教室 ： 1414-202 BER NOVEM 06 画像工学 2007年度版 2007年度版 Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami Imaging Science and Technology 画 像 工 学 2007年度版 5 慶応義塾大学理工学部 慶応義塾大学理工学部 教授 教授 中 中 島 島 真 真 人 人 Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami 1 §3. 画像のスペクトラム 3-1. 画像のフーリエ変換と空間周波数の概念 3-2. 簡単な図形のフーリエ変換 3-3. フーリエ変換の重要な性質 3-4. ＭＴＦと画像の評価 今週と来週は、あまり面白くない． でも、後の講義を理解するために，重要です． 耐えてください！ ANIMATION Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami §3-1. 画像のフーリエ変換と空間周波数の概念 信号の形 時間空間上 画像空間軸上 f ( t )，g ( t ) ．．． f ( x , y )，g ( x , y ) ．．． ν 周波数 （Hz：回／秒） 空間周波数 ξ，η （line/mm：本／mm） 角空間周波数 角周波数 ω＝2πν (rad) Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami u ＝2πξ (rad) v ＝2πη (rad) ANIMATION 2 0 時間軸上での波形 t f (t ) = a sin ω 0 t ν = 0 1 T0 （Hz：回／秒） T0 周波数軸上の波形 ω：角周波数 （ ω = 2πν ） F (ω ∞ ) = ∫− ∞ ω f (t )e − ω 0 t dt -ω0 0 ω0 ω 0 = 2πν 0 ANIMATION Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami 画像空間での周波数（空間周波数） Spatial Frequency ．．． +∞ f (x,y) y －∞ +∞ x －∞ f ( x , y ) = sin ux = sin 2π x Tx u：角空間周波数 Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami Tx ANIMATION 3 画像を回転してみよう・・・ y Tx，Ty：周期 ξ，η：空間周波数 u，v：角空間周波数 Ty x Tx 2π Tx 2π v = 2πη = Ty u = 2πξ = ⎛ 2π 2 π ⎞⎟ f ( x , y ) = sin (ux , vy ) = sin ⎜ x, y ⎜ T ⎟ T y ⎝ x ⎠ ANIMATION Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami 画像を回転してみよう・・・ y Tx，Ty：周期 ξ，η：空間周波数 空間周波数 Ty 単位長さ当たりの u，v：角空間周波数 x 濃淡変動の回数 2π u = 2πξ = Tx Tx ただし、方向性がある！ 2π v = 2πη = Ty ⎛ 2π 2 π ⎞⎟ f ( x , y ) = sin (ux , vy ) = sin ⎜ x, y ⎜ T ⎟ T x y ⎝ ⎠ Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami ANIMATION 4 く！ らか 柔 を 頭 画 は 像 ，‘ 縞 合 の 成 も言 と ’ え で の る は ・・ ・ ペン画例 Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami これより・・・ 画像を定量的に取り扱っていくために必要な 数学的知識を身につけていただく！ Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami 5 § 3-2. 簡単な図形のフーリエ変換形 §3-2. （ 1 ）デルタ関数：δ ( t )，δ ( x , y ) ［ 時間関数の場合 ］ ∞ δ(t) ∫ ∞ δ ( t ) dt = 1 −∞ t 0 ∫ ∞ −∞ δ (t )e − jω t FT δ(t) 1 F [δ ( t ) ] ∞ δ(t) dt = 1 t 1 FT ω 0 0 ANIMATION Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami ［画像の場合］ δ ( x,y) ：２次元のデルタ関数 1 pixel ・数学的には、大きさ∞小、明るさ∞大の光の点． y 1 ・画像工学的には、大きさ１pixel、明るさ１の点とする． x ∞ ∞ −∞ −∞ ∫ ∫ ∞ ∞ −∞ −∞ ∫ ∫ δ ( x , y )e − j (ux + vy ) dxdy δ ( x , y ) dxdy = 1 =1 FT y δ(x,y) x δ(x,y) Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami 1 v FT u F [δ ( x , y ) ] = 1 or constant. ANIMATION 6 （ 2 ）rect 関数：rect 関数：rect ( t )，rect ( x , y ) ［ 時間関数の場合 ］ ⎛ t ⎞ rect ⎜ ⎟ ⎝a⎠ a sinc ( aω ) 1 a t ω FT 0 0 ∫ ∞ −∞ ⎛ t ⎞ rect ⎜ ⎟ e − ⎝ a ⎠ jω t ⎛ t ⎞ rect ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ dt = a sinc FT (a ω ) = a sinc (a ω ) = ジンク関数： sin a ω ω sin a ω ω sinc (t ) = sin t t ANIMATION Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami ［ 画像の場合 ］ a ⎛ x y ⎞ rect ⎜ , ⎟ ⎝a b ⎠ b y 1 x ∞ ∞ −∞ −∞ ∫ ∫ ⎛ u v ⎞ − rect ⎜ , ⎟e ⎝ a b ⎠ ⎛ x y⎞ rect ⎜ , ⎟ ⎝a b ⎠ ⎛ x y⎞ rect ⎜ , ⎟ ⎝a b ⎠ j (ux + vy FT dxdy x = ab sinc ab sinc (au , bv sinc (au , by y Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami ) ) (au , bv ) ) v u FT ANIMATION 7 ［ 画像の場合 ］ a ⎛ x y ⎞ rect ⎜ , ⎟ ⎝a b ⎠ b y 1 x ∞ ∞ −∞ −∞ ∫ ∫ ⎛ u v rect ⎜ , ⎝ a b ⎞ − ⎟e ⎠ ⎛ x y⎞ rect ⎜ , ⎟ ⎝a b ⎠ ⎛ x y⎞ rect ⎜ , ⎟ ⎝a b ⎠ j (ux + vy ) FT dxdy ab sinc (au , bv sinc (au , by y x = ab sinc ) (au , bv ) ) v u FT 元画像 スペクトラム Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami ［ 画像の場合 ］ a ⎛ x y ⎞ rect ⎜ , ⎟ b a b ⎠ ⎝ ちょっと一言・・・ y 1 画像 f ( x , y ) は，普通 real & non-negative ∞ ∞ −∞ −∞ ∫ ∫ x 変換たる（振幅）スペクトラム F ( u , v ) は， その Fourier 普通 complex ⎛ u v ⎞ rect ⎜ , ⎟e − a b ⎠ ⎝ j (ux + vy ) dxdy = ab sinc (au , bv すなわち，図に描けない！ ) FT そこで，以降，本講義で図示されるスペクトラムは， ⎛ x y⎞ (au , bv ) rect , ⎜ ⎟ 全て‘パワー・スペクトラム’| F ( uab , v sinc ) | 2 であると思って a b ⎠ ⎝ いただきたい． ⎛ x y⎞ rect ⎜ , ⎟ ⎝a b ⎠ y sinc (au , by ) v 因みに，原点対象図形の（振幅）スペクトラム F ( u , v ) は、 u x Real である． (non-negative ではない ) FT 元画像 Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami スペクトラム ANIMATION 8 （ 3 ）circle 関数：circle 関数：circle(( r ) r 1 y x ２次元特有の関数（ 1次元では、rect 関数に同じ ） ∞ ∞ −∞ −∞ ∫ ∫ ⎛ r ⎞ − ⎜ ⎟e ⎝ a ⎠ circle j (ux + vy ) dxdy ここで、 r = x2 + y2 J 0 (a ρ aρ FT ⎛ r ⎞ circle ⎜ ⎟ ⎝a⎠ J 0 (a ρ aρ = 、 ) ρ = u2 + v2 ) ANIMATION Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami J 0 (a ρ aρ FT ⎛ r ⎞ circle ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ) J 0 (x ) x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a v 1 y FT u x Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami ANIMATION 9 a 1 J 0 (a ρ aρ FT ⎛ r ⎞ circle ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ) J 0 (x ) 0 1 y vx FT 2 3 u 5 4 6 7 9 8 x a v 1 y FT u x Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami ⎛ r ⎞ circle ⎜ ⎟ ⎝a⎠ FT J 0 (a ρ aρ ) a v 1 y FT u x y ⎛ r ⎞ circle ⎜ ⎟ ⎝a⎠ Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami a v x FT u ANIMATION 10 ⎛ r ⎞ circle ⎜ ⎟ ⎝a⎠ FT J 0 (a ρ aρ ) a v 1 y FT u x y ⎛ r ⎞ circle ⎜ ⎟ ⎝a⎠ v a x FT u ANIMATION Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami ちょっと，コメント・・・ ⎛ r ⎞ circle ⎜ ⎟ ⎝a⎠ FT J 0 (a ρ aρ ) ‘モアレ縞’が出ている！ a v 1 y FT u x y v ⎛ r ⎞ circle ⎜ ⎟ ⎝a⎠ x FT u ‘モアレ縞’とは何か？ Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami ANIMATION 11 ちょっと，コメント・・・ Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami ANIMATION ちょっと，コメント・・・ デジタル画像は， モアレ縞を取り除くのが， けっこう難しい！ ピッチの近い縞が浅い角度で重なると， 例えば， 元画像にはない‘新たな縞模様’が ディスプレイの画素ピッチと 見えてしまう現象を，‘モアレ現象’という． 表示画像の縞模様の間で モアレ縞が発生する． Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami ANIMATION 12 （ 4 ）gauss 関数： e − at 2 ［ 時間関数の場合 ］ ω2 e − at 1 − a e a 2 FT ω x ∫ ∞ − ∞ e − at 2 e e − jω t − at 2 FT dt = 1 e a − ω 2 a ω2 1 −a e a ガウス関数は、 フーリエ変換してもガウス関数とな る． フーリエ変換してもガウス関数となる． ANIMATION Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami e e − at − at 2 FT 2 ω2 1 −a e a ω2 1 − a e a FT ω x e − at ω2 2 1 − a e a FT x Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami ω ANIMATION 13 ［ 画像の場合 ］ e − (ax 2 + by 2 ) FT u x v y ∫ ∞ − ∞ ∫ ∞ − ∞ e − (ax 2 + by e 2 )e − j (ux ) + vy FT − ( ax 2 + by 2 ) dxdy = −( 1 e ab e ⎛ u 2 v 2 ⎞⎟ − ⎜⎜ + b ⎟⎠ ⎝ a u2 v2 + ) a b ANIMATION Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami ［ 画像の場合 ］ 1 ab e − (ax 2 + by 2 ) FT u x v y e FT − ( ax 2 + by 2 ) y u2 v2 + ) a b v x Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami −( 1 e ab FT u ANIMATION 14 ［ 画像の場合 ］ e − (ax 2 + by 2 ) FT u x v y e FT − ( ax 2 + by 2 ) −( 1 e ab y u2 v2 + ) a b v x FT u Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami （ 5 ）comb 関数： combp (t ) ［ 時間関数の場合 ］ combp (t ) ⎛ t ⎞ comb p (t ) = comb ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ p⎠ i = −∞ p comb( pω ) y x 1 ∞ ∑δ(t − ip ) FT v p u 1/p p ∫ ∞ −∞ ⎛ t ⎞ − ⎟⎟ e comb ⎜⎜ ⎝ p ⎠ ⎛t ⎞ comb ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ p⎠ jω t dt = pcomb FT (pω ) p comb ( p ω ) Comb 関数も、フーリエ変換しても comb 関数である． Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami ANIMATION 15 ［ 画像の場合 ］ p q ⎛ x y⎞ comb ⎜⎜ , ⎟⎟ ⎝ p q⎠ 1/q pq comb ( pu , qv ) 1/p pq FT 1 ∞ ∞ −∞ −∞ ∫ ∫ ⎛ x y ⎞ − comb ⎜⎜ , ⎟⎟ e ⎝ p q ⎠ ⎛ x y⎞ comb ⎜⎜ , ⎟⎟ ⎝ p q⎠ j (ux + vy FT ) dxdy = pqcomb ( pu , qv ) pq comb ( pu , qv ) ANIMATION Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami ［ 画像の場合 ］ p q ⎛ x y⎞ comb ⎜⎜ , ⎟⎟ ⎝ p q⎠ 1/q pq comb ( pu , qv ) 1/p pq FT 1 ⎛ x y⎞ comb ⎜⎜ , ⎟⎟ ⎝ p q⎠ FT pq comb ( pu , qv ) y p ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ FT u ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ x 1/q ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ q ・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・ ・・・・・・・・・・・・ v 1/p Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami 16 ⎛ x y⎞ comb ⎜⎜ , ⎟⎟ ⎝ p q⎠ f (x , y ) x x ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・ ・ ・ ・・・・・・ ・・・・・ ・ ・・・・・・ ・・・・・ ・ ・・・・・・ ・・・・・ x ・ ・・・・・・ ・・・・・ ・ ・・・・・・ ・・・・・ 画像のサンプリング については，また後で じっくり学びます！ ・ ・・・・・・ ・・・・・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・・ ・ ・・・・・・ ・・・・・ ⎛ x y f ( x , y ) comb ⎜⎜ , ⎝ p q FT ⎞ ⎟⎟ ⎠ F (u , v ) ⊗ pq comb ( pu , qv ) ANIMATION Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami a （ 6 ）双曲関数： 双曲関数： t ［ 時間関数の場合 ］ y v 1 aω a t FT t ∫ ∞ −∞ a − e t a t jω t FT u dt = 1 aω 1 aω 双曲関数も、フーリエ変換しても 双曲関数も、フーリエ変換しても 双曲関数である． 双曲関数である． Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami ANIMATION 17 ［ 画像の場合 ］ a r ここで、 r= x +y 2 1 aρ 2 v x FT y ∞ ∞ −∞ −∞ ∫ ∫ a − e r a r u j (ux + vy ) dxdy = 1 aρ 1 aρ FT ANIMATION Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami ［ 画像の場合 ］ a r ここで、 r= x +y 2 1 aρ 2 ρ = u2 + v2 v x y a r FT FT y u 1 aρ v x Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami ρ = u2 + v2 u FT ANIMATION 18 （ 7 ）正弦波関数： 正弦波関数： sin ω 0 t 、 cos ω 0 t ［ 時間関数の場合 ］ cos ω 0 t δ (ω − ω 0 ) + δ (ω + ω 0 ) y x FT u ω0 -ω0 ∫ ∞ −∞ cos ω 0 t e − jω t dt = δ (ω − ω 0 ) + δ (ω + ω 0 FT cos ω0t ) δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 ) ただし、画像では、負は生じない． ANIMATION Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami （ 7 ）正弦波関数： 正弦波関数： sin ω 0 t 、 cos ω 0 t ［ 時間関数の場合 ］ cos ω 0 t y cos ω 0 t + c y ∫ ∞ −∞ δ (ω − ω 0 ) + δ (ω + ω 0 ) δ (ω − ω0FT) + δ (ω + ω0 ) + cδ (ω ) x -ω 0 直流分 cos ω 0 t e − jω t dt = δ (ω − ω 0 ) + δ (ω + ω 0 x FT cos ω0t FT u ω0 ) u δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 ) -ω0 ω0 ただし、画像では、負は生じない． Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami 19 ［ 画像の場合 ］ y cos (u 0 x , v 0 y ) + c x Ty0 v v0 FT u0 + v0 2 2 u u0 Tx0 Tx0= 2π / u0 ∫ ∫ [cos (u ∞ ∞ −∞ −∞ 0 Ty0= 2π /v0 x , v 0 y ) + c ]e − j (u 0 x + v 0 y ) = δ (u − u 0 , v − v 0 ) + δ (u + u 0 , v + v 0 cos (ω 0 x ,ω 0 y ) FT dxdy ) δ (u − u 0 , v − v 0 ) + δ (u + u 0 , v + v 0 ) ANIMATION Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami 今日は、ここまで・・・ 今日は、ここまで・・・ 2007年度 「画像工学」 第 5 回講義 おわり Autumn 2007 Prof.M.Nakajima KEIO Univ. Yagami 20
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