Mathematica入門

Mathematica 入門
Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ入門
０．目次
１．はじめに
２．数値計算
２．１
四則演算と定数
２．２
組み込み関数
２．３
数の表示
２．４
代入
２．５
Ｐｒｉｎｔ文
２．６
Ｄｏ文
２．７
Ｆｏｒ文
２．８
Ｗｈｉｌｅ文
２．９
Ｉｆ文
２．１０和と積
２．１１関数の定義
［例２．１］ 1+1/2+1/3+… +1/n+… の計算
［例２．２］πの計算
［例２．３］２＾ｎ−１の素数
３．ファイル処理
３．１ファイルからコマンド入力
３．２ファイルへ結果の出力
［例３．１］ファイル処理の例
４．数式処理
４．１
４．２
４．３
４．４
方程式
式の展開、因数分解、部分分数展開、簡約化
級数、微分、定積分
漸化式
５．リスト処理
５．１リスト
５．２素数
５．３集合
［例５．１］素数に関する問題
［例５．２］ピタゴラス数
［例５．３］リスト処理
６．グラフィックス
６．１関数のグラフ
６．２データのグラフ
６．３データファイルの読込み
［例６．１］グラフィックスの例
７．課題
７．１
７．２
７．３
７．４
課題１
課題２
課題３
課題４
- 1 -
Mathematica 入門
１．はじめに
Mathematicaは、数式計算、数値計算、グラフィックス処理等を実行する数式処
理支援ソフトウェアである。例えば、分数での計算、因数分解、方程式の解、微
積分等が誤差なく厳密に計算できる。もちろん、数値計算も行える。簡単な使い
方を示す。
% math （起動）
In[1]:= 1+2*3
Out[1]= 7
In[2]:= 1/2+1/3
5
Out[2]= 6
In[3]:= Sqrt[8]
Out[3]= 2 Sqrt[2]
In[4]:= N[Sqrt[8]]
Out[4]= 2.82843
In[5]:= %4/2
Out[5]= 1.41421
In[6]:= Solve[x^2-2==0,x]
Out[6]= {{x -> -Sqrt[2]}, {x -> Sqrt[2]}}
In[7]:=Quit
%
（停止）
① In[k]は、起動時から k番目に入力した数式を意味し、 Out[k]は、 In[k]に
対応した出力を意味する。 Mathematicaを起動してからの累計番号（ kは 1から
始まる）で自動的に表示される。
② In[1]:= と表示されているとき、 1+2*3 と入力し、 Enterキーを押す。
Out[1]= 7 と表示される。
③ Out[k]の結果を再利用するときは、 %k とする。 %は直前の結果を意味する。
④ 計算の中断は、 C-c（ Ctrlキーを押しながら cを押す）を入力する。
Interrupt>と表示されたら、 aを入力する。
⑤式の最後にセミコロンをつけると、計算はするが結果は出力されない。
- 2 -
Mathematica 入門
２．数値計算
数値計算に必要な基本的書き方、実行文を示す。
２．１
四則演算と定数
加法
減法
乗法
除法
ベキ乗
階乗
ａ＋ｂ
ａ−ｂ
ａ＊ｂ
ａ／ｂ
ａ＾ｂ
ｎ！
Pi
E
（または、ａ
ｂ）
% math
In[1]:= 123 + 45
Out[1]= 168
In[2]:= 1/2 + 1/3
5
Out[2]= 6
In[3]:= 123 - 45
Out[3]= 78
In[4]:= 1/2 - 1/3
1
Out[4]= 6
In[5]:= 123 * 45
Out[5]= 5535
In[6]:= (1/2) * (1/3)
1
Out[6]= 6
In[7]:= 123 / 45
41
Out[7]= -15
In[8]:= (1/2) / (1/3)
3
Out[8]= 2
In[9]:= 2 ^ 10
Out[9]= 1024
In[10]:= 10 !
Out[10]= 3628800
In[11]:= Pi
Out[11]= Pi
In[12]:= E
Out[12]= E
In[13]:= Quit
- 3 -
円周率
自然対数の底
Mathematica 入門
２．２
組み込み関数
絶対値
剰余
平方根
指数関数
三角関数
対数関数
２項係数
Abs[x]
Mod[x,k] 整数ｘを整数ｋで割った余り
Sqrt[x]
Exp[x]
Sin[x] Cos[x] Tan[x] ArcTan[x]
Log[x]（底は e） Log[a,x]（底は a）
Binomial[n,r]
% math
In[1]:= Abs [123]
Out[1]= 123
In[2]:= Abs [-123]
Out[2]= 123
In[3]:= Mod [10,3]
Out[3]= 1
In[4]:= Sqrt [2]
Out[4]= Sqrt[2]
In[5]:= Exp [1]
Out[5]= E
In[6]:= Sin [Pi]
Out[6]= 0
In[7]:= Cos [Pi]
Out[7]= -1
In[8]:= Tan [Pi/4]
Out[8]= 1
In[9]:= Log [E]
Out[9]= 1
In[10]:= Log [2,4]
Out[10]= 2
In[11]:= Binomial [10,5]
Out[11]= 252
In[12]:= Quit
２．３
数の表示
N[x]
N[x,k]
x//N
ｘを小数表示にする。
ｘをｋ桁まで正しく小数表示する。
ｘを仮数部と指数部で表示する。
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
Out[2]=
In[3]:=
N [Sqrt[2]]
1.41421
N [Sqrt[2],10]
1.414213562
2^100 //N
30
Out[3]= 1.26765 10
- 4 -
Mathematica 入門
２．４
代入
x=値
Clear[x]
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
Out[2]=
In[3]:=
In[4]:=
Out[4]=
２．５
x = 123
123
x
123
Clear [x]
x
x
Ｐｒｉｎｔ文
Print[S]
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
a bc
In[3]:=
Out[3]=
In[4]:=
123
２．６
変数 xに値を代入する。後で参照できる。
変数 xに割り当てられている値を消去。
文字列Ｓが出力される。
空白は、二重引用符（ "）で必要な空白文字を囲む。
x = "a bc"
a bc
Print [x]
x = 123
123
Print [x]
Ｄｏ文
Do[X(n),{n,a,b,c}]
a≦ n≦ bについて、増分 cで X(n)を評価した
結果を出力する。
In[1]:= Do [Print[i],{i,1,3}]
1
2
3
２．７
Ｆｏｒ文
For[i=a,i<=b,i=i+c,X(i)]
a≦ i≦ bについて、増分 cで X(i)を評価
した結果を出力する。
In[1]:= For [i=1,i<=3,i=i+1,Print[i]]
1
2
3
- 5 -
