Mathematica入門

Mathematica 入 門
Mathematica入門
0.目次
1.はじめに
2.数値計算
2.1
四則演算と定数
2.2
組み込み関数
2.3
数の表示
2.4
代入
2.5
Print文
2.6
Do文
2.7
For文
2.8
While文
2.9
If文
2.10 和と積
2.11 関数の定義
[ 例 2 . 1 ] 1+1/2+1/3+… +1/n+… の 計 算
[例2.2]πの計算
[例2.3]2^n−1の素数
3.ファイル処理
3.1 ファイルからコマンド入力
3.2 ファイルへ結果の出力
[例3.1]ファイル処理の例
4.数式処理
4.1
4.2
4.3
4.4
方程式
式の展開、因数分解、部分分数展開、簡約化
級数、微分、定積分
漸化式
5.リスト処理
5.1 リスト
5.2 素数
5.3 集合
[例5.1]素数に関する問題
[例5.2]ピタゴラス数
[例5.3]リスト処理
6.グラフィックス
6.1 関数のグラフ
6.2 データのグラフ
6.3 データファイルの読込み
[例6.1]グラフィックスの例
7.課題
7.1
7.2
7.3
7.4
課題1
課題2
課題3
課題4
- 1 -
Mathematica 入 門
1.はじめに
Mathematicaは 、 数 式 計 算 、 数 値 計 算 、 グ ラ フ ィ ッ ク ス 処 理 等 を 実 行 す る 数 式 処
理支援ソフトウェアである。例えば、分数での計算、因数分解、方程式の解、微
積分等が誤差なく厳密に計算できる。もちろん、数値計算も行える。簡単な使い
方を示す。
% math ( 起 動 )
In[1]:= 1+2*3
Out[1]= 7
In[2]:= 1/2+1/3
5
Out[2]= 6
In[3]:= Sqrt[8]
Out[3]= 2 Sqrt[2]
In[4]:= N[Sqrt[8]]
Out[4]= 2.82843
In[5]:= %4/2
Out[5]= 1.41421
In[6]:= Solve[x^2-2==0,x]
Out[6]= {{x -> -Sqrt[2]}, {x -> Sqrt[2]}}
In[7]:=Quit
%
(停止)
① In[k]は 、 起 動 時 か ら k番 目 に 入 力 し た 数 式 を 意 味 し 、 Out[k]は 、 In[k]に
対 応 し た 出 力 を 意 味 す る 。 Mathematicaを 起 動 し て か ら の 累 計 番 号 ( kは 1か ら
始まる)で自動的に表示される。
② In[1]:= と 表 示 さ れ て い る と き 、 1+2*3 と 入 力 し 、 Enterキ ー を 押 す 。
Out[1]= 7 と 表 示 さ れ る 。
③ Out[k]の 結 果 を 再 利 用 す る と き は 、 %k と す る 。 %は 直 前 の 結 果 を 意 味 す る 。
④ 計 算 の 中 断 は 、 C-c( Ctrlキ ー を 押 し な が ら cを 押 す ) を 入 力 す る 。
Interrupt>と 表 示 さ れ た ら 、 aを 入 力 す る 。
⑤式の最後にセミコロンをつけると、計算はするが結果は出力されない。
- 2 -
Mathematica 入 門
2.数値計算
数値計算に必要な基本的書き方、実行文を示す。
2.1
四則演算と定数
加法
減法
乗法
除法
ベキ乗
階乗
a+b
a−b
a*b
a/b
a^b
n!
Pi
E
(または、a
b)
% math
In[1]:= 123 + 45
Out[1]= 168
In[2]:= 1/2 + 1/3
5
Out[2]= 6
In[3]:= 123 - 45
Out[3]= 78
In[4]:= 1/2 - 1/3
1
Out[4]= 6
In[5]:= 123 * 45
Out[5]= 5535
In[6]:= (1/2) * (1/3)
1
Out[6]= 6
In[7]:= 123 / 45
41
Out[7]= -15
In[8]:= (1/2) / (1/3)
3
Out[8]= 2
In[9]:= 2 ^ 10
Out[9]= 1024
In[10]:= 10 !
Out[10]= 3628800
In[11]:= Pi
Out[11]= Pi
In[12]:= E
Out[12]= E
In[13]:= Quit
- 3 -
円周率
自然対数の底
Mathematica 入 門
2.2
組み込み関数
絶対値
剰余
平方根
指数関数
三角関数
対数関数
2項係数
Abs[x]
Mod[x,k] 整 数 x を 整 数 k で 割 っ た 余 り
Sqrt[x]
Exp[x]
Sin[x] Cos[x] Tan[x] ArcTan[x]
Log[x]( 底 は e) Log[a,x]( 底 は a)
Binomial[n,r]
% math
In[1]:= Abs [123]
Out[1]= 123
In[2]:= Abs [-123]
Out[2]= 123
In[3]:= Mod [10,3]
Out[3]= 1
In[4]:= Sqrt [2]
Out[4]= Sqrt[2]
In[5]:= Exp [1]
Out[5]= E
In[6]:= Sin [Pi]
Out[6]= 0
In[7]:= Cos [Pi]
Out[7]= -1
In[8]:= Tan [Pi/4]
Out[8]= 1
In[9]:= Log [E]
Out[9]= 1
In[10]:= Log [2,4]
Out[10]= 2
In[11]:= Binomial [10,5]
Out[11]= 252
In[12]:= Quit
2.3
数の表示
N[x]
N[x,k]
x//N
xを小数表示にする。
xをk桁まで正しく小数表示する。
xを仮数部と指数部で表示する。
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
Out[2]=
In[3]:=
N [Sqrt[2]]
1.41421
N [Sqrt[2],10]
1.414213562
2^100 //N
30
Out[3]= 1.26765 10
- 4 -
Mathematica 入 門
2.4
代入
x=値
Clear[x]
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
Out[2]=
In[3]:=
In[4]:=
Out[4]=
2.5
x = 123
123
x
123
Clear [x]
x
x
Print文
Print[S]
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
a bc
In[3]:=
Out[3]=
In[4]:=
123
2.6
変 数 xに 値 を 代 入 す る 。 後 で 参 照 で き る 。
変 数 xに 割 り 当 て ら れ て い る 値 を 消 去 。
文字列Sが出力される。
空 白 は 、 二 重 引 用 符 ( ") で 必 要 な 空 白 文 字 を 囲 む 。
x = "a bc"
a bc
Print [x]
x = 123
123
Print [x]
Do文
Do[X(n),{n,a,b,c}]
a≦ n≦ bに つ い て 、 増 分 cで X(n)を 評 価 し た
結果を出力する。
In[1]:= Do [Print[i],{i,1,3}]
1
2
3
2.7
For文
For[i=a,i<=b,i=i+c,X(i)]
a≦ i≦ bに つ い て 、 増 分 cで X(i)を 評 価
した結果を出力する。
