後期中間試験 3年選択物理 H.15. 12 慣性系Sにおける座標(x,t) と、Sに対してx軸方向に一定の速度v で動く慣性系S’における座標(x’,t’) とはローレンツ変換 x'= x − vt 1 − β2 v x c2 t'= 1 − β2 t− で結び付けられる。以下ではこの結果を用いてよい。また光速とする。 c = 3 × 108 [m / s ] β = v / c １．以下の問に答えよ。（１）ガリレイ・ニュートンの力学と特殊相対性理論では、「時間」に対する考え方が大きく異なっている。その違いを簡単に説明せよ。（２）特殊相対論的な効果が実際に観測されている例、あるいは工業技術に応用されている例について、簡単に説明せよ。（一つでよい）２．次の問に答えよ。（１）宇宙船の中で生活する人の一日が、地球上での人の４日に相当するためには、宇宙船は地球に対してどれだけの速さで動いていなければならないか。（２）光速の３/５の速さで地球に帰還してきたロケットがある。このロケットの乗員から見て大気の厚さはれだけか（地球上の人から見て大気の厚さは１０ｋｍである。）（３）光速に近い乗り物に乗って街中を眺めた場合、相対論的効果を無視した通常の眺めとはどのように異なるか。例をあげ、それぞれがなぜ起こるのか簡単に説明せよ。 xB ３．慣性系Sの二つの異なる場所、x とで同時に起こった事柄が、Sに対しx軸方向に速度vで動く慣性系S’で A は同時でないことを、ローレンツ変換の式を用いて示せ。また、慣性系S’がy方向に動いたときは二つの現象は同時に起こるかどうか答えよ。４．速度の合成について以下の問いに答えよ。（１）地球に対して光速の４/５で動いている宇宙船に乗り、ロケットの進行方向と同じ方向に光速の３/５の速さのミサイルを発射した。古典力学で考えると、地球から見たミサイルの速さはいくらか。（２）（１）の問について相対論的効果を考慮するとどうなるか。（３）ロケットが進行方向とは直角の方向に、光速の半分でミサイルを発射した。このとき地球から見たミサイルの速度（宇宙船の進行方向と直角方向それぞれ）はどれだけか、求めよ。５．光のドップラー効果について次の問に答えよ。（１）相対論的な光のドップラーの特徴である、横ドップラー効果は波の進む方向に観測者・光源が動かない場合でも起こる。その理由を簡単に説明せよ。（２）音のドップラー効果の場合は音源が動く場合と、観測者が動く場合では式が異なっていた（覚えてますか？）。しかし相対論的な場合は、どちらが動いても同じ式で表される。その理由は何か。考察して簡単に説明せよ。（３）地球から80億光年離れた銀河は3000Åを出す星で出来ているが、地球からその銀河を観測すると、 6000Åの光として観測された。この銀河が地球から遠ざかる速さはどれだけか。（４）ハッブルの法則は「地球からの距離」と「地球から遠ざかる速度」が比例することを示している。それを用いて宇宙の年齢（宇宙が出きてから何年たったか）を求めよ。（宇宙は最初1点から始まったと考えてよい）６．特殊相対性理論では座標系で様々な量が変化するが、座標系によらず変化しない量もある。以下では慣性系S とそれに対してx 軸方向に一定速度vで動く慣性系S’において不変な量を考える。問に答えよ。（１）ローレンツ変換の式を用いて、が不変量であること。すなわち常に c 2t 2 − x 2 c 2 t '2 − x '2 = c 2 t 2 − x 2 が成り立つことを示せ。（２）一方速さに関係する不変量も存在する。 dx ', dt ' dx , dt, c,v で表せ。（ｙ方向は考えなくてよい）（ア）ローレンツ変換の式を用いてを dx dt dx ' dt ' =c =c （イ）（ア）の式を用いて光速cが不変量であることを示せ。すなわちならばとなることを証明せよ。（３）時間も座標により変化するので、座標系によらない時間「固有時」を定義したい。ある物体の運動をS系の座標(x,t)で表す。つまりこの物体のS系での速度はとなる。速度vで動く系S’から見た速さを同様 u = dx / dt u ' = dx '/ dt ' にとする。固有時をとすると、固有時は座標に依存しない。すなわち d τ = dt 1 − u 2 / c 2 dt 1 − u 2 / c 2 = dt ' 1 − u '2/ c 2 であることを証明せよ。（４）（１）に戻りローレンツ変換の図形的意味を考察する。例えば、回転行列の変換は x 2 + y 2 = 一定である円の円周上において、ある点を与えられた角度だけ動かす変換になっている。ではローレンツ変換は(x,t)の座標のどのような図形上での変換になっているだろうか。説明せよ。後期中間試験 3年選択物理解答用紙 H.14.12 クラス番号名前１．（１）（２）２．（１）（２）（３）３．４．（１）（２）（３）５．（１）（２）（３）（４）６．（１）（２）（ア）（イ）（３）（４）