航空機複合材構造の最適設計

航空機複合材構造の最適設計
東京工業大学
轟
章
内容
(1)積層構成最適化の必要性
(2)積層パラメータ
(3)航空機構造における最適設計
(4)拘束条件の取り扱い
(5)まとめ
東北大学大学院工学研究科次世代航空機研究センター
第１回研究会 2013年5月23日
1．積層構成最適化の必要性
最新の航空機構造には
複合材料構造が多用
されている
重量軽減のために寸法最
適化が必要
パネル
補強構造
薄板では座屈防止，パネ
ルフラッタ防止のために
積層構成最適化が必要
平板の座屈問題の例
lNy
90
Y
lNx
45
lNx
[1/2/···/N]S
X
0
lNy
1m
16 plies
•
•
•
•
対称積層
 (0, 45, 90)
アングルプライのバランス±45°
４層ルール
0.5m
Nx=175N/m
Ny=50N/m
[016]T
l=0.18
[9016]T
l=0.55
[(0/90)4]s
l=0.84
[±45/45/903/-45/90]S l=1.28
Building block approach
積層構成最適化は複合材料構造最適化に不可欠
繊維配向角度θが設計変数の場合
λ  f (θ1 , θ 2 ,, θ n )
・設計変数は積層数増加と共に増加する
・多くの局所解が存在する
Ny
Nx
Nx =175[N/m] ,Ny =175[N/m]
a
b
λ
a=1.0[m] , b=1.0[m]
[θ1/θ2 /45/  45/45/  45/45/  45]s
θ1
θ2
積層パラメータによる座屈強度表示
繊維配向角度の代わりに積層パラメータが用いられるとする
λ f(V , V , W , W )
*
1
*
2
*
1
*
2
*最大変数は４個で固定
*設計空間は多くの場合多面体
Ny
Nx=175[N/m] , Ny=175[N/m]
Nx
a
b
a=1.0[m] , b=1.0[m]
λ
λ f(W1* , W2* )
W2*
W1*
面内積層パラメータ
V1* 
 *
V
1
V   2*  
V3  tN
 *
V4 
cos 2 


N
( N  k 1) t cos 4

dz


( N k ) t
 sin 2 
k 1


sin
4



cos 2 
cos 4 
1 N

N  k  1  N  k 


 sin 2 
tN k 1


sin
4



U 1

 A11 
U 1
A 
22
U


 4
 A12 

  h U 5
A

 66 
0
 A16 



 A26 
0

V1:
 V1*
0
0
1 *
V3
2
1 *
V3
2
V2* 

V2* 
 V2*   1 
 
 V2*  U 2 

V4*  U 3 

*
 V4

面外積層パラメータ
W1* 
cos 2 
 *


N
( N  k 1) t cos 4
W
3

z 2 dz
W   2*   3 3  
W3  t N k 1 ( N  k )t  sin 2 
 *


sin
4

W4 



3 N
3
3
 3 3  N  k  1  N  k 
t N k 1
 D11 
D 
 22 
 D12 
 
 D66 
 D16 
 
 D26 
U1

U1
U 4
3
h 
 U 5
12 
0

0

W1:
 W1*
0
0
1 *
W3
2
1 *
W3
2
W2* 

W2* 
 W2*   1 

 W2*  U 2 
 
*  U 
W4   3 

*
 W4 

cos 2 
cos 4 


 sin 2 


sin
4




45°層と –45 °層が近くにある場合
W1* 
cos 2 
 *


N
( N  k 1) t cos 4
W
3
2

z 2 dz
W   *  3 3  
W3  t N k 1 ( N  k )t  sin 2 
 *


sin
4

W4 



3 N
3
3
 3 3  N  k  1  N  k 
t N k 1
k
cos 2 
cos 4 


 sin 2 


 sin 4 
W*3=W*4=0
W *2
(-1,1)
(1,1)