Mathematica 入門
２．８
Ｗｈｉｌｅ文
While[条件 ,処理 ]
条件が真の間、処理を繰り返す。
In[1]:=i = 1
Out[1]= 1
In[2]:= While [i<=3,{Print[i]; i=i+1}]
1
2
3
（注意）処理が複数の文から構成されるとき、 {と }で囲む。
条件を関係演算子、論理演算子で表す。
関係演算子
x == y
xと yが等しい
x != y
xと yが等しくない
x < y
xが yより小さい
x <= y
xが yより小さいか等しい
x > y
xが yより大きい
x >= y
xが yより大きいか等しい
２．９
論理演算子
x ¦¦ y
xまたは y
x && y
xかつ y
!x
xでない
Ｉｆ文
If[条件 ,処理１ ,処理２ ]
条件が真ならば処理１を実行し、偽な
らば処理２を実行する。
In[1]:= If [1<2,Print["1"],Print["2"]]
1
In[2]:= If [1>2,Print["1"],Print["2"]]
2
２．１０
和と積
Sum[f[n],{n,a,b}]
Product[f[n],{n,a,b}]
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
Out[2]=
f(a)+f(a+1)+・・・ +f(b-1)+f(b)
f(a)・ f(a+1)・・・ f(b-1)・ f(b)
Sum [n,{n,1,10}]
55
Product [n,{n,1,10}]
3628800
- 6 -
Mathematica 入門
２．１１
関数の定義
関数名 [引数 _]:=定義式
関数名 [引数１ _,引数２ _]:=定義式（引数が２個以上の場合も同様）
?関数名
関数定義の確認。
Clear[関数名 ]
関数の定義削除。
関数名 [引数 _]:=定義式 /; 条件
条件が満たされたとき定義される
関数名 [引数 _]:= (コマンド ; … ;
コマンド)
複数のコマンドをまとめてひとつ
の手続きとする。丸かっこで囲む
関数の値は、最後のコマンドの結
果となる。
関数名 [引数 _]:= Module[{u,v},
コマンド ; … ;コマンド ]
手続き内で使う局所変数 u,vを定義
できる。
Return[値 ]
値を返す。
% math
In[1]:= f[x_,y_]:= x*x + y*y
In[2]:= ?f
Global`f
f[x_, y_] := x*x + y*y
In[3]:= f[3,4]
Out[3]= 25
In[4]:= Clear [f]
In[5]:= ?f
Global`f
In[6]:= f[x_]:= 1 /; x>=0
In[7]:= ?f
Global`f
f[x_] := 1 /; x >= 0
In[8]:= f[3]
Out[8]= 1
In[9]:= f[-3]
Out[9]= f[-3]
（続く）
- 7 -
Mathematica 入門
In[10]:= d[x_,y_]:=(z=x*x+y*y; z=Sqrt[z])
In[11]:= d[2,3]
Out[11]= Sqrt[13]
In[12]:= a = 3
Out[12]= 3
In[13]:= e[x_]:=Module[{u},u=a*a+x*x; a=-a; u=Sqrt[u]]
In[14]:= e[4]
Out[14]= 5
In[15]:= a
Out[15]= -3
In[16]:= u
Out[16]= u
In[17]:= Quit
（参考）ヘルプ機能
？関数名
？？関数名
？文字列＊
？＊文字列＊
関数の簡単な説明
関数の詳しい説明
文字列で始まる関数の一覧
文字列を含む関数の一覧
- 8 -
Mathematica 入門
［例２．１］ 1+1/2+1/3+… +1/n+… の計算
% math
Mathematica 3.0 for Digital Unix
Copyright 1988-97 Wolfram Research, Inc.
License valid through 24 May 2003.
-- Terminal graphics initialized -一般項の定義
In[1]:= a[k_]:=1/k;
In[2]:= b[n_]:=Sum[a[k],{k,1,n}];
In[3]:= a[3]
1
Out[3]= 3
In[4]:= b[3]
11
Out[4]= -6
分数表現
In[5]:= b[100]
14466636279520351160221518043104131447711
Out[5]= ----------------------------------------2788815009188499086581352357412492142272
小数表現
In[6]:= b[100]//N
Out[6]= 5.18738
In[7]:= b[1000]//N
Out[7]= 7.48547
In[8]:= b[10000]//N
Out[8]= 9.78761
In[9]:= Quit
- 9 -
Mathematica 入門
［例２．２］πの計算
π /4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 …
% math
Mathematica 3.0 for Digital Unix
Copyright 1988-97 Wolfram Research, Inc.
License valid through 8 Apr 1999.
-- Motif graphics initialized -一般項の定義。
In[1]:= f[k_]:=(-1)^(k+1)/(2*k-1);
５０番目の項までの部文和。
In[2]:= 4*Sum[f[k],{k,1,50}]
3400605476464206445954873476681150352328
Out[2]= ---------------------------------------1089380862964257455695840764614254743075
数値化。
In[3]:= N[%,20]
Out[3]= 3.1215946525910104785
In[4]:= g[n_]:=4*Sum[f[k],{k,1,n}];
１０番目のまでの項の部文和、２０番目までの項の部文和、・・・、５０番目ま
での項の部文和を求める。
In[5]:= Do[Print["g(",n,")=",N[g[n],20]],{n,10,50,10}]
g(10)=3.0418396189294022111
g(20)=3.0916238066678386317
g(30)=3.1082685666989461300
g(40)=3.1165965567938323178
g(50)=3.1215946525910104785
収束が遅いことがわかる。
In[6]:= Quit
- 10 -
Mathematica 入門
［例２．３］２＾ｎ−１の素数
% math
Mathematica 3.0 for Digital Unix
Copyright 1988-97 Wolfram Research, Inc.