In[1]:= For [i=1,i<=3,i=i+1,Print[i]]
1
2
3
- 5 -
Mathematica 入 門
2.8
While文
While[条 件 ,処 理 ]
条件が真の間、処理を繰り返す。
In[1]:=i = 1
Out[1]= 1
In[2]:= While [i<=3,{Print[i]; i=i+1}]
1
2
3
( 注 意 ) 処 理 が 複 数 の 文 か ら 構 成 さ れ る と き 、 {と }で 囲 む 。
条件を関係演算子、論理演算子で表す。
関係演算子
x == y
xと yが 等 し い
x != y
xと yが 等 し く な い
x < y
xが yよ り 小 さ い
x <= y
xが yよ り 小 さ い か 等 し い
x > y
xが yよ り 大 き い
x >= y
xが yよ り 大 き い か 等 し い
2.9
論理演算子
x ¦¦ y
xま た は y
x && y
xか つ y
!x
xで な い
If文
If[条 件 ,処 理 1 ,処 理 2 ]
条件が真ならば処理1を実行し、偽な
らば処理2を実行する。
In[1]:= If [1<2,Print["1"],Print["2"]]
1
In[2]:= If [1>2,Print["1"],Print["2"]]
2
2.10
和と積
Sum[f[n],{n,a,b}]
Product[f[n],{n,a,b}]
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
Out[2]=
f(a)+f(a+1)+・ ・ ・ +f(b-1)+f(b)
f(a)・ f(a+1)・ ・ ・ f(b-1)・ f(b)
Sum [n,{n,1,10}]
55
Product [n,{n,1,10}]
3628800
- 6 -
Mathematica 入 門
2.11
関数の定義
関 数 名 [引 数 _]:=定 義 式
関 数 名 [引 数 1 _,引 数 2 _]:=定 義 式 ( 引 数 が 2 個 以 上 の 場 合 も 同 様 )
?関 数 名
関数定義の確認。
Clear[関 数 名 ]
関数の定義削除。
関 数 名 [引 数 _]:=定 義 式 /; 条 件
条件が満たされたとき定義される
関 数 名 [引 数 _]:= (コ マ ン ド ; … ;
コマンド)
複数のコマンドをまとめてひとつ
の手続きとする。丸かっこで囲む
関数の値は、最後のコマンドの結
果となる。
関 数 名 [引 数 _]:= Module[{u,v},
コ マ ン ド ; … ;コ マ ン ド ]
手 続 き 内 で 使 う 局 所 変 数 u,vを 定 義
できる。
Return[値 ]
値を返す。
% math
In[1]:= f[x_,y_]:= x*x + y*y
In[2]:= ?f
Global`f
f[x_, y_] := x*x + y*y
In[3]:= f[3,4]
Out[3]= 25
In[4]:= Clear [f]
In[5]:= ?f
Global`f
In[6]:= f[x_]:= 1 /; x>=0
In[7]:= ?f
Global`f
f[x_] := 1 /; x >= 0
In[8]:= f[3]
Out[8]= 1
In[9]:= f[-3]
Out[9]= f[-3]
(続く)
- 7 -
Mathematica 入 門
In[10]:= d[x_,y_]:=(z=x*x+y*y; z=Sqrt[z])
In[11]:= d[2,3]
Out[11]= Sqrt[13]
In[12]:= a = 3
Out[12]= 3
In[13]:= e[x_]:=Module[{u},u=a*a+x*x; a=-a; u=Sqrt[u]]
In[14]:= e[4]
Out[14]= 5
In[15]:= a
Out[15]= -3
In[16]:= u
Out[16]= u
In[17]:= Quit
(参考)ヘルプ機能
?関数名
??関数名
?文字列*
?*文字列*
関数の簡単な説明
関数の詳しい説明
文字列で始まる関数の一覧
文字列を含む関数の一覧
- 8 -
Mathematica 入 門
[ 例 2 . 1 ] 1+1/2+1/3+… +1/n+… の 計 算
% math
Mathematica 3.0 for Digital Unix
Copyright 1988-97 Wolfram Research, Inc.
License valid through 24 May 2003.
-- Terminal graphics initialized -一般項の定義
In[1]:= a[k_]:=1/k;
In[2]:= b[n_]:=Sum[a[k],{k,1,n}];
In[3]:= a[3]
1
Out[3]= 3
In[4]:= b[3]
11
Out[4]= -6
分数表現
In[5]:= b[100]
14466636279520351160221518043104131447711
Out[5]= ----------------------------------------2788815009188499086581352357412492142272
小数表現
In[6]:= b[100]//N
Out[6]= 5.18738
In[7]:= b[1000]//N
Out[7]= 7.48547
In[8]:= b[10000]//N
Out[8]= 9.78761
In[9]:= Quit
- 9 -
Mathematica 入 門
[例2.2]πの計算
π /4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 …
% math
Mathematica 3.0 for Digital Unix
Copyright 1988-97 Wolfram Research, Inc.
License valid through 8 Apr 1999.
-- Motif graphics initialized -一般項の定義。
In[1]:= f[k_]:=(-1)^(k+1)/(2*k-1);
50番目の項までの部文和。
In[2]:= 4*Sum[f[k],{k,1,50}]
3400605476464206445954873476681150352328
Out[2]= ---------------------------------------1089380862964257455695840764614254743075
数値化。
In[3]:= N[%,20]
Out[3]= 3.1215946525910104785
In[4]:= g[n_]:=4*Sum[f[k],{k,1,n}];
10番目のまでの項の部文和、20番目までの項の部文和、・・・、50番目ま
での項の部文和を求める。
In[5]:= Do[Print["g(",n,")=",N[g[n],20]],{n,10,50,10}]
g(10)=3.0418396189294022111
g(20)=3.0916238066678386317
g(30)=3.1082685666989461300
g(40)=3.1165965567938323178
g(50)=3.1215946525910104785
収束が遅いことがわかる。
In[6]:= Quit
- 10 -
Mathematica 入 門
[例2.3]2^n−1の素数
% math
Mathematica 3.0 for Digital Unix
Copyright 1988-97 Wolfram Research, Inc.