° °° °
cosk
cosk








sink




sink




W*1
0
(0,-1)
総積層数が８層の場合
(-1,1)
W2*
(1,1)
W1*
(0,-1)
フラクタル図形を描く
フラクタル分枝限定法
1
1
0
 1
W *  (a0  a1 )    s0    s45    s90  
1
1
 1
1
3
5
a1     0.5787
6
N=6 (12 plies)
[0/90/*…]s
W2*
0°
45°
90°
W1*
 0 /
/  / 
s
フラクタル分布領域の範囲がわかる
想定された範囲の最大値の推定
２次多項式近似できると仮定する

f ( V, W)  c  V W
T
T


 bV  1 T T
b   2 V W
 W

 AVV
AT
 VW
AVW   V 
AW W  W
範囲の決まった領域での２次多項式の最大値を推定する
f  f (V, W)  f (V0  a dV V d , W0  a dW W d )
d
 f 0  f Vd  f Wd  f VW
定数
最大達成可能な安全側の見積もり
d
d
0
V
W
g  f  max f  max f  max f
d
VW
単一積層板の積層構成最適化
[0/90/45/···]S
DOE
0
FEM
M
M
M
y   0    i xi    ij xi x j
i 1
RSM (２次多項
式）
i 1 j i
0
45
90
45
90
…
…
0 45 90
0 45 90 0 45 90
積層パラメータ V,W
…
0 45 90
…
分枝限定法
FBB 法
W2
三角領域を決定して最大値を推定
仮の解
さらに探索
W1
これ以上探査の必要ない
積層パラメータ
DOE
多数積層板の同時最適化
FEM
M
M
M
i 1
i 1 j i
y   0    i xi    ij xi x j
RSM
積層パラメータV,W
複数積層の最適化
交互最適化
１つの積層板を固定
Stiffener
他の積層板を最適化
Panel
NO
収束
YES
Optimized
Fixed
Optimized
Fixed
補強板パネルの断面
目的関数の２次多項式近似不可能な場合には
GAを直接使用して積層構成最適化も可能
積層パラメータ空間上でGAの交叉を
行うように注意する必要がある（補修による変更）
積層数を固定して積層構成最適化を行う
GAでは積層数を同時に固定しないで設計可能
(3)航空機構造における最適設計
目的：軽量化＋拘束条件を満足
（変位，強度，フラッタ，座屈，疲労強度，
耐食性，耐雷性．．．．）
ハット型補強構造
ブレード型補強構造
Ｉ/T型梁補強構造
サンドイッチ構造
それぞれの最適な結果を比較すればよい
2段階最適化による構造設計
GAで寸法最適化
寸法決定
Construct the Kriging model
with ns sample points
Initialize all variables of G A
population randomly
寸法決定後に
最適積層構成を求める
Input: dimensions
Calculate the objective values
using the Kriging model
Evaluate the fitness
評価
GA操作
No
Stacking sequence-level
optimization
Construct the quadratic RS
using the data
Update population
(GA operation)
Optimize two stacking
sequences by exteded FBBM
Converge?
Yes
評価点の応答曲面
の精度向上
Select additonal analysis
points and evaluate them
Add the results to data
ns=ns+10
FBB
Output: optimum
GAでも可
応答曲面を使うことでGA
と解析ツールを完全分離
最適設計

W  bt p   b2  w2  w 


ハット型補強板構造の重量最小化
最小化
重量 W
w2  w2  4h 2 t s a
 
拘束条件
座屈 l1
設計変数
解析
寸法
b 2 , w , w2 ,h,
FEM ANSYS®
（Buckling 10 minutes）
Nx=750kN/m
CFRP T300/5208
Np,Ns ２つの積層板
の積層構成
w
width of crown
stiffener
thickness
Ns
Nx
h
height
skin
thickness
a
Np
w
ts
w2
width
h
spacing of stiffener b2
w2
tp
b2
Nx
b
y
z
x (0º)
複数目標GAで目的関数と拘束条件を分離し
て拘束条件の満足の期待値を別に取り扱う
拘束条件の応答曲面化（解析コスト削減）
確率的にしかわからない
拘束条件満足の確率
重量軽量化
Wmin  W x
&
２つの目的関数
の最大化
Prl x   1
設計変数
寸法
b2,w,w2,h, Nsect Np,Ns
２つの積層構成
•
•
•
•
対称積層
 (0, 45, 90)
バランス±45°
４層ルール
Kriging 応答曲面
ガウス関数利用
 m
i
j 2
R x , x  exp  k xk  xk 
 k 1

• 統計的内挿法
•251個のデータから作成

i
j

応答 f (x) : l/W
変数 : 6 寸法（b2/b, w/b, w2/b, h/b, Np, Ns）
& 8 積層パラメータ
２つのデータ間
の重み
多峰性，確率的評価，MATLABで評価可能
真の関数
1.5
+s
f sSample point
1
f(x)
f (x)
応答
0.5
-s
推定誤差の統計的エラー
0
0
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
クリギング応答曲面を用いた修正
高速条件満足確率
拘束条件満足確率


