31 - Biglobe

数のイマージュ、形のパサージュ
―
数と戯れ、図形と遊ぶ
―
伊那
31.
闊歩
複素数とガウス平面－四則演算の視覚化
複素数と複素平面の話題のつづきである。次の図は、２つの複素数 A と
B の和と差を複素平面の上に可視化したものである。
図は
A + B
= C、
A － B =
D
すなわち、原点と点 A、点 B を頂点としてつくる平行四辺形のもうひとつの頂
点 C の位置が、複素数 A と B の和であることを示している。また原点と点 A、
B、 D はまた別の平行四辺形を形づくるが、このとき点 D の位置は複素数 A
と B の差を表す点である。この演算は、べクトル（大きさと方向をもつもの）
の和、差の作り方とまったく同じである。図からはさらに、
C － A = B 、 C － B = A、 A － D = B
であることも読みとれる。また、点 D、A、C は１直線上にあることも読みと
ることができる。具体的に計算してみると分かりやすいかもしれない：
A =
とすると
9 + 11 i
B = 23 + 6 i
A + B = 32 + 17 i = C , A － B = －14 + 5 i = D,
等々となる。図とくらべて納得していただきたい。
次に複素数の掛け算、割り算についてしらべよう。面白いことに虚数の
特性をフルに生かすことにより、複素数の乗徐の演算を視覚化できるのである。
上図は、複素平面から半径 1 の円を切り取ったものである。大きさ 1 の
複素数
z
は極座標表示によって
z = cos A + i sin A
と書けることをわれわれはもうすでに知っている。A は直線
の角度（これを偏角と呼ぶ）である。複素数
oz
と実軸との間
w も大きさ 1 であるとすると
w = cos B + i sin B
B は複素数 w の偏角である。このふたつを掛け合わせると
wz = ( cos B + i sin B )( cos A + i sin A )
= cos B cos A － sin B sin A + i ( sin B cos A + cos B sin A )
= cos ( B + A ) + i sin ( B + A )
ここで三角関数の加法定理が使えたお蔭で、上式 2 行目が３行目になることは
ガッテンしていただけるとおもう。結果を見ると、２つの大きさ 1 の複素数の
積は、大きさはやはり 1 でその偏角は、２つの複素数の偏角の和になっている
ことがわかる。図には WZ の位置を書いているが、それは半径 1 の円上にあ
り、偏角は A + B になっている。最後に割り算をしてみよう。
=
=
×
＝ cos A cos B + sin A sin B + i ( sin A cos B － sin B cos A )
＝ cos ( A － B) + i sin ( A － B )
図にはその位置を示していないが、
の大きさは 1 、偏角は A － B となっ
ている。つまり、２つの複素数の偏角さえわかれば、積は偏角の和となり、商
は偏角の差となることがわかり、複素平面上に容易に図示できる。いままでは
複素数の大きさは 1 としていたが、そうでないものは、大きさだけの積、商を
別に計算しておいて、大きさは 1 同士の計算結果に掛ければ良い。たとえば、
z=1+
i
w = 3 + 3i
ならば、
z=2(
w=3
+
(
i ) = 2 ( cos 60 + i sin 60 )
+
i)= 3
( cos 45 + i sin 45 )
3
×2 ( cos 105 + i sin 105 )
したがって
wz =
=
となる。
もし
( cos 15 + i sin 15 )
A = B ならば、和の公式から次の公式が成り立つことがわかる：
= cos 2A + i sin 2A
この公式をさらに N 乗にまで拡張すれば、
= cos NA + i sin NA
となることもガッテンしていただけるであろう。これをド・モアブルの公式と
いう。複雑な計算が虚数のはたらきによって単純にまとまって、なにかうまく
いきすぎのような気がしないだろうか？複素平面（ガウス平面）は、複素数の
位置を示すと同時に、複素数の四則演算をその上に視覚化できるという、複素
数にとってたいへん便利な舞台装置なのである。
ド・モアブル（1667－1754）はフランス、シャンパーニュの生まれ、ユ
グノー（カルヴァン派新教徒）であった。ルイ 14 世のフォンテーヌブローの勅
令（ナントの勅令の廃止、1685）つまりユグノーに信仰の自由がみとめられな
くなり、難をさけて英国に逃れたという。ド・モアブルの公式は英国滞在中に
発見したらしい。たいへん美しい公式であるため、虚数をますます無視するこ
とができなくなる。後に慧眼の大天才オイラーは、この公式から、驚くべき結
果を導き出すのである。
カール・フリードリヒ・ガウス（1777－1855）は、ドイツ、ブラウンシ
ュヴァイヒ公国において貧しい家庭に生まれたが、はやくから神童として知ら
れ、国王の援助によってゲッチンゲン大学に学び、1807 年（30 歳）、同大学教
授に就任、同大学天文台長を兼任しながら、以後 48 年間ゲッチンゲンで
数学、天文学（小惑星セレスの軌道決定）、物理学（結晶学、光学、流体力学、
電磁気学）、測地学など広範な研究をつづけ、79 歳、ゲッチンゲンにて没す。
史上最高の数学者（スーパー・マセマティシャン）であることは、誰し
も認めるところあろう。小学生のころ、1+2+3+・・・＋98+99+100 を計算せ
よとの出題に即座に、5050 と答えて教師を驚かしたというエピソードによって
有名である。19 歳になる 1 カ月前に、正 17 角形がコンパスと定規だけで作図
できることを証明し、数学者として生きることを決意したという。
ゲッチンゲン大学の卒業論文は、代数学の基本定理の証明であった。こ
の定理によって、われわれは代数方程式の解は（それが解けるかどうかは別と
して）必ず複素数で書けることを知らされているのだ。24 歳のとき整数論にか
んする大著「Disquisitiones Arithmeticae」を出版し、現代整数論の基礎を確
立した。虚数 i を数として認めるかどうかという時代にあって、はやくから複
素数を自家薬籠中のものとし、複素平面上の複素関数研究の端緒をひらいた。
数々の偉業をなしとげた数学者ガウスであるにもかかわらず、あまりに
もレベルが高すぎてガウスの数学は高等学校までの教科書には、複素平面以外
あまり出てこない。ガウスが最も力を注いだ整数論は、美しい芸術品に比せら
れるといわれる。残念ながら中学、高校の数学には取り入れられてはいない。
参考文献：
高木貞治「近世数学史談、数学雑談」（共立出版）

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