License valid through 24 May 2003.
-- Terminal graphics initialized -関 数 の 定 義 ( PrimeQ[x]は xが 素 数 な ら 真 、 素 数 で な い な ら 偽 と な る 関 数 )
In[1]:= p[m_]:=For[n=1,n<=m,n++,
If[PrimeQ[2^n-1],Print["2^",n,"-1 is prime"]]];
関数の確認
In[2]:= ?p
Global`p
p[m_] := For[n = 1, n <= m, n++,
If[PrimeQ[2^n - 1], Print["2^", n,"-1 is prime"]]]
1000以 下 に つ い て 実 行 。
In[3]:= p[1000]
2^2-1 is prime
2^3-1 is prime
2^5-1 is prime
2^7-1 is prime
2^13-1 is prime
2^17-1 is prime
2^19-1 is prime
2^31-1 is prime
2^61-1 is prime
2^89-1 is prime
2^107-1 is prime
2^127-1 is prime
2^521-1 is prime
2^607-1 is prime
Timing[処 理 ]で 処 理 の 所 要 時 間 を 求 め る こ と が で き る 。
In[4]:= Timing[PrimeQ[2^607-1]]
Out[4]= {0.149994 Second, True}
In[5]:= Timing[PrimeQ[2^1000-1]]
Out[5]= {0. Second, False}
In[6]:= Quit
- 11 -
Mathematica 入 門
3.ファイル処理
ファイルからコマンドを入力する方法、ファイルへ実行結果を出力する方法を
示す。
3.1
ファイルからコマンド入力
フ ァ イ ル ( fib.m)
fib[0]:=1; (* コ メ ン ト *)
fib[1]:=1;
fib[n_]:=fib[n-1]+fib[n-2]/; n>1
こ の フ ァ イ ル を 読 み 込 む と 、 fibと い う 名 前 の 関 数 が 使 え る よ う に な る 。
(*と *)で 囲 ま れ た 部 分 は コ メ ン ト と 見 な さ れ 、 計 算 の 対 象 と な ら な い 。
!!fib.m
Get["fib.m"]
?fib
fib[10]
3.2
フ ァ イ ル ( fib.m) の 表 示 。
フ ァ イ ル ( fib.m) を 読 み 込 む 。
fibと い う 関 数 が 定 義 さ れ て い る か 確 認 す る 。
fib[10]を 計 算 す る 。
ファイルへ結果の出力
Put[式 ,"output"]
PutAppend[式 ,"output"]
Save["func.m",fib]
式 の 結 果 を 出 力 フ ァ イ ル (output) へ 保 存 。
式 の 結 果 を 出 力 フ ァ イ ル ( output) へ 追 加 保 存
フ ァ イ ル ( func.m) に 関 数 fibを 保 存 す る 。
こ の フ ァ イ ル を 読 み 込 め ば 、 関 数 fibが 使 え る 。
- 12 -
Mathematica 入 門
[例3.1]ファイル処理の例
% cat fib.m
fib[0]:=1;
fib[1]:=1;
fib[n_]:=fib[n-1]+fib[n-2]/; n>1
% math
フ ァ イ ル ( fib.m) を 読 み 込 む 。
In[1]:= Get["fib.m"]
関 数 fibが 定 義 さ れ て い る か 確 認 。
In[2]:= ?fib
Global`fib
fib[0] := 1
fib[1] := 1
fib[n_] := fib[n - 1] + fib[n - 2] /; n > 1
fib[5]を 計 算 。
In[3]:= fib[5]
Out[3]= 8
fib[5]の 結 果 を フ ァ イ ル ( output) に 出 力 。
In[4]:= Put[fib[5],"output"]
フ ァ イ ル ( output) を 表 示 。
In[5]:= !!output
8
fib[6]の 結 果 を フ ァ イ ル ( output) に 追 加 出 力 。
In[5]:= PutAppend[fib[6],"output"]
フ ァ イ ル ( output) を 表 示 。
In[6]:= !!output
8
13
フ ァ イ ル ( func.m) に 関 数 fibを 保 存 。
In[6]:= Save["func.m",fib]
フ ァ イ ル ( func.m) を 表 示 。
In[7]:= !!func.m
fib[0] := 1
fib[1] := 1
fib[n_] := fib[n - 1] + fib[n - 2] /; n > 1
In[7]:= Quit
- 13 -
Mathematica 入 門
4.数式処理
数式処理に必要な基本的な書き方、実行文を示す。
4.1
方程式
Solve[P==Q,x]
NSolve[P==Q,x]
N[Solve[P==Q,x],k]
Solve[{P1==Q1,P2==Q2},
{x1,x2}]
NSolve[{P1==Q1,P2==Q2},
{x1,x2}]
N[Solve[{P1==Q1,P2==Q2},
{x1,x2}],k]
FindRoot[P1==Q1,{x,a}]
FindMinimum[P,{x,a}]
P,Qを xに つ い て の 式 と す る 。
代数的な解が求められる。
P,Qを xに つ い て の 式 と す る 。
数値的な解が求められる。
P,Qを xに つ い て の 式 と す る 。
k桁 の 精 度 で 数 値 的 な 解 が 求 め ら れ る 。
P1,Q1,P2,Q2を x1,x2に つ い て の 式 と す る 。
代数的な解が求められる。
P1,Q1,P2,Q2を x1,x2に つ い て の 式 と す る 。
数値的な解が求められる。
P1,Q1,P2,Q2を x1,x2に つ い て の 式 と す る 。
k桁 の 精 度 で 数 値 的 な 解 が 求 め ら れ る 。
P1,Q1を xに つ い て の 式 と す る 。
x=aを 初 期 値 と し て 数 値 解 を 探 す 。
Pを xに つ い て の 式 と す る 。
x=aを 初 期 値 と し て 極 小 値 を 探 す 。
% math
In[1]:= Solve [ x^2 + x + 1 == 0, x]
1/3
2/3
Out[1]= {{x -> -(-1)
}, {x -> (-1)
}}
In[2]:= NSolve [ x^2 + x + 1 == 0, x]
Out[2]= {{x -> -0.5 - 0.866025 I}, {x -> -0.5 + 0.866025 I}}
In[3]:= Solve [{x^2 + y^2 == 4, x + y == 1},{x,y}]
1 - Sqrt[7]
1 + Sqrt[7]
Out[3]= {{x -> -----------, y -> -----------},
2
2
>
1 + Sqrt[7]
1 - Sqrt[7]
{x -> -----------, y -> -----------}}
2
2
In[4]:= NSolve [{x^2 + y^2 == 4, x + y == 1},{x,y}]