 1  lˆ 
ˆ

Pr l x   1  1  Φ

 s 
 : 累積確率密度，s : 分散
正規分布の上位部分の確率
真の関数
1.5
1.5
Sample point
11
f f(x)
(x)
確率
0.5
0.2
0.2
0.4
0.4
FEM解析追加
1
0.6
0.6
0.8
0.8
Pr(x)
0.5
0.5
00
00
高いPrと低Wの探索
応答
0
11
クリギング応答曲面の作成
xx
(a) 初期（6 data）
1
1
f (x)
1.5
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
(b) 第２回（7data）
0
1
0.5
1
Pr(x)
0.5
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
(c) 第３回（8 data）
0
1
Pr(x)
f (x)
1.5
102
,
1
重量軽減 ΔW, kg
Pareto frontier
Sampled solution (infeasible)
Sampled solution (feasible)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
Pr(l 1), EI
0.8
1
確率
パレート最適解
２つの目的関数の最大化
FEM 10 パレート最適解
クリギング応答曲面の再構築
初期応答曲面
Estimated response, kg-1
2
1
0
0
1
Actual response, kg-1
2
2
Minimum weight
Feasible
Infeasible
Weight, kg
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0
1
2
3
Iteration Number
4
5
繰返し履歴（横軸は応答曲面の再作成回数）
GAは各回ごとに収束するまで計算
Improvement of W, 102 kg
1.5
Pareto solutions
Sampled solutions (feasible)
Sampled solutions (infeasible)
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
Pr(l1)
0.8
1
W, kg
1.239
l
1.01
h, m
0.0235
w, m
0.0432
W2, m
0.103
(b2w2), m
0.040
Plies
Np: 6
Ns: 10
Stacking sequence
[(±45)3]S
[02/45/04/45/02]S
疑似等方性CFRP積層構造と比較して23% 重量削減
301 FEM 解析数
3%の真の最適解との差異（数千回のFEMで解析）
(4)拘束条件の取り扱い
•座屈荷重比
２次多項式
•変位
応答曲面近似可能
•固有振動数
クリギング近似
•フラッタ限界速度
•破壊強度
各層ごとにクリギング近似
特別な扱いが必要
•熱変形
平板の座屈荷重の２次多項式応答曲面
1
0.4
0.2
0.8
0.7
0.9
0.8
0.9
1
1.1
1
0.6
0.7
0.8
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0.3
0.4
0.5
1.2
Exact OP
0.9
1.1
1
-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
W*1
Fig. 3 Exact buckling load contour in entire design space
W*2
W*2
0.8
0.6
0.6
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0.6
0.8
0.7
0.9
0.8
1
0.3
0.4
0.5
0.9
1.1
1
OP by RSM
Exact OP
0.6
0.7
0.8
0.9
1.1
1
-1
-0.5
0
0.5
1
W*1
Fig. 4 buckling load contour based on one-stage
response surface
２次多項式での応答曲面近似可能
超音速デルタ翼のフラッタ限界速度の
２次多項式応答曲面近似
２次多項式での応答曲面近似困難
超音速デルタ翼の基準角度の最適化におけるKriging応答曲面
Kriging応答曲面近似可能
破壊強度計算
z
面内積層パラメータ
x
y
積層板全体の変形量を計算
各層のひずみを計算
V1 


 


h 2 cos 4
V
2
 dz
V   2    
V3  h 0  sin 2 
 


V4 
 sin 4 
ただし,θは各層の配向角
面外積層パラメータ
ひずみを応力に変換
破壊判定
(引張・圧縮に寄
cos 2 与)
(曲げに寄与)
W1 
cos 2 
 


