対称性を持つ系
（例えば直線電流の周りの磁場）を
扱いやすい。
25
次に
円筒座標系の
基本ベクトルを求める。
（粒子が動くと、基本ベクトルも動く。）
26
基本ベクトルとは
長さが１
お互いに直交する。
３次元なら３個（２次元なら２個）
座標系によって、基本ベクトルが違う。
その座標系のベクトルを、
基本ベクトルを使って書く。
1) 直交座標
2) 円筒座標
3) 極座標（後期にやります。）
27
直角座標系の基本ベクトル
ex , e y , ez
x軸、y軸、z軸方向の単位ベクトル（長さ１）。
x, y, zがそれぞれ増える方向
z
成分で書くと、
e x  (1,0,0)
ez
e y  (0,1,0)
e z  (0,0,1)
ex
O
y
ey
終点
x
始点
ベクトルの始点（矢印の根元）を原点に置いた時の、
ベクトルの終点（矢印の先）の座標で表す。
28
動径ベクトル
r
radius vector
位置ベクトルとも言う。
r  xex  ye y  zez
z
ある原点Ｏからのベクトル。
P(x,y,z)
r
ez
ex
x
復習
O
ey
y
29
円筒座標系の基本ベクトル
z
x  r cos 
y  r sin 
zz
円筒座標系の基本ベクトル。
長さは１で、点Pにおいて、
er
e
ez
rが増える向き。
φが増える向き
0
P(x,y,z)
y
φ r
x
x軸、y軸、z軸は、
空間に固定されている。
注意：
e 点Pにおいて、r,zは
一定で、φが微小量だけ
増える向き。
zが増える向き。
問１：e r , e , e z を図示せよ。
問２： e r , e , e z のx,y,z成分が
右のようになることを示せ。
e r  cos  sin 
e   sin 
e z  0 0 1
cos 
0
0
30
30

Download Report