[ 東京工業大学 2002 年 前期 ３ ] 空間内にある一辺の長さが 1 の正三角形 ABC で， A の座標が (0, 0, 1) であり，B と C の z 座標が 等しいものを考える。点 L (0, 0, 1 + 2) にある光源が xy 平面上に作るこの正三角形の影の部分の 面積の最大値を求めよ。 z 正三角形 ABC の辺 BC の中点を M とする。 L 1+ U 2 BC ⊥ AM であり，直線 LA は xy 平面と原点 O で交わる。 また，直線 LB, LC, LM が xy 平面と交わる点を それぞれ B´, C´, M´ とする。 このとき光源 L が xy 平面上につくる正三角形 1A ABC の影は△ OB´C´ である。 B M が zx 平面の x≧ 0 の部分にあり， C の y 座標は M 正であるとしても一般性を失わない。 C O h このとき M´ は x 軸上の x≧ 0 の部分にあり， B- B´C´ ⊥ OM´ である。 M- C- ∠OAM = θ (0≦θ ≦π ) とすると， AM = 3 であるから 2 ⎛ 3 ⎞ 3 sin θ , 0, 1 − cos θ ⎟⎟ M の座標は M ⎜⎜ 2 ⎝ 2 ⎠ さらに， MC = 1 1 BC = であり， B と C の z 座標は等しく， C の y 座標は正であるから， 2 2 ⎛ 3 ⎞ 1 3 sin θ , , 1 − cos θ ⎟⎟ C の座標は C ⎜⎜ 2 2 ⎝ 2 ⎠ JJJJG JJJG JJJG このとき， OC´ = OL + k LC （ k は実数）とおくと JJJJG JJJG JJJG JJJG OC´ = OL + k OC − OL ( x ) y ⎛ 3 ⎞ 1 3 sin θ , , − cos θ − 2 ⎟⎟ = 0, 0, 1 + 2 + k ⎜⎜ 2 2 ⎝ 2 ⎠ ( ) JJJJG C´ は xy 平面上にあるので， OC´ の z 成分は 0 であるから ⎛ ⎞ 3 cos θ + 2 ⎟⎟ = 0 ⎝ 2 ⎠ (1 + 2 ) − k ⎜⎜ よって k = 1+ 2 ( 2 1+ 2 = 3 cos θ + 2 2 3 cos θ + 2 2 ( ⎛ 2 1+ 2 したがって C´ の座標は C´ ⎜ ⎜ ⎝ ) ) 3 cos θ + 2 2 ⎞ 1+ 2 , 0⎟ ⎟ 3 cos θ + 2 2 ⎠ sin θ , 正三角形 ABC の影の部分である△ OB´C´ の面積を f (θ ) とすると f (θ ) = 1 × B´C´× OM´ = M´C´× OM´ 2 ＝（ C´ の y 座標）×（ C´ の x 座標） = ( 3 1+ 2 ( ) 3 cos θ + 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f ´(θ ) = 3 1 + 2 ⋅ 2 = 3 1+ 2 ⋅ 2 = 3 1+ 2 ⋅ 2 = 3 1+ 2 ⋅ ( 2 ) 2 sin θ となる。 cos θ cos θ ( 3 cos θ + 2 2 ( ( ) 2 + 2 3 sin 2 θ 3 cos θ + 2 2 ) ) ( 3 cos θ + 2 2 ) 4 3 cos θ + 2 2 + 2 3 sin 2 θ ( 3 cos θ + 2 2 ) 3 − 3 cos 2 θ + 2 2 cos θ + 2 3 ( ( 3 cos θ + 2 2 − cos θ − 6 ( )( ) 3 3 cos θ + 2 3 cos θ + 2 2 ) ) 3 ) − cos θ − 6 > 0, 3 cos θ + 2 > 0 であるから f ´(θ ) = 0 となるのは cos θ = − 2 のときで，このときの θ を α とおくと， 3 f (θ ) は θ = α のときに最大となり， f (θ ) の増減は次の表に従う。 θ 0 f ´(θ ) f (θ ) 0 … α … ＋ 0 − / f (α ) 2 ここで， 0≦θ ≦π より ⎛ sin α = 1 − cos α = 1 − ⎜⎜ − ⎝ 2 求める最大値は f (α ) = ( 2 2 3 ⎞ 1 であるから ⎟⎟ = 3 ⎠ 3 1+ 2 (− ) 2+2 2 2 ) 2 ⋅ 1 3+ 2 2 = 2 3 π 0
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