Out[4]= {{x -> -0.822876, y -> 1.82288},
{x -> 1.82288, y -> -0.822876}}
In[5]:= FindRoot [ Sin[x] == Cos[x],{ {x,0}]
Out[5]= {x -> 0.785398}
In[6]:= FindRoot [ Sin[x] == Cos[x], {x,Pi}]
Out[6]= {x -> 3.92699}
In[7]:= FindMinimum [x^3 - 5*x^2 - 2*x + 10, {x,0}]
Out[7]= {-15.3778, {x -> 3.52259}}
In[8]:= Quit
- 14 -
Mathematica 入 門
4.2
式の展開、因数分解、部分分数展開、簡約化
Expand[P]
Factor[P]
Apart[P]
Simplify[式 ]
多項式Pを展開する。
多項式Pを因数分解する。
多項式Pを部分分数に展開する。
式を最小の要素(演算記号、かっこ、文字)で表現
する。
% math
In[1]:= Expand [(x+y)^4]
4
Out[1]= x
3
2
+ 4 x
y + 6 x
2
y
3
+ 4 x y
4
+ y
In[2]:= Factor [x^8 - 1]
2
4
Out[2]= (-1 + x) (1 + x) (1 + x ) (1 + x )
In[3]:= Factor [a^3 + b^3 + c^3 - 3*a*b*c]
2
Out[3]= (a + b + c) (a
2
- a b + b
2
- a c - b c + c )
In[4]:= Apart [1/(1-x^2)]
-1
1
Out[4]= ---------- + --------2 (-1 + x)
2 (1 + x)
In[5]:= Simplify [(a+b)*(a-b)*(a-b)*(a+b)]
2
Out[5]= (a - b)
2
(a + b)
In[6]:= Simplify [Sin[x]*Cos[y]+Cos[x]*Sin[y]]
Out[6]= Sin[x + y]
In[7]:= Quit
- 15 -
Mathematica 入 門
4.3
級数、微分、微分方程式、定積分
Series[関 数 ,{x,a,n}]
関 数 を x=aの 近 傍 で n次 ま で べ き 級 数
展開する。
n階 導 関 数 を 求 め る 。
微分方程式を解く。
定積分を求める。
数値積分を求める。
D[関 数 ,{x,n}]
DSolve[微 分 方 程 式 ,関 数 ,変 数 ]
Integrate[関 数 ,{x,下 限 ,上 限 }]
NIntegrate[関 数 ,{x,下 限 ,上 限 }]
% math
In[1]:= Series [1/(1-2*x),{x,0,6} }]
2
Out[1]= 1 + 2 x + 4 x
3
+ 8 x
4
+ 16 x
5
6
7
+ 32 x
+ 64 x
+ O[x]
5
6
7
In[2]:= Series [1/(1-x-x^2),{x,0,6}]
2
Out[2]= 1 + x + 2 x
3
+ 3 x
4
+ 5 x
+ 8 x
In[3]:= Series [Sin[x],{x,0,6}]
3
5
x
x
7
Out[3]= x - -- + --- + O[x]
6
120
In[4]:= D [x^3,{x,1}]
2
Out[4]= 3 x
In[5]:= D [x^3,{x,2}]
Out[5]= 6 x
In[6]:= D [Log[x],{x,1}]
1
Out[6]= x
(続く)
- 16 -
+ 13 x
+ O[x]
Mathematica 入 門
In[7]:= DSolve [y'[x] == x^3,y[x],x]
4
x
Out[7]= {{y[x] -> -- + C[1]}}
4
In[8]:= DSolve [y'[x] == Cos[x],y[x],x]
Out[8]= {{y[x] -> C[1] + Sin[x]}}
In[9]:= Integrate [Sqrt[1-x^2],{x,0,1}]
Pi
Out[9]= -4
In[10]:= NIntegrate [Sqrt[1-x^2],{x,0,1}]
Out[10]= 0.785398
In[11]:= Quit
- 17 -
Mathematica 入 門
4.4
漸化式
Mathematicaに は 標 準 の 関 数 が 組 み 込 ま れ て い る が 、 パ ッ ケ ー ジ ( Mathematica
言語で書かれたプログラムファイルで、関数定義の集まりである)を読み込めば
機能を拡張できる。
RSolve[{初 期 値 ,漸 化 式 },関 数 ,変 数 ]
漸化式を初期値のもとで解く。
% math
In[1]:= Needs["DiscreteMath`RSolve`"]
In[2]:= RSolve[{f[1]==1,f[n]==f[n-1]+n},f[n],n]
n (1 + n)
Out[2]= {{f[n] -> ---------}}
2
In[3]:= RSolve[{f[1]==1,f[n]==2*f[n-1]+1},f[n],n]
n
Out[3]= {{f[n] -> If[n >= 1, -1 + 2 , 0]}}
In[4]:= RSolve[{f[0]==1,f[n]==n*f[n-1]},f[n],n]
Out[4]= {{f[n] -> n!}}
In[5]:= RSolve[{f[0]==1,f[1]==1,f[n]==f[n-1]+f[n-2]},f[n],n]
1 + n
1 - Sqrt[5] n
(1 + Sqrt[5])
(-----------) (-1 + Sqrt[5]) + -----------------2
n
2
Out[5]= {{f[n] -> --------------------------------------------------}}
2 Sqrt[5]
In[6]:= RSolve[{f[0]==1,f[1]==(1-Sqrt[5])/2,f[n]==f[n-1]+f[n-2]},f[n],n]
1
Sqrt[5] n
Out[6]= {{f[n] -> (- - -------) }}
2
2
In[7]:= Quit
- 18 -
Mathematica 入 門
5.リスト処理
5.1
リスト
数 、 変 数 、 式 な ど を コ ン マ ( ,) で 区 切 っ て 並 べ 、 { } で 囲 ん だ も の を リ ス ト
と い う 。 た と え ば 、 {2,3,5,7,11,13}, {x,y,z,1,2,3}, {{1,2},W,{a,b}}。
Part[L,i]
Length[L]
Sort[L]
リ ス ト Lの i番 目 の 要 素 。 L[[i]]と も 書 く 。
リ ス ト Lに 含 ま れ る 要 素 数 。
リストLの要素を標準的順序に並べる。
% math
In[1]:= L = {11,22,33,44,55}
Out[1]= {11, 22, 33, 44, 55}
In[2]:= Part [L,3]
Out[2]= 33
In[3]:= L[[3]]
Out[3]= 33
In[4]:= Length [L]
Out[4]= 5
In[5]:= Sort [{3,5,2,1,4}]
Out[5]= {1, 2, 3, 4, 5}
In[6]:= Sort [{c,e,b,a,d}]
Out[6]= {a, b, c, d, e}
In[7]:= Sort [{a,23,2.3,aa}]