License valid through 24 May 2003.
-- Terminal graphics initialized -関数の定義（ PrimeQ[x]は xが素数なら真、素数でないなら偽となる関数）
In[1]:= p[m_]:=For[n=1,n<=m,n++,
If[PrimeQ[2^n-1],Print["2^",n,"-1 is prime"]]];
関数の確認
In[2]:= ?p
Global`p
p[m_] := For[n = 1, n <= m, n++,
If[PrimeQ[2^n - 1], Print["2^", n,"-1 is prime"]]]
1000以下について実行。
In[3]:= p[1000]
2^2-1 is prime
2^3-1 is prime
2^5-1 is prime
2^7-1 is prime
2^13-1 is prime
2^17-1 is prime
2^19-1 is prime
2^31-1 is prime
2^61-1 is prime
2^89-1 is prime
2^107-1 is prime
2^127-1 is prime
2^521-1 is prime
2^607-1 is prime
Timing[処理 ]で処理の所要時間を求めることができる。
In[4]:= Timing[PrimeQ[2^607-1]]
Out[4]= {0.149994 Second, True}
In[5]:= Timing[PrimeQ[2^1000-1]]
Out[5]= {0. Second, False}
In[6]:= Quit
- 11 -
Mathematica 入門
３．ファイル処理
ファイルからコマンドを入力する方法、ファイルへ実行結果を出力する方法を
示す。
３．１
ファイルからコマンド入力
ファイル（ fib.m）
fib[0]:=1; (* コメント *)
fib[1]:=1;
fib[n_]:=fib[n-1]+fib[n-2]/; n>1
このファイルを読み込むと、 fibという名前の関数が使えるようになる。
(*と *)で囲まれた部分はコメントと見なされ、計算の対象とならない。
!!fib.m
Get["fib.m"]
?fib
fib[10]
３．２
ファイル（ fib.m）の表示。
ファイル（ fib.m）を読み込む。
fibという関数が定義されているか確認する。
fib[10]を計算する。
ファイルへ結果の出力
Put[式 ,"output"]
PutAppend[式 ,"output"]
Save["func.m",fib]
式の結果を出力ファイル (output）へ保存。
式の結果を出力ファイル（ output）へ追加保存
ファイル（ func.m）に関数 fibを保存する。
このファイルを読み込めば、関数 fibが使える。
- 12 -
Mathematica 入門
［例３．１］ファイル処理の例
% cat fib.m
fib[0]:=1;
fib[1]:=1;
fib[n_]:=fib[n-1]+fib[n-2]/; n>1
% math
ファイル（ fib.m）を読み込む。
In[1]:= Get["fib.m"]
関数 fibが定義されているか確認。
In[2]:= ?fib
Global`fib
fib[0] := 1
fib[1] := 1
fib[n_] := fib[n - 1] + fib[n - 2] /; n > 1
fib[5]を計算。
In[3]:= fib[5]
Out[3]= 8
fib[5]の結果をファイル（ output）に出力。
In[4]:= Put[fib[5],"output"]
ファイル（ output）を表示。
In[5]:= !!output
8
fib[6]の結果をファイル（ output）に追加出力。
In[5]:= PutAppend[fib[6],"output"]
ファイル（ output）を表示。
In[6]:= !!output
8
13
ファイル（ func.m）に関数 fibを保存。
In[6]:= Save["func.m",fib]
ファイル（ func.m）を表示。
In[7]:= !!func.m
fib[0] := 1
fib[1] := 1
fib[n_] := fib[n - 1] + fib[n - 2] /; n > 1
In[7]:= Quit
- 13 -
Mathematica 入門
４．数式処理
数式処理に必要な基本的な書き方、実行文を示す。
４．１
方程式
Solve[P==Q,x]
NSolve[P==Q,x]
N[Solve[P==Q,x],k]
Solve[{P1==Q1,P2==Q2},
{x1,x2}]
NSolve[{P1==Q1,P2==Q2},
{x1,x2}]
N[Solve[{P1==Q1,P2==Q2},
{x1,x2}],k]
FindRoot[P1==Q1,{x,a}]
FindMinimum[P,{x,a}]
P,Qを xについての式とする。
代数的な解が求められる。
P,Qを xについての式とする。
数値的な解が求められる。
P,Qを xについての式とする。
k桁の精度で数値的な解が求められる。
P1,Q1,P2,Q2を x1,x2についての式とする。
代数的な解が求められる。
P1,Q1,P2,Q2を x1,x2についての式とする。
数値的な解が求められる。
P1,Q1,P2,Q2を x1,x2についての式とする。
k桁の精度で数値的な解が求められる。
P1,Q1を xについての式とする。
x=aを初期値として数値解を探す。
Pを xについての式とする。
x=aを初期値として極小値を探す。
% math
In[1]:= Solve [ x^2 + x + 1 == 0, x]
1/3
2/3
Out[1]= {{x -> -(-1)
}, {x -> (-1)
}}
In[2]:= NSolve [ x^2 + x + 1 == 0, x]
Out[2]= {{x -> -0.5 - 0.866025 I}, {x -> -0.5 + 0.866025 I}}
In[3]:= Solve [{x^2 + y^2 == 4, x + y == 1},{x,y}]
1 - Sqrt[7]
1 + Sqrt[7]
Out[3]= {{x -> -----------, y -> -----------},
2
2
>
1 + Sqrt[7]
1 - Sqrt[7]
{x -> -----------, y -> -----------}}
2
2
In[4]:= NSolve [{x^2 + y^2 == 4, x + y == 1},{x,y}]
Out[4]= {{x -> -0.822876, y -> 1.82288},
{x -> 1.82288, y -> -0.822876}}
In[5]:= FindRoot [ Sin[x] == Cos[x],{ {x,0}]
Out[5]= {x -> 0.785398}
In[6]:= FindRoot [ Sin[x] == Cos[x], {x,Pi}]