h 2 cos 4
W
24
 z 2 dz
W   2   3  
W3  h 0  sin 2 
 


sin
4

W4 


29
Tsai-Wu破壊則
剛性の異方性と
強度の異方性が異なる
Fxx  2Fxy x y  Fyy  Fss  Fx x  Fy y  1
2
x
2
y
2
s
1
1
1
Fxx 
, Fyy 
, Fss  2 ,
XX 
YY 
S
1 1
1 1
Fx   , Fy   , Fxy  0.5 Fxx Fyy
X X
Y Y
X:繊維方向引張強さ
X’：繊維方向圧縮強さ
Y：繊維直交方向
Y’：繊維直交方向
引張強さ
圧縮強さ
S：せん断強さ
最適化事例
lM2
0˚
90˚
lM1
lM2
初期荷重条件
M1=2[Nm/m]のモーメント
M2=1[Nm/m]のモーメント
破壊荷重
破壊荷重比 l 
初期荷重
積層条件
12層対称積層
lM1
繊維配向角を0˚, 45 ˚, -45 ˚, 90 ˚に
限定
バランスルール適用
材料物性T300/5208
繊維方向
繊維直交方向
縦弾性率
181[GPa]
10.3[GPa]
引張強度
1500[MPa]
40[MPa]
圧縮強度
1005[MPa]
246[MPa]
主ポアソン比：0.28
横弾性率：7.17[GPa]
せん断強度：68[MPa]
31
応答の多価性
問題点
同一の剛性積層構成の例
No. Stacking sequence
[0/90/90/90/0/90]s -0.092
[90/0/0/90/90/90]s -0.092
350
300
250
200
150
100
50
0
Fracture ratio l
1
2
W1*
-1
-0.5
W2*
λcr
1
1
51.88
63.41
Fracture at the top ply
Fracture at the second ply
0
0.5
1
*
W1
繊維配向角を0˚,90 ˚に限定した場合
複数応答曲面法
3rd ply
f3
f3,0
f3,45
３層目０度のみ
３層目 45度のみ
f3,90
３層目 90度のみ
個別の層、個別の配向角に分離することにより
破壊応答が単純になり近似精度が向上する
33
350
3層目が0˚
300
300
3層目が90˚
250
fracture ratio λ
fracture ratio λ
350
200
150
100
-1
-0.5
250
200
150
100
50
50
0
0
0
0.5
W1*
２次多項式曲面近似
1
-1
-0.5
0
0.5
W1*
Kriging近似
各層の各繊維配向角度ごとにKrigingを用いた応答曲面近似
1
熱変形の拘束条件
Blade stiffened composite plate
積層板の線膨脹係数
2
adj
R
 0.88
x 
V1* ( K 2U 2  K1U 2  K 2U 4 )  V1*2 K 2U 2  2 K1U 3V2  K1 (U1  U 4 )
2 2V2*U 3 (U 4  U1 )  V1*2U 2*2  (U12  U 42 )
y 
V1* ( K 2U1  K1U 2  K 2U 4 )  V1*2 K 2U 2  2 K1U 3V2  K1 (U1  U 4 )
2 2V2*U 3 (U 4  U1 )  V1*2U 2*2  (U12  U 42 )

 xy  



2V2* K 3
(U1  U 4 )  2V2*U 3
積層パラメータの有理関数
積層パラメータのみを
変数とした場合
2
Radj
 0.98
積層パラメータと線膨脹係数の両者を変数とした場合
変形モードによる分類
Type A
Type B
2
Radj
 0.99
モード分類による応答曲面
拘束条件としてはR 2adj=0.99程度の高近似精度が必要
目的関数としては近似精度は0.9程度でもよい（設計変数
の最大値座標が正しければ近似値はどうでもよい）
まとめ
(1)複合材料積層構造の最適設計法に対して
応答曲面を用いた近似最適化法の有効性
を示した．
(2)応答曲面は目的関数としては最適値座標が
正しければ近似精度は悪くてもよい．
(3)拘束条件の応答曲面は高い精度が必要で
あり，モード分類したパターン分けが必要
となる場合がある．
代表的な論文
(1)轟章，寺田雄一郎，フラクタル分枝限定法による複合材料構造の積層構成最適化
（面外と面外の積層パラメータを含む積層構成最適化問題）
日本機械学会論文集，A編，Vol.69, No.679 (2003)pp.552-557．
(2)関城正登・轟章，KrigingとMOGAを用いた複合材料大型構造の寸法・積層構成
最適化，材料，Vol.56，No,5，（2007），pp．432-437．
(3) Akira Todoroki, Takashi Shinoda, Yoshihiro Mizutani and Ryosuke Matsuzaki
New surrogate model to predict fracture of laminated CFRP for structural
optimization, Journal of Computational Science and Technology,
JSME, Vol5,No.1, (2011), pp.26-37．
詳細
http://www.todoroki-lab.net/gyouseki.html
E-mail:[email protected]

Download Report