Out[7]= {2.3, 23, a, aa}
In[8]:= Sort [{{2,3},3,{1,2,3},{2,4}}]
Out[8]= {3, {2, 3}, {2, 4}, {1, 2, 3}}
- 19 -
Mathematica 入 門
Insert[L,x,n]
Delete[L,n]
First[L]
Take[L,n]
Rest[L]
Join[L1,L2,… ]
Union[L1,L2,… ]
リ ス ト Lの 前 か ら n番 目 に 要 素 xを 挿 入 す る 。
リ ス ト Lの 前 か ら n番 目 の 要 素 を 削 除 す る 。
リ ス ト Lの 先 頭 要 素 。
リ ス ト Lの 前 か ら n番 目 の 要 素 を 取 り 出 し リ ス ト に
する。
リ ス ト Lか ら 先 頭 要 素 を 除 い た 残 り の リ ス ト 。
リ ス ト L1,L2,… を こ の 順 に 結 合 す る 。
リ ス ト L1,L2,… を こ の 順 に 結 合 す る 。 た だ し 、 重
複する要素がある場合、1つにまとめ並べ替える。
In[9]:= M = {a,b,c,d,e}
Out[9]= {a, b, c, d, e}
In[10]:= Insert [M,f,1]
Out[10]= {f, a, b, c, d, e}
In[11]:= Delete [M,2]
Out[11]= {a, c, d, e}
In[12]:= First [{1,2,3}]
Out[12]= 1
In[13]:= Take [{1,2,3},1]
Out[13]= {1}
In[14]:= Rest [{1,2,3}]
Out[14]= {2, 3}
In[15]:= Rest [{{1,2},3,4}]
Out[15]= {3, 4}
In[16]:= Join [{2,3,4},{1,2,3}]
Out[16]= {2, 3, 4, 1, 2, 3}
In[17]:= Union [{2,3,4},{1,2,3}]
Out[17]= {1, 2, 3, 4}
In[18]:= Quit
- 20 -
Mathematica 入 門
Flatten[L]
Flatten[L,n]
Table[式 ,{i,a,b,d}]
Cases[L,形 式 ]
Cases[L,形 式 /;条 件 ]
リ ス ト Lの 入 れ 子 を 全 て 解 除 す る 。
リ ス ト Lの 入 れ 子 を 深 さ nま で 解 除 す る 。
iを aか ら bま で 増 分 dで 反 復 し 、 式 の 値 を リ ス ト に
する。
リ ス ト Lの 中 で 形 式 に 合 う も の を 選 択 す る 。
形式には、
x_
任 意 の も の ( 仮 に xと す る )
x_Integer 整 数
x_List
リスト
などがある。
形 式 /;条 件 は 、 条 件 を 満 た す 形 式 を 意 味 す る 。
% math
In[1]:= Table [i^2, {i,1,9}]
Out[1]= {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}
In[2]:= Table [{i,i^2},{i,1,9}]
Out[2]= {{1, 1}, {2, 4}, {3, 9}, {4, 16}, {5, 25}, {6, 36}, {7, 49},
>
{8,64}, {9, 81}}
In[3]:= L = Table [{i,j},{1 i,1,2},{j,1,3}]
Out[3]= {{{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}}, {{2, 1}, {2, 2}, {2, 3}}}
In[4]:= Flatten [L,1]
Out[4]= {{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 1}, {2, 2}, {2, 3}}
In[5]:= Flatten [L,2]
Out[5]= {1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 2, 3}
In[6]:= Flatten [L]
Out[6]:= {1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 2, 3}
In[7]:= M = Table [i,{i,1,10}]
Out[7]= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
In[8]:= Cases [M,x_/;Mod[x,2]==0]
Out[8]= {2, 4, 6, 8, 10}
In[9]:= Cases [{1,2,3.3,4,5.5},x_Integer]
Out[9]= {1, 2, 4}
In[10]:= Quit
- 21 -
Mathematica 入 門
5.2
素数
Prime[k]
PrimeQ[数 ]
GCD[i,j]
k番 目 の 素 数
数が素数か否か判定する。
素 数 な ら True、 合 成 数 な ら Falseを 返 す 。
iとjの最大公約数
%math
In[1]:= Prime[1]
Out[1]= 2
In[2]:= Prime[10]
Out[2]= 29
In[3]:= PrimeQ[11]
Out[3]= True
In[4]:= PrimeQ[11111]
Out[4]= False
In[5]:= GCD[123,45]
Out[5]= 3
In[6]:= GCD[11,31]
Out[6]= 1
In[7]:= Quit
- 22 -
Mathematica 入 門
5.3
集合
集合はリストで表される。
Union[L1,L2]
Intersection[L1,L2]
Complement[S,L]
Outer[List,L1,L2]
Permutations[L]
リ ス ト L1と リ ス ト L2の 和 集 合 。
リ ス ト L1と リ ス ト L2の 共 通 部 分 。
全 体 集 合 Sに 関 す る 集 合 Lの 補 集 合 。
リ ス ト L1と リ ス ト L2の 直 積 。
リ ス ト Lの 要 素 の す べ て の 順 列
% math
In[1]:= Union[{1,2,3},{3,4,5}]
Out[1]= {1, 2, 3, 4, 5}
In[2]:= Intersection[{1,2,3,4},{3,4,5,6}]
Out[2]= {3, 4}
In[3]:= Complement[{1,2,3,4,5,6,7,8,9},{2,4,6,8}]
Out[3]= {1, 3, 5, 7, 9}
In[4]:= Outer[List,{a,b},{1,2}]
Out[4]= {{{a, 1}, {a, 2}}, {{b, 1}, {b, 2}}}
In[5]:= Permutations[{1,2,3}]
Out[6]= {{1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2},
{3, 2, 1}}
In[7]:= Quit
- 23 -
Mathematica 入 門
[例5.1]素数に関する問題
% math
1以上30以下の素数を求める。
In[1]:= Cases[Table[i,{i,1,30}], x_/; PrimeQ[x]]
Out[1]= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
