1 ラグランジュ方程式による倒立振子の運動方程式馮陶然 1 ラグランジュの運動方程式ようになる．ラグランジュの運動方程式とは以下で表される方程式系である． d ∂L ∂L ( )− = Qi dt ∂ q˙i ∂qi (i = 1, 2, … , N ) (1) ここで L はラグラジュアン（Lagrangean）と呼ばれ，T をシステムの総運動エネルギー，U を総位置エネルギー（ポテンシャルエネルギー）とすると，以下で定義される． L=T −U (2) 式（1）の qi はシステムの一般化座標と呼ばれ，システムの状態を決定できる座標であればどのような座標を選択してもよい．ロボットアームの場合には間接変位座標としてもよいし，基準となる直交座標としてもよい．また，Qi は一般化力と呼ばれ，一般化座標に対応した外力（トルクも含む）を表している．一般化座標と一般化力はペアになっており，座標が並進変位なら力は並進力，回転変位ならトルクとなる．なお，式（1）の N は一般化座標の個数である．ラグランジュの運動方程式を利用するメリットは，システムの運動エネルギーと位置エネルギーさえ表現すれば，ラグラジュアン L を作成した後，機械的に式（1）を計算すれば，所望の運動方程式が得られることにある． T1 = 1 1 1 m1 (ẋ21 + ẏ12 ) + I1 θ̇12 = m1 ẋ2 2 2 2 U1 = m1 gy1 = 0 (6) 次に，第２リンクの重心 G2 の位置座標 (x2 , y2 ) は以下となる． x2 y2 = a + l sin θ + x = l cos θ + b (7) 式（7）の両辺を時間 t で微分して次式を得る． ẋ2 ẏ2 = θ̇l cos θ + ẋ = −θ̇l sin θ (8) したがって，第２リンクの慣性モーメントを I2 ，運動エネルギーを T2 ，位置エネルギーを U2 とすると，以下のようになる． T2 = = 1 1 m2 (ẋ22 + ẏ22 ) + I2 θ̇2 2 2 1 1 m2 (ẋ20 + 2ẋlθ̇ cos θ + l2 θ̇2 ) + I2 θ̇2 2 2 U2 = m2 gy2 = m2 gl cos θ 2 (5) (9) (10) 以上から，ラグラジュアン L = T1 + T2 − U1 − U2 を求めると，以下のようになる．倒立振子の運動方程式 1 1 (m1 + m2 )ẋ2 + m2 θ̇2 l2 2 2 + m2 ẋθ̇l cos θ − m2 gl cos θ L = í L x2 y2 y0 y1 x0 Ü1 Ü0 m2 式 (1) を用い，摩擦抵抗を加え，式（11）に対するラグランジュの運動方程式より２組の駆動トルク τ1 ， τ2 に関する運動方程式を得る． Ü2 m1 x1 b x_ 2a f1 Fig. 1: model τ2 今回は Fig.1 倒立振子の運動方程式について述べる．運動エネルギーと位置エネルギーを求めるには各リンクの重心の位置と並進速度を記述する必要がある．まず，第１リンクの重心 G1 の位置座標 (x1 , y1 ) は以下となる． x1 = a + x，y1 = b/2 (3) 式（3）の両辺を時間 t で微分して次式を得る． ẋ1 = ẋ，̇ y1 = 0 (11) (4) したがって，第１リンクの慣性モーメントを I1 ，運動エネルギーを T1 ，位置エネルギーを U1 とすると，以下の = + = + (m1 + m2 )ẍ − m2 (sin θlθ̇2 − cos θlθ̈) Kx ẋ (2 I2 + m2 l2 )θ̈ + m2 l(− sin θẍ + cos θg) Kθ θ̇ (12) (13)