Out[6]= {x -> 3.92699}
In[7]:= FindMinimum [x^3 - 5*x^2 - 2*x + 10, {x,0}]
Out[7]= {-15.3778, {x -> 3.52259}}
In[8]:= Quit
- 14 -
Mathematica 入門
４．２
式の展開、因数分解、部分分数展開、簡約化
Expand[P]
Factor[P]
Apart[P]
Simplify[式 ]
多項式Ｐを展開する。
多項式Ｐを因数分解する。
多項式Ｐを部分分数に展開する。
式を最小の要素（演算記号、かっこ、文字）で表現
する。
% math
In[1]:= Expand [(x+y)^4]
4
Out[1]= x
3
2
+ 4 x
y + 6 x
2
y
3
+ 4 x y
4
+ y
In[2]:= Factor [x^8 - 1]
2
4
Out[2]= (-1 + x) (1 + x) (1 + x ) (1 + x )
In[3]:= Factor [a^3 + b^3 + c^3 - 3*a*b*c]
2
Out[3]= (a + b + c) (a
2
- a b + b
2
- a c - b c + c )
In[4]:= Apart [1/(1-x^2)]
-1
1
Out[4]= ---------- + --------2 (-1 + x)
2 (1 + x)
In[5]:= Simplify [(a+b)*(a-b)*(a-b)*(a+b)]
2
Out[5]= (a - b)
2
(a + b)
In[6]:= Simplify [Sin[x]*Cos[y]+Cos[x]*Sin[y]]
Out[6]= Sin[x + y]
In[7]:= Quit
- 15 -
Mathematica 入門
４．３
級数、微分、微分方程式、定積分
Series[関数 ,{x,a,n}]
関数を x=aの近傍で n次までべき級数
展開する。
n階導関数を求める。
微分方程式を解く。
定積分を求める。
数値積分を求める。
D[関数 ,{x,n}]
DSolve[微分方程式 ,関数 ,変数 ]
Integrate[関数 ,{x,下限 ,上限 }]
NIntegrate[関数 ,{x,下限 ,上限 }]
% math
In[1]:= Series [1/(1-2*x),{x,0,6} }]
2
Out[1]= 1 + 2 x + 4 x
3
+ 8 x
4
+ 16 x
5
6
7
+ 32 x
+ 64 x
+ O[x]
5
6
7
In[2]:= Series [1/(1-x-x^2),{x,0,6}]
2
Out[2]= 1 + x + 2 x
3
+ 3 x
4
+ 5 x
+ 8 x
In[3]:= Series [Sin[x],{x,0,6}]
3
5
x
x
7
Out[3]= x - -- + --- + O[x]
6
120
In[4]:= D [x^3,{x,1}]
2
Out[4]= 3 x
In[5]:= D [x^3,{x,2}]
Out[5]= 6 x
In[6]:= D [Log[x],{x,1}]
1
Out[6]= x
（続く）
- 16 -
+ 13 x
+ O[x]
Mathematica 入門
In[7]:= DSolve [y'[x] == x^3,y[x],x]
4
x
Out[7]= {{y[x] -> -- + C[1]}}
4
In[8]:= DSolve [y'[x] == Cos[x],y[x],x]
Out[8]= {{y[x] -> C[1] + Sin[x]}}
In[9]:= Integrate [Sqrt[1-x^2],{x,0,1}]
Pi
Out[9]= -4
In[10]:= NIntegrate [Sqrt[1-x^2],{x,0,1}]
Out[10]= 0.785398
In[11]:= Quit
- 17 -
Mathematica 入門
４．４
漸化式
Mathematicaには標準の関数が組み込まれているが、パッケージ（ Mathematica
言語で書かれたプログラムファイルで、関数定義の集まりである）を読み込めば
機能を拡張できる。
RSolve[{初期値 ,漸化式 },関数 ,変数 ]
漸化式を初期値のもとで解く。
% math
In[1]:= Needs["DiscreteMath`RSolve`"]
In[2]:= RSolve[{f[1]==1,f[n]==f[n-1]+n},f[n],n]
n (1 + n)
Out[2]= {{f[n] -> ---------}}
2
In[3]:= RSolve[{f[1]==1,f[n]==2*f[n-1]+1},f[n],n]
n
Out[3]= {{f[n] -> If[n >= 1, -1 + 2 , 0]}}
In[4]:= RSolve[{f[0]==1,f[n]==n*f[n-1]},f[n],n]
Out[4]= {{f[n] -> n!}}
In[5]:= RSolve[{f[0]==1,f[1]==1,f[n]==f[n-1]+f[n-2]},f[n],n]
1 + n
1 - Sqrt[5] n
(1 + Sqrt[5])
(-----------) (-1 + Sqrt[5]) + -----------------2
n
2
Out[5]= {{f[n] -> --------------------------------------------------}}
2 Sqrt[5]
In[6]:= RSolve[{f[0]==1,f[1]==(1-Sqrt[5])/2,f[n]==f[n-1]+f[n-2]},f[n],n]
1
Sqrt[5] n
Out[6]= {{f[n] -> (- - -------) }}
2
2
In[7]:= Quit
- 18 -
Mathematica 入門
５．リスト処理
５．１
リスト
数、変数、式などをコンマ（ ,）で区切って並べ、｛｝で囲んだものをリスト
という。たとえば、 {2,3,5,7,11,13}, {x,y,z,1,2,3}, {{1,2},W,{a,b}}。
Part[L,i]
Length[L]
Sort[L]
リスト Lの i番目の要素。 L[[i]]とも書く。
リスト Lに含まれる要素数。
リストＬの要素を標準的順序に並べる。
% math
In[1]:= L = {11,22,33,44,55}
Out[1]= {11, 22, 33, 44, 55}
In[2]:= Part [L,3]
Out[2]= 33
In[3]:= L[[3]]
Out[3]= 33
In[4]:= Length [L]
Out[4]= 5
In[5]:= Sort [{3,5,2,1,4}]
Out[5]= {1, 2, 3, 4, 5}
In[6]:= Sort [{c,e,b,a,d}]
Out[6]= {a, b, c, d, e}
In[7]:= Sort [{a,23,2.3,aa}]
Out[7]= {2.3, 23, a, aa}
In[8]:= Sort [{{2,3},3,{1,2,3},{2,4}}]