1≦ x≦ 10で 、 x 2 +x+41 が 素 数 と な る xを 求 め る 。
In[2]:= Cases[Table[i,{i,1,10}], x_/; PrimeQ[x^2+x+41]]
Out[2]= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
1≦ x≦ 100で 、 x 2 +x+41が 素 数 と な ら な い xを 求 め る 。
In[3]:= Cases[Table[i,{i,1,100}], x_/; !PrimeQ[x^2+x+41]]
Out[3]= {40, 41, 44, 49, 56, 65, 76, 81, 82, 84, 87, 89, 91, 96}
1≦ x≦ 100で 、 x 2 -79x+1601が 素 数 と な ら な い xを 求 め る 。
In[4]:= Cases[Table[i,{i,1,100}], x_/; !PrimeQ[x^2-79*x+1601]]
Out[4]= {80, 81, 84, 89, 96}
In[5]:= Quit
%
- 24 -
Mathematica 入 門
[例5.2]ピタゴラス数
a,b,cを 正 整 数 と す る 。 a,b,cが 、 a 2 +b 2 =c 2 (a≦ b≦ c)を 満 た す と き 、 ピ タ ゴ ラ ス
数 と い う 。 正 整 数 nが 与 え ら れ た と き 、 c 2 ≦ nを 満 た す ピ タ ゴ ラ ス 数 を 求 め よ 。
●方法1
% math
n=900の 場 合 。
3 つ 組 (a,b,c)の 集 合 L1を 求 め る 。 た だ し 、 1≦ a≦ 30,1≦ b≦ 30,1≦ c≦ 30。
In[1]:= L1=Flatten[Table[{i,j,k},{i,1,30},{j,1,30},{k,1,30}],2];
集 合 L1の 中 で 、 条 件 : a 2 +b 2 =c 2 を 満 た す 3 つ 組 を 求 め る 。
In[2]:= Cases[L1, x_/; x[[1]]^2+x[[2]]^2==x[[3]]^2]
Out[2]= {{3, 4, 5}, {4, 3, 5}, {5, 12, 13}, {6, 8, 10}, {7, 24, 25},
>
{8, 6, 10}, {8, 15, 17}, {9, 12, 15}, {10, 24, 26}, {12, 5, 13},
>
{12, 9, 15}, {12, 16, 20}, {15, 8, 17}, {15, 20, 25}, {16, 12, 20},
>
{18, 24, 30}, {20, 15, 25}, {20, 21, 29}, {21, 20, 29}, {24, 7, 25},
>
{24, 10, 26}, {24, 18, 30}}
集 合 L1の 中 で 、 条 件 : a 2 +b 2 =c 2 を 満 た す 3 つ 組 の 集 合 L2を 求 め る 。
In[3]:= L2= Cases[L1, x_/; x[[1]]^2+x[[2]]^2==x[[3]]^2];
集 合 L2の 中 で 、 条 件 : (a≦ b≦ c)を 満 た す 3 つ 組 の 集 合 を 求 め る 。
In[4]:= Cases[L2, x_/; (x[[1]]<=x[[2]])&&(x[[2]]<=x[[3]])]
Out[4]= {{3, 4, 5}, {5, 12, 13}, {6, 8, 10}, {7, 24, 25}, {8, 15, 17},
>
{9, 12, 15}, {10, 24, 26}, {12, 16, 20}, {15, 20, 25}, {18, 24, 30},
>
{20, 21, 29}}
In[5]:= Quit
- 25 -
Mathematica 入 門
●方法2
(* pita1.m *)
pita1[n_] := (
count = 0;
For[c=1, c*c<=n, c++, {
For[a=1, 2*a*a<=c*c, a++ {
For[b=a, b<=c, b++, {
If[a^2+b^2==c^2,{ count++; }]
}];
}];
}];
Print["n=",n," count=",count];
)
実行結果
% math
In[1]:= Get["pita1.m] "]
In[2]:= pita1[100]
n=100 count=2
In[3]:= pita1[1000]
n=1000 count=11
In[4]:= pita1[10000]
n=10000 count=52
In[5]:= Timing[pita1[10000]]
n=10000 count=52
Out[5]= {15.9327 Second, Null}
In[6]:= Quit
- 26 -
Mathematica 入 門
[例5.3]リスト処理
与えられたリストを反転する関数を定義せよ。
{a, b, c, d} ---> {d, c, b, a}
●方法1
(* list11.m *)
f[L_] := (
If[ L == {},
{},
Join[f[Rest[L]],Take[L,1]]
]
)
実行結果
% math
In[1]:= Get["list11.m"]
In[2]:= f[{a}]
Out[2]= {a}
In[3]:= f[{a,b}]
Out[3]= {b, a}
In[4]:= f[{a,b,c}]
Out[4]= {c, b, a}
In[5]:= f[{a,b,c,d}]
Out[5]= {d, c, b, a}
In[6]:= Quit
- 27 -
Mathematica 入 門
●方法2
(* list12.m *)
g[L_] := Module[{W},
If[ L == {},
{},
{ W = {};
For[i=1, i<=Length[L], i++, {
W = Insert[W,Part[L,i],1];
}];
}
];
Return[W];
]
実行結果
% math
In[1]:= Get["list12.m"]
In[2]:= g[{a}]
Out[2]= {a}
In[3]:= g[{a,b}]
Out[3]= {b, a}
In[4]:= g[{a,b,c}]
Out[4]= {c, b, a}
In[5]:= Quit
- 28 -
Mathematica 入 門
6.グラフィックス
6.1
関数のグラフ
Plot[f[x],{x,a,b}]
Plot[{f[x],g[x]},{x,a,b}]
F=Plot[f[x],{x,a,b}];
Show[F]
ParametricPlot[{x[t],y[t]},
{t,t0,t1}]
関 数 f[x]を 区 間 a≦ x≦ bで 描 く 。
関 数 f[x],g[x]を 区 間 a≦ x≦ bで 描 く 。
区 間 a≦ x≦ bの 関 数 f[x]を Fに 保 存 。
Fを 表 示 。
パ ラ メ ー タ 表 示 。 t0≦ t≦ t1。
( 注 意 ) グ ラ フ を 新 た な ウ ィ ン ド ウ 内 に 表 示 す る に は 、 mathematicaが Motif
graphicsと し て 起 動 さ れ て い る 必 要 が あ る 。
hcsを リ モ ー ト ホ ス ト と し て 使 う と き は 、
hcs% setenv DISPLAY ロ ー カ ル ホ ス ト :0
を実行しておくこと。
% math
Mathematica 3.0 for Digital Unix
Copyright 1988-97 Wolfram Research, Inc.
