べき乗関数の微分の公式
(x®)0 = ®x®¡1
(x > 0)
を ® が有理数の場合に証明します. 微分の定義だけを使います. 逆関数・合
成関数の微分法の公式や対数微分法などは使いません.
そもそも関数 f(x) の導関数 f 0 (x) の定義は
f(x + h) ¡ f(x)
f (y) ¡ f(x)
= lim
y!x
h!0
h
y¡x
f 0 (x) = lim
したがって ® =
1
p
(p; q は自然数) の場合
q
¡
1
x
p
q
¢0
p
p
y q ¡ xq
= lim
y!x y ¡ x
そこで x q = s; y q = t とおくと等比数列の和の公式より
¡
¢0
tp ¡ sp
(t ¡ s)(tp¡1 + tp¡2 s + ¢ ¢ ¢ + tsp¡2 + sp¡1 )
=
lim
t!s tq ¡ sq
t!s (t ¡ s)(tq¡1 + tq¡2 s + ¢ ¢ ¢ + tsq¡2 + sq¡1 )
tp¡1 + tp¡2 s + ¢ ¢ ¢ + tsp¡2 + sp¡1
psp¡1
p
p p
= lim q¡1
=
= sp¡q = x q ¡1
q¡2
q¡2
q¡1
q¡1
t!s t
+ t s + ¢ ¢ ¢ + ts + s
qs
q
q
p
xq
= lim
今度は ® = ¡
p
(p; q は自然数) の場合, 上の結果を用いて
q
¡
¢
¡ pq 0
t¡p ¡ s¡p
x
= lim q
t!s t ¡ sq
1 sp ¡ tp
1
sp ¡ tp
= lim p p q
=
lim
¢
lim
t!s s t t ¡ sq
t!s sp tp t!s tq ¡ sq
| {z }
1 ³ p p ´
p p
= 2p ¡ x q ¡1 = ¡ x¡ q ¡1
q
q
xq
計算済み
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