Out[8]= {3, {2, 3}, {2, 4}, {1, 2, 3}}
- 19 -
Mathematica 入門
Insert[L,x,n]
Delete[L,n]
First[L]
Take[L,n]
Rest[L]
Join[L1,L2,… ]
Union[L1,L2,… ]
リスト Lの前から n番目に要素 xを挿入する。
リスト Lの前から n番目の要素を削除する。
リスト Lの先頭要素。
リスト Lの前から n番目の要素を取り出しリストに
する。
リスト Lから先頭要素を除いた残りのリスト。
リスト L1,L2,… をこの順に結合する。
リスト L1,L2,… をこの順に結合する。ただし、重
複する要素がある場合、１つにまとめ並べ替える。
In[9]:= M = {a,b,c,d,e}
Out[9]= {a, b, c, d, e}
In[10]:= Insert [M,f,1]
Out[10]= {f, a, b, c, d, e}
In[11]:= Delete [M,2]
Out[11]= {a, c, d, e}
In[12]:= First [{1,2,3}]
Out[12]= 1
In[13]:= Take [{1,2,3},1]
Out[13]= {1}
In[14]:= Rest [{1,2,3}]
Out[14]= {2, 3}
In[15]:= Rest [{{1,2},3,4}]
Out[15]= {3, 4}
In[16]:= Join [{2,3,4},{1,2,3}]
Out[16]= {2, 3, 4, 1, 2, 3}
In[17]:= Union [{2,3,4},{1,2,3}]
Out[17]= {1, 2, 3, 4}
In[18]:= Quit
- 20 -
Mathematica 入門
Flatten[L]
Flatten[L,n]
Table[式 ,{i,a,b,d}]
Cases[L,形式 ]
Cases[L,形式 /;条件 ]
リスト Lの入れ子を全て解除する。
リスト Lの入れ子を深さ nまで解除する。
iを aから bまで増分 dで反復し、式の値をリストに
する。
リスト Lの中で形式に合うものを選択する。
形式には、
x_
任意のもの（仮に xとする）
x_Integer 整数
x_List
リスト
などがある。
形式 /;条件は、条件を満たす形式を意味する。
% math
In[1]:= Table [i^2, {i,1,9}]
Out[1]= {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}
In[2]:= Table [{i,i^2},{i,1,9}]
Out[2]= {{1, 1}, {2, 4}, {3, 9}, {4, 16}, {5, 25}, {6, 36}, {7, 49},
>
{8,64}, {9, 81}}
In[3]:= L = Table [{i,j},{1 i,1,2},{j,1,3}]
Out[3]= {{{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}}, {{2, 1}, {2, 2}, {2, 3}}}
In[4]:= Flatten [L,1]
Out[4]= {{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 1}, {2, 2}, {2, 3}}
In[5]:= Flatten [L,2]
Out[5]= {1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 2, 3}
In[6]:= Flatten [L]
Out[6]:= {1, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 2, 3}
In[7]:= M = Table [i,{i,1,10}]
Out[7]= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
In[8]:= Cases [M,x_/;Mod[x,2]==0]
Out[8]= {2, 4, 6, 8, 10}
In[9]:= Cases [{1,2,3.3,4,5.5},x_Integer]
Out[9]= {1, 2, 4}
In[10]:= Quit
- 21 -
Mathematica 入門
５．２
素数
Prime[k]
PrimeQ[数 ]
GCD[i,j]
k番目の素数
数が素数か否か判定する。
素数なら True、合成数なら Falseを返す。
ｉとｊの最大公約数
%math
In[1]:= Prime[1]
Out[1]= 2
In[2]:= Prime[10]
Out[2]= 29
In[3]:= PrimeQ[11]
Out[3]= True
In[4]:= PrimeQ[11111]
Out[4]= False
In[5]:= GCD[123,45]
Out[5]= 3
In[6]:= GCD[11,31]
Out[6]= 1
In[7]:= Quit
- 22 -
Mathematica 入門
５．３
集合
集合はリストで表される。
Union[L1,L2]
Intersection[L1,L2]
Complement[S,L]
Outer[List,L1,L2]
Permutations[L]
リスト L1とリスト L2の和集合。
リスト L1とリスト L2の共通部分。
全体集合 Sに関する集合 Lの補集合。
リスト L1とリスト L2の直積。
リスト Lの要素のすべての順列
% math
In[1]:= Union[{1,2,3},{3,4,5}]
Out[1]= {1, 2, 3, 4, 5}
In[2]:= Intersection[{1,2,3,4},{3,4,5,6}]
Out[2]= {3, 4}
In[3]:= Complement[{1,2,3,4,5,6,7,8,9},{2,4,6,8}]
Out[3]= {1, 3, 5, 7, 9}
In[4]:= Outer[List,{a,b},{1,2}]
Out[4]= {{{a, 1}, {a, 2}}, {{b, 1}, {b, 2}}}
In[5]:= Permutations[{1,2,3}]
Out[6]= {{1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2},
{3, 2, 1}}
In[7]:= Quit
- 23 -
Mathematica 入門
［例５．１］素数に関する問題
% math
１以上３０以下の素数を求める。
In[1]:= Cases[Table[i,{i,1,30}], x_/; PrimeQ[x]]
Out[1]= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
1≦ x≦ 10で、 x 2 +x+41 が素数となる xを求める。