License valid through 24 May 2003.
-- Motif graphics initialized --
6.2
データのグラフ
ListPlot[リ ス ト ]
ListPlot[リ ス ト ,
PlotJoined->True]
6.3
リストをプロットする。
リストをプロットし折れ線で結ぶ。
データファイルの読込み
ReadList["フ ァ イ ル 名 ",
ファイルからデータを読込み、リスト
Number]
に変換する。
ReadList["フ ァ イ ル 名 ",
ファイルからデータを読込み、行ごと
Number,
にリストに変換する。
RecordLists->True]
- 29 -
Mathematica 入 門
[例6.1]グラフィックスの例
% math
Mathematica 3.0 for Digital Unix
Copyright 1988-97 Wolfram Research, Inc.
License valid through 24 May 2003.
-- Motif graphics initialized -sin関 数 の プ ロ ッ ト
In[1]:= Plot[Sin[x],{x,0,2Pi}]
Out[1]= -Graphics円のプロット(パラメトリック)
In[2]:= ParametricPlot[{Cos[x],Sin[x]},{x,0,2Pi}]
Out[2]= -GraphicsIn[3]:= ListPlot[{1.0,1.2,1.6,2.2,3.0,4.0,5.2,6.6}]
Out[3]= -GraphicsIn[4]:= ListPlot[{1.0,1.2,1.6,2.2,3.0,4.0,5.2,6.6},PlotJoined->True]
Out[4]= -GraphicsIn[5]:= !!data
1.0 1.2
1.6 2.2
3.0 4.0
5.2 6.6
ファイルから読込み
In[5]:= ReadList["data",Number]
Out[5]= {1., 1.2, 1.6, 2.2, 3., 4., 5.2, 6.6}
In[6]:= ReadList["data",Number,RecordLists->True]
Out[6]= {{1., 1.2}, {1.6, 2.2}, {3., 4.}, {5.2, 6.6}}
In[7]:= Quit
- 30 -
Mathematica 入 門
7.課題
7.1
課題1
フィボナッチ数について考察する。
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n≧ 2)
f(0) = 1, f(1) = 1
a = (1 + sqrt(5))/2, b = (1 - sqrt(5))/2 と す る 。
f(0) = 1, f(1) = 1 の 場 合 の 一 般 項
f(n) = (a^(n+1) - b^(n+1))/sqrt(5)
( 1 ) f(0) = 1, f(1) = b の 場 合 の 一 般 項
f(n) = b^n
( 1 ) の 場 合 、 bの 有 効 桁 数 を 6 桁 程 度 と す る と 、 数 値 計 算 の 結 果 と 理 論 結 果 と が
異なることを説明せよ。
=====厳 密 解 =====
=====数 値 解 =====
f(10)=0.0081306187557833487477241098899
f(10)=0.00813062
f(20)=0.000066106961351895970065516458134
f(20)=0.000066107
-7
-7
f(30)=5.3749049985557033441446053199 10
f(30)=5.37445 10
-9
-9
f(40)=4.3701303391810674621873016337 10
f(40)=-1.18878 10
-11
-7
f(50)=3.5531863700963434577568956788 10
f(50)=-6.83665 10
-13
f(60)=2.88896037434990853680051125445 10
f(60)=-0.0000840896
-15
f(70)=2.34890354044042507733164210695 10
f(70)=-0.0103423
-17
f(80)=1.90980391814308317408537097662 10
f(80)=-1.27202
-19
f(90)=1.55278875567226793364194299097 10
f(90)=-156.449
-21
f(100)=1.26251333806384294218902270604 10
f(100)=-19241.9
- 31 -
Mathematica 入 門
(* m111.m *)
f[n_] := (
Print["=====厳 密 解 ====="];
f0=1;
f1=(1-Sqrt[5])/2;
For[i=2,i<=n,i++,{
f2=f1+f0;
If[Mod[i,10]==0, Print["f(",i,")=",N[f2,30]]];
f0 = f1; f1 = f2;
}];
Print["=====数 値 解 ====="];
f0=1;
f1=(1-Sqrt[5])/2;
f1 = N[f1];
For[i=2,i<=n,i++,{
f2=f1+f0;
If[Mod[i,10]==0, Print["f(",i,")=",f2]];
f0 = f1; f1 = f2;
}];
)
- 32 -
Mathematica 入 門
●誤差発生検証
フ ァ イ ル ( m112.m)
n:=100;
b1:=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^15;
Print["b1=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^15"];
h0:=1;
h1:=b1;
Do[h2=h1+h0;h0=h1; h1=h2,{i,2,n}]
Print["h(",n,")=",h2]
Print[" "]
b2:=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^16;
Print["b2=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^16"];
h0:=1;
h1:=b2;
Do[h2=h1+h0;h0=h1; h1=h2,{i,2,n}]
Print["h(",n,")=",h2]
Print[" "]
b3:=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^17;
Print["b3=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^17"];
h0:=1;
h1:=b3;
Do[h2=h1+h0;h0=h1; h1=h2,{i,2,n}]
Print["h(",n,")=",h2]
Print[" "]
b4:=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^18;
Print["b4=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^18"];
h0:=1;
h1:=b4;
Do[h2=h1+h0;h0=h1; h1=h2,{i,2,n}]
Print["h(",n,")=",h2]
Print[" "]
b5:=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^19;
Print["b5=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^19"];
h0:=1;
h1:=b5;
Do[h2=h1+h0;h0=h1; h1=h2,{i,2,n}]
Print["h(",n,")=",h2]
Print[" "]
- 33 -
Mathematica 入 門
% math
In[1]:= Get["m112.m"]
b1=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^15
h(100)=-373184.