In[2]:= Cases[Table[i,{i,1,10}], x_/; PrimeQ[x^2+x+41]]
Out[2]= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
1≦ x≦ 100で、 x 2 +x+41が素数とならない xを求める。
In[3]:= Cases[Table[i,{i,1,100}], x_/; !PrimeQ[x^2+x+41]]
Out[3]= {40, 41, 44, 49, 56, 65, 76, 81, 82, 84, 87, 89, 91, 96}
1≦ x≦ 100で、 x 2 -79x+1601が素数とならない xを求める。
In[4]:= Cases[Table[i,{i,1,100}], x_/; !PrimeQ[x^2-79*x+1601]]
Out[4]= {80, 81, 84, 89, 96}
In[5]:= Quit
%
- 24 -
Mathematica 入門
［例５．２］ピタゴラス数
a,b,cを正整数とする。 a,b,cが、 a 2 +b 2 =c 2 (a≦ b≦ c)を満たすとき、ピタゴラス
数という。正整数 nが与えられたとき、 c 2 ≦ nを満たすピタゴラス数を求めよ。
●方法１
% math
n=900の場合。
３つ組 (a,b,c)の集合 L1を求める。ただし、 1≦ a≦ 30,1≦ b≦ 30,1≦ c≦ 30。
In[1]:= L1=Flatten[Table[{i,j,k},{i,1,30},{j,1,30},{k,1,30}],2];
集合 L1の中で、条件： a 2 +b 2 =c 2 を満たす３つ組を求める。
In[2]:= Cases[L1, x_/; x[[1]]^2+x[[2]]^2==x[[3]]^2]
Out[2]= {{3, 4, 5}, {4, 3, 5}, {5, 12, 13}, {6, 8, 10}, {7, 24, 25},
>
{8, 6, 10}, {8, 15, 17}, {9, 12, 15}, {10, 24, 26}, {12, 5, 13},
>
{12, 9, 15}, {12, 16, 20}, {15, 8, 17}, {15, 20, 25}, {16, 12, 20},
>
{18, 24, 30}, {20, 15, 25}, {20, 21, 29}, {21, 20, 29}, {24, 7, 25},
>
{24, 10, 26}, {24, 18, 30}}
集合 L1の中で、条件： a 2 +b 2 =c 2 を満たす３つ組の集合 L2を求める。
In[3]:= L2= Cases[L1, x_/; x[[1]]^2+x[[2]]^2==x[[3]]^2];
集合 L2の中で、条件： (a≦ b≦ c)を満たす３つ組の集合を求める。
In[4]:= Cases[L2, x_/; (x[[1]]<=x[[2]])&&(x[[2]]<=x[[3]])]
Out[4]= {{3, 4, 5}, {5, 12, 13}, {6, 8, 10}, {7, 24, 25}, {8, 15, 17},
>
{9, 12, 15}, {10, 24, 26}, {12, 16, 20}, {15, 20, 25}, {18, 24, 30},
>
{20, 21, 29}}
In[5]:= Quit
- 25 -
Mathematica 入門
●方法２
(* pita1.m *)
pita1[n_] := (
count = 0;
For[c=1, c*c<=n, c++, {
For[a=1, 2*a*a<=c*c, a++ {
For[b=a, b<=c, b++, {
If[a^2+b^2==c^2,{ count++; }]
}];
}];
}];
Print["n=",n," count=",count];
)
実行結果
% math
In[1]:= Get["pita1.m] "]
In[2]:= pita1[100]
n=100 count=2
In[3]:= pita1[1000]
n=1000 count=11
In[4]:= pita1[10000]
n=10000 count=52
In[5]:= Timing[pita1[10000]]
n=10000 count=52
Out[5]= {15.9327 Second, Null}
In[6]:= Quit
- 26 -
Mathematica 入門
［例５．３］リスト処理
与えられたリストを反転する関数を定義せよ。
{a, b, c, d} ---> {d, c, b, a}
●方法１
(* list11.m *)
f[L_] := (
If[ L == {},
{},
Join[f[Rest[L]],Take[L,1]]
]
)
実行結果
% math
In[1]:= Get["list11.m"]
In[2]:= f[{a}]
Out[2]= {a}
In[3]:= f[{a,b}]
Out[3]= {b, a}
In[4]:= f[{a,b,c}]
Out[4]= {c, b, a}
In[5]:= f[{a,b,c,d}]
Out[5]= {d, c, b, a}
In[6]:= Quit
- 27 -
Mathematica 入門
●方法２
(* list12.m *)
g[L_] := Module[{W},
If[ L == {},
{},
{ W = {};
For[i=1, i<=Length[L], i++, {
W = Insert[W,Part[L,i],1];
}];
}
];
Return[W];
]
実行結果
% math
In[1]:= Get["list12.m"]
In[2]:= g[{a}]
Out[2]= {a}
In[3]:= g[{a,b}]
Out[3]= {b, a}
In[4]:= g[{a,b,c}]
Out[4]= {c, b, a}
In[5]:= Quit
- 28 -
Mathematica 入門
６．グラフィックス
６．１
関数のグラフ
Plot[f[x],{x,a,b}]
Plot[{f[x],g[x]},{x,a,b}]
F=Plot[f[x],{x,a,b}];
Show[F]
ParametricPlot[{x[t],y[t]},
{t,t0,t1}]
関数 f[x]を区間 a≦ x≦ bで描く。
関数 f[x],g[x]を区間 a≦ x≦ bで描く。
区間 a≦ x≦ bの関数 f[x]を Fに保存。
Fを表示。
パラメータ表示。 t0≦ t≦ t1。
（注意）グラフを新たなウィンドウ内に表示するには、 mathematicaが Motif
graphicsとして起動されている必要がある。
hcsをリモートホストとして使うときは、
hcs% setenv DISPLAY ローカルホスト :0
を実行しておくこと。
% math
Mathematica 3.0 for Digital Unix
Copyright 1988-97 Wolfram Research, Inc.
License valid through 24 May 2003.