b2=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^16
h(100)=-58568.8
b3=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^17
h(100)=-19241.9
b4=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^18
h(100)=-19241.9
b5=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^19
h(100)=-19241.9
In[2]:= Quit
- 34 -
Mathematica 入 門
7.2
課題2
ピ タ ゴ ラ ス 数 : a 2 +b 2 =c 2 (a≦ b≦ c)
n
10 2
10 3
10 4
10 5
10 6
で 、 c 2 ≦ nを 満 た す 個 数 を 効 率 よ く 求 め よ 。
個数
2
11
52
220
881
(* pita2.m *)
pita2[n_] := (
c = 1;
count = 0;
For[c=1, c*c<=n, c++, {
a = 1;
b = c;
While[ a<=b, {
w = a*a + b*b - c*c;
If[ w>0, b-- ];
If[ w == 0, count++ ];
a++;
}];
}];
Print["n=",n," count=",count];
)
% math
In[1]:= Get["pita2.m"]
In[2]:= pita2[10000]
n=10000 count=52
In[3]:= pita2[100000]
n=100000 count=220
In[4]:= pita2[1000000]
n=1000000 count=881
In[5]:= Timing[pita2[10000]]
n=10000 count=52
Out[5]= {0.366652 Second, Null}
In[6]:= Quit
- 35 -
Mathematica 入 門
7.3
課題3
( 1 ) m,nが 与 え ら れ た と き 、 1/a+1/b=m/n (a≦ b)を 満 た す a,bの 組 を
すべて求めよ。
実行結果
1/3 + 1/6
1/4 + 1/4
m=1
n=2
c=2
(* << egypt21.m >> *)
(* 1/a + 1/b = m/n *)
m = 1; n = 2;
count = 0;
a = Floor[n/m] + 1; a1 = Floor[2*n/m];
While[ a <= a1, {
m1 = m*a-n; n1 = a*n;
If[ Mod[n1,m1] == 0, {
count++;
Print["1/",a," + 1/",n1/m1];
}];
a++;
}];
Print["m=",m," n=",n," c=",count];
- 36 -
Mathematica 入 門
( 2 ) 2≦ n≦ 8,1≦ m≦ n-1の 組 (m,n)に つ い て 、 1/a+1/b=m/n (a≦ b)を 満 た す a,bの
個数を求めよ。
実行結果
m=1
m=1
m=2
m=1
m=2
m=3
m=1
m=2
m=3
m=4
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
n=2
n=3
n=3
n=4
n=4
n=4
n=5
n=5
n=5
n=5
n=6
n=6
n=6
n=6
n=6
count=2
count=2
count=2
count=3
count=2
count=1
count=2
count=2
count=1
count=0
count=5
count=2
count=2
count=2
count=1
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
m=6
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
m=6
m=7
n=7
n=7
n=7
n=7
n=7
n=7
n=8
n=8
n=8
n=8
n=8
n=8
n=8
count=2
count=2
count=0
count=1
count=0
count=0
count=4
count=3
count=2
count=2
count=1
count=1
count=0
(* << egypt22.m >> *)
(* 1/a + 1/b = m/n *)
n= 2; nmax = 8;
While[ n <= nmax, {
m = 1;
While[ m < n, {
count = 0;
a = Floor[n/m] + 1; a1 = Floor[2*n/m];
While[ a <= a1, {
m1 = m*a-n; n1 = a*n;
If[ Mod[n1,m1] == 0, { count++; }];
a++;
}];
Print["m=",m," n=",n," count=",count];
m++;
}];
n++;
}];
- 37 -
Mathematica 入 門
( 3 ) 2≦ n≦ 20,1≦ m≦ n-1の 分 数 m/nに つ い て 、 3 個 以 下 の 単 位 分 数 で 表 せ な い
ものを求めよ。
実行結果
8/11,9/11,10/11,
12/13,
13/14,
15/16,
8/17,14/17,15/17,16/17,
9/19,14/19,15/19,17/19,18/19
( 4 ) 2≦ n≦ 30,1≦ m≦ n-1の 分 数 m/nに つ い て 、 4 個 以 下 の 単 位 分 数 で 表 せ な い
ものを求めよ。
実行結果
16/17,
21/23,22/23,
27/29,28/29
( 5 ) 2≦ n≦ 100,1≦ m≦ n-1の 分 数 m/nに つ い て 、 5 個 以 下 の 単 位 分 数 で 表 せ な い
ものを求めよ。
実行結果
77/79
- 38 -
Mathematica 入 門
7.4
課題4
次の曲線を表示せよ。
(1)アステロイド
定義
x = a*cos(t)**3, y = a*sin(t)**3
(2)リサージュ図形
定義
x = cos(a*t), y = sin(b*t)
(3)平面曲線1
定義
x = (a-b)*cos(t) + b*cos((a-b)*t/b)
y = (a-b)*sin(t) + b*sin((a-b)*t/b)
(4)平面曲線2
定義
x = (a+b)*cos(t) - b*cos((a+b)*t/b)
y = (a+b)*sin(t) - b*sin((a+b)*t/b)
(5)平面曲線3
定義
r = a*sin(t/n) n:正 整 数
x = a*sin(t/n)*cos(t)
y = a*sin(t/n)*sin(t)
(6)円の伸開線
定義
x = a*cos(t) + a*t*sin(t)
y = a*sin(t) - a*t*cos(t)
円の伸開線は、円柱に巻いた糸をたるませないでほどいて
いくとき糸の先端が描く曲線。
(7)正葉形
定義
r = a*sin(n*t)
nが 偶 数 の と き 2n個 の 葉 を 持 ち 、 nが 奇 数 の と き n個 の 葉 を 持 つ
x = r*cos(t) = a*sin(n*t)*cos(t)
y = r*sin(t) = a*sin(n*t)*sin(t)
(8)リマソンのか牛線
定義
r = a*cos(t) + b
x = (a*cos(t)+b)*cos(t)
y = (a*cos(t)+b)*sin(t)
- 39 -
Mathematica 入 門
(9)コンコイド
定義
r = a/cos(t) + b
x = (a/cos(t)+b)*cos(t)
y = (a/cos(t)+b)*sin(t)
(10)対数らせん
定義
r = a**t (a>1)
x = (a**t)*cos(t)
y = (a**t)*sin(t)
(11)アルキメデスのらせん
定義
r = a*t (a>0)
x = a*t*cos(t)
y = a*t*sin(t)
(12)双曲らせん
定義
r*t = a (a>0)
x = (a/t)*cos(t)
y = (a/t)*sin(t)
(13)リチュウス
定義
(r**2)*t = a (a>0)
x = sqrt(a/t)*cos(t)
y = sqrt(a/t)*sin(t)
(14)デカルトの葉形
定義
x = 3*a*t/(1+t**3)
y = 3*a*t**2/(1+t**3)
(a>0)
(15)サイクロイド
定義
x = a*(t-sin(t))
y = a*(1-cos(t))
x軸 上 を 転 が る 半 径 aの 円 周 上 に 固 定 さ れ た 点 の 描 く 曲 線 。
(16)簡単なフーリエ級数
定義
y = (2/pi)(sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+・ ・ ・ )
- 40 -