-- Motif graphics initialized --
６．２
データのグラフ
ListPlot[リスト ]
ListPlot[リスト ,
PlotJoined->True]
６．３
リストをプロットする。
リストをプロットし折れ線で結ぶ。
データファイルの読込み
ReadList["ファイル名 ",
ファイルからデータを読込み、リスト
Number]
に変換する。
ReadList["ファイル名 ",
ファイルからデータを読込み、行ごと
Number,
にリストに変換する。
RecordLists->True]
- 29 -
Mathematica 入門
［例６．１］グラフィックスの例
% math
Mathematica 3.0 for Digital Unix
Copyright 1988-97 Wolfram Research, Inc.
License valid through 24 May 2003.
-- Motif graphics initialized -sin関数のプロット
In[1]:= Plot[Sin[x],{x,0,2Pi}]
Out[1]= -Graphics円のプロット（パラメトリック）
In[2]:= ParametricPlot[{Cos[x],Sin[x]},{x,0,2Pi}]
Out[2]= -GraphicsIn[3]:= ListPlot[{1.0,1.2,1.6,2.2,3.0,4.0,5.2,6.6}]
Out[3]= -GraphicsIn[4]:= ListPlot[{1.0,1.2,1.6,2.2,3.0,4.0,5.2,6.6},PlotJoined->True]
Out[4]= -GraphicsIn[5]:= !!data
1.0 1.2
1.6 2.2
3.0 4.0
5.2 6.6
ファイルから読込み
In[5]:= ReadList["data",Number]
Out[5]= {1., 1.2, 1.6, 2.2, 3., 4., 5.2, 6.6}
In[6]:= ReadList["data",Number,RecordLists->True]
Out[6]= {{1., 1.2}, {1.6, 2.2}, {3., 4.}, {5.2, 6.6}}
In[7]:= Quit
- 30 -
Mathematica 入門
７．課題
７．１
課題１
フィボナッチ数について考察する。
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n≧ 2)
f(0) = 1, f(1) = 1
a = (1 + sqrt(5))/2, b = (1 - sqrt(5))/2 とする。
f(0) = 1, f(1) = 1 の場合の一般項
f(n) = (a^(n+1) - b^(n+1))/sqrt(5)
（１） f(0) = 1, f(1) = b の場合の一般項
f(n) = b^n
（１）の場合、 bの有効桁数を６桁程度とすると、数値計算の結果と理論結果とが
異なることを説明せよ。
=====厳密解 =====
=====数値解 =====
f(10)=0.0081306187557833487477241098899
f(10)=0.00813062
f(20)=0.000066106961351895970065516458134
f(20)=0.000066107
-7
-7
f(30)=5.3749049985557033441446053199 10
f(30)=5.37445 10
-9
-9
f(40)=4.3701303391810674621873016337 10
f(40)=-1.18878 10
-11
-7
f(50)=3.5531863700963434577568956788 10
f(50)=-6.83665 10
-13
f(60)=2.88896037434990853680051125445 10
f(60)=-0.0000840896
-15
f(70)=2.34890354044042507733164210695 10
f(70)=-0.0103423
-17
f(80)=1.90980391814308317408537097662 10
f(80)=-1.27202
-19
f(90)=1.55278875567226793364194299097 10
f(90)=-156.449
-21
f(100)=1.26251333806384294218902270604 10
f(100)=-19241.9
- 31 -
Mathematica 入門
(* m111.m *)
f[n_] := (
Print["=====厳密解 ====="];
f0=1;
f1=(1-Sqrt[5])/2;
For[i=2,i<=n,i++,{
f2=f1+f0;
If[Mod[i,10]==0, Print["f(",i,")=",N[f2,30]]];
f0 = f1; f1 = f2;
}];
Print["=====数値解 ====="];
f0=1;
f1=(1-Sqrt[5])/2;
f1 = N[f1];
For[i=2,i<=n,i++,{
f2=f1+f0;
If[Mod[i,10]==0, Print["f(",i,")=",f2]];
f0 = f1; f1 = f2;
}];
)
- 32 -
Mathematica 入門
●誤差発生検証
ファイル（ m112.m）
n:=100;
b1:=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^15;
Print["b1=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^15"];
h0:=1;
h1:=b1;
Do[h2=h1+h0;h0=h1; h1=h2,{i,2,n}]
Print["h(",n,")=",h2]
Print[" "]
b2:=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^16;
Print["b2=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^16"];
h0:=1;
h1:=b2;
Do[h2=h1+h0;h0=h1; h1=h2,{i,2,n}]
Print["h(",n,")=",h2]
Print[" "]
b3:=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^17;
Print["b3=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^17"];
h0:=1;
h1:=b3;
Do[h2=h1+h0;h0=h1; h1=h2,{i,2,n}]
Print["h(",n,")=",h2]
Print[" "]
b4:=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^18;
Print["b4=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^18"];
h0:=1;
h1:=b4;
Do[h2=h1+h0;h0=h1; h1=h2,{i,2,n}]
Print["h(",n,")=",h2]
Print[" "]
b5:=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^19;
Print["b5=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^19"];
h0:=1;
h1:=b5;
Do[h2=h1+h0;h0=h1; h1=h2,{i,2,n}]
Print["h(",n,")=",h2]
Print[" "]
- 33 -
Mathematica 入門
% math
In[1]:= Get["m112.m"]
b1=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^15
h(100)=-373184.
b2=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^16
h(100)=-58568.8
b3=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^17
h(100)=-19241.9
b4=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^18
h(100)=-19241.9
b5=(1-Sqrt[5])/2 - 0.1^19
h(100)=-19241.9
In[2]:= Quit
- 34 -
Mathematica 入門
７．２
課題２
ピタゴラス数： a 2 +b 2 =c 2 (a≦ b≦ c)
ｎ
10 2
10 3
10 4
10 5
10 6
で、 c 2 ≦ nを満たす個数を効率よく求めよ。
個数
2
11
52
220
881
(* pita2.m *)
pita2[n_] := (
c = 1;
count = 0;
For[c=1, c*c<=n, c++, {
a = 1;
b = c;
While[ a<=b, {
w = a*a + b*b - c*c;
If[ w>0, b-- ];
If[ w == 0, count++ ];
a++;
}];
}];
Print["n=",n," count=",count];
)
% math
In[1]:= Get["pita2.m"]
In[2]:= pita2[10000]
n=10000 count=52
In[3]:= pita2[100000]
n=100000 count=220
In[4]:= pita2[1000000]
n=1000000 count=881
In[5]:= Timing[pita2[10000]]
n=10000 count=52
Out[5]= {0.366652 Second, Null}
In[6]:= Quit
- 35 -
Mathematica 入門
７．３
課題３
（１） m,nが与えられたとき、 1/a+1/b=m/n (a≦ b)を満たす a,bの組を
すべて求めよ。
実行結果
1/3 + 1/6
1/4 + 1/4
m=1
n=2
c=2
(* << egypt21.m >> *)
(* 1/a + 1/b = m/n *)
m = 1; n = 2;
count = 0;
a = Floor[n/m] + 1; a1 = Floor[2*n/m];
While[ a <= a1, {
m1 = m*a-n; n1 = a*n;
If[ Mod[n1,m1] == 0, {
count++;
Print["1/",a," + 1/",n1/m1];
}];
a++;
}];
Print["m=",m," n=",n," c=",count];
- 36 -
Mathematica 入門
（２） 2≦ n≦ 8,1≦ m≦ n-1の組 (m,n)について、 1/a+1/b=m/n (a≦ b)を満たす a,bの
個数を求めよ。
実行結果
m=1
m=1
m=2
m=1
m=2
m=3
m=1
m=2
m=3
m=4
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
n=2
n=3
n=3
n=4
n=4
n=4
n=5
n=5
n=5
n=5
n=6
n=6
n=6
n=6
n=6
count=2
count=2
count=2
count=3
count=2
count=1
count=2
count=2
count=1
count=0
count=5
count=2
count=2
count=2
count=1
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
m=6
m=1
m=2
m=3
m=4
m=5
m=6
m=7
n=7
n=7
n=7
n=7
n=7
n=7
n=8
n=8
n=8
n=8
n=8
n=8
n=8
count=2
count=2
count=0
count=1
count=0
count=0
count=4
count=3
count=2
count=2
count=1
count=1
count=0
(* << egypt22.m >> *)
(* 1/a + 1/b = m/n *)
n= 2; nmax = 8;
While[ n <= nmax, {
m = 1;
While[ m < n, {
count = 0;
a = Floor[n/m] + 1; a1 = Floor[2*n/m];
While[ a <= a1, {
m1 = m*a-n; n1 = a*n;
If[ Mod[n1,m1] == 0, { count++; }];
a++;
}];
Print["m=",m," n=",n," count=",count];
m++;
}];
n++;
}];
- 37 -
Mathematica 入門
（３） 2≦ n≦ 20,1≦ m≦ n-1の分数 m/nについて、３個以下の単位分数で表せない
ものを求めよ。
実行結果
8/11,9/11,10/11,
12/13,
13/14,
15/16,
8/17,14/17,15/17,16/17,
9/19,14/19,15/19,17/19,18/19
（４） 2≦ n≦ 30,1≦ m≦ n-1の分数 m/nについて、４個以下の単位分数で表せない
ものを求めよ。
実行結果
16/17,
21/23,22/23,
27/29,28/29
（５） 2≦ n≦ 100,1≦ m≦ n-1の分数 m/nについて、５個以下の単位分数で表せない
ものを求めよ。
実行結果
77/79
- 38 -
Mathematica 入門
７．４
課題４
次の曲線を表示せよ。
（１）アステロイド
定義
x = a*cos(t)**3, y = a*sin(t)**3
（２）リサージュ図形
定義
x = cos(a*t), y = sin(b*t)
（３）平面曲線１
定義
x = (a-b)*cos(t) + b*cos((a-b)*t/b)
y = (a-b)*sin(t) + b*sin((a-b)*t/b)
（４）平面曲線２
定義
x = (a+b)*cos(t) - b*cos((a+b)*t/b)
y = (a+b)*sin(t) - b*sin((a+b)*t/b)
（５）平面曲線３
定義
r = a*sin(t/n) n:正整数
x = a*sin(t/n)*cos(t)
y = a*sin(t/n)*sin(t)
（６）円の伸開線
定義
x = a*cos(t) + a*t*sin(t)
y = a*sin(t) - a*t*cos(t)
円の伸開線は、円柱に巻いた糸をたるませないでほどいて
いくとき糸の先端が描く曲線。
（７）正葉形
定義
r = a*sin(n*t)
nが偶数のとき 2n個の葉を持ち、 nが奇数のとき n個の葉を持つ
x = r*cos(t) = a*sin(n*t)*cos(t)
y = r*sin(t) = a*sin(n*t)*sin(t)
（８）リマソンのか牛線
定義
r = a*cos(t) + b
x = (a*cos(t)+b)*cos(t)
y = (a*cos(t)+b)*sin(t)
- 39 -
Mathematica 入門
（９）コンコイド
定義
r = a/cos(t) + b
x = (a/cos(t)+b)*cos(t)
y = (a/cos(t)+b)*sin(t)
（１０）対数らせん
定義
r = a**t (a>1)
x = (a**t)*cos(t)
y = (a**t)*sin(t)
（１１）アルキメデスのらせん
定義
r = a*t (a>0)
x = a*t*cos(t)
y = a*t*sin(t)
（１２）双曲らせん
定義
r*t = a (a>0)
x = (a/t)*cos(t)
y = (a/t)*sin(t)
（１３）リチュウス
定義
(r**2)*t = a (a>0)
x = sqrt(a/t)*cos(t)
y = sqrt(a/t)*sin(t)
（１４）デカルトの葉形
定義
x = 3*a*t/(1+t**3)
y = 3*a*t**2/(1+t**3)
(a>0)
（１５）サイクロイド
定義
x = a*(t-sin(t))
y = a*(1-cos(t))
x軸上を転がる半径 aの円周上に固定された点の描く曲線。
（１６）簡単なフーリエ級数
定義
y = (2/pi)(sin(x)+sin(3*x)/3+sin(5*x)/5+・・・ )
- 40 -

Download Report