download

Mata kuliah : S0872 – Riset Operasi
Tahun
: 2010
METODE SIMPLEKS
Pertemuan 2
MATERI
– Bentuk Standard PL
– Ruang Solusi Bentuk Standard
– Perhitungan Algoritma Simpleks
– Penerapan Dalam Teknik Sipil
Bina Nusantara University
3
BENTUK STANDARD PL
Bentuk standard Pemrograman Linier (PL):
•
Semua constraint berbentuk persamaan dengan ruas kanan non-negative
•
Semua variabel non-negative
•
Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi maupun minimasi
Contoh:
Pada constraint
X+2Y≤6
Dapat ditambahkan slack s1
untuk mendapatkan persamaan
X + 2 Y + s1 = 6 ; s1≥ 0
Pada constraint
3X+2Y–3Z≥5
Dapat ditambahkan surplus s2
untuk mendapatkan persamaan
3 X + 2 Y – 3 Z – s2 = 5 ; s2≥ 0
Bina Nusantara University
4
RUANG SOLUSI BENTUK STANDARD
Y
2X
+Y
• Untuk menunjukkan ide diatas dalam kaitan dengan metoda
simpleks, maka ruang solusi dan titik sudut dinyatakan dalam
bentuk aljabar sebagai berikut:
Y
X+
2Y
3)
1)
–
X
=
1
=8
• Ide metoda simpleks dibangun berdasar keadaan diatas
dengan melakukan proses iterasi dimulai dari titik sudut yang
layak, biasanya dari titik asal A, dan secara sistematis
berpindah ke titik lain hingga diperoleh titik optimum C
2)
• Dalam solusi grafis terdahulu teramati bahwa solusi optimum
selalu merupakan titik sudut atau titik ekstrem ruang solusi
=6
4) Y = 2
Z
=3
Constraint dari
standard
Titik sudut
Solusi dasar dari
standard
Bina Nusantara University
Y
Ruang solusi
+2
Definisi Aljabar
Simpleks)
A
D
C
X
F
Definisi Geometrik
Grafis)
E
B
X
5
PERHITUNGAN ALGORITMA SIMPLEKS
• Metoda simpleks digunakan bila persoalan memiliki 2 atau lebih dimensi
sehingga tidak bisa diselesaikan secara grafis.
• Penyelesaian menggunakan bentuk tabel-tabel, sehingga disebut metoda
simpleks.
Algoritma simpleks dilakukan dengan langkah dasar berikut:
•
Langkah 0: Dari bentuk standard, tentukan awal solusi kelayakan dasar dengan menyusun n – m
variabel nonbasic yang sesuai untuk tingkat nol.
•
Langkah 1: Pilih titik masuk diantara variabel tersebut. Bila meningkat diatas nol berarti dapat
memperbaiki nilai tujuan fungsi. Bila tidak ada, maka nilai yang tersedia merupakan solusi dasar optimal.
Bila tidak, lanjutkan ke langkah 2.
•
Langkah 2: Pilih variable keluar diantara variabel dasar yang nilainya harus nol (menjadi nonbasic)
ketika variabel masuk menjadi basic.
•
Langkah 3: Tentukan solusi dasar yang baru dengan membuat variabel masuk menjadi basic dan
variabel keluar menjadi non basic.
Bina Nusantara University
6
PERHITUNGAN ALGORITMA SIMPLEKS
Metoda simpleks digunakan bila persoalan memiliki 2 atau lebih dimensi
sehingga tidak bisa diselesaikan secara grafis.
Penyelesaian menggunakan bentuk tabel-tabel, sehingga disebut metoda
simpleks.
Algoritma simpleks dilakukan dengan langkah dasar berikut:
•
Langkah 0: Dari bentuk standard, tentukan awal solusi kelayakan dasar dengan menyusun n – m
variabel nonbasic yang sesuai untuk tingkat nol.
• Langkah 1: Pilih titik masuk diantara variabel tersebut. Bila meningkat diatas nol berarti dapat
memperbaiki nilai tujuan fungsi. Bila tidak ada, maka nilai yang tersedia merupakan solusi dasar
optimal. Bila tidak, lanjutkan ke langkah 2.
• Langkah 2: Pilih variable keluar diantara variabel dasar yang nilainya harus nol (menjadi nonbasic)
ketika variabel masuk menjadi basic.
• Langkah 3: Tentukan solusi dasar yang baru dengan membuat variabel masuk menjadi basic dan
variabel keluar menjadi non basic.
Bina Nusantara University
7
PERHITUNGAN ALGORITMA SIMPLEKS
Langkah praktis Algoritma simpleks:
1. Modelisasi masalah
2. Merubah fungsi tujuan dan fungsi batasan
3. Menyusun persamaan dalam tabel
4. Memilih kolom kunci
5. Memilih baris kunci
6. Mengubah nilai-nilai baris kunci
7. Mengubah nilai-nilai baris yang lain
8. Mengulang langkah diatas sampai tidak ada nilai negatif pada baris fungsi
tujuan (untuk masalah maksimasi)
Bina Nusantara University
8
PERHITUNGAN ALGORITMA SIMPLEKS
Dari pembahasan bentuk standard sebelumnya, yaitu:
Constraint:
1) A 
X+2Y≤6
2) B 
2 X + Y ≤8
3)
Y–X ≤1
4)
Y ≤2
5) Y ≥ 0, X ≥ 0
Modelisasi
Fungsi: Z = 3 X + 2 Y
Tujuan: Maksimasi Z
Langkah 0:
z
-3 x
-2y
x
+2y
2x
+y
-x
+y
y
Bina Nusantara University
=
+ s1
+ s2
+ s3
+ s4
Fungsi tujuan
=
0
6
=
8
Persamaan constraint
=
1
=
2
9
PERHITUNGAN ALGORITMA SIMPLEKS
Basic
Z
X
Y
s1
s2
s3
s4
Solusi
Z
1
-3
-2
0
0
0
0
0
Persamaan Z
s1
0
1
2
1
0
0
0
6
Persamaan s1
s2
0
2
1
0
1
0
0
8
Persamaan s2
s3
0
1
1
0
0
1
0
1
Persamaan s3
s4
0
0
1
0
0
0
1
2
Persamaan s4
Langkah 0:
Info diatas disusun dalam tabel berikut
Kolom masuk
Langkah 1:
Pilih titik masuk, dalam contoh kolom
hijau
Poros persamaan
Bina Nusantara University
Basic
Z
X
Y
s1
s2
s3
s4
Solusi
Rasio
Z
1
-3
-2
0
0
0
0
0
s1
0
1
2
1
0
0
0
6
6/1=6
s2
0
2
1
0
1
0
0
8
8/2=4
s3
0
1
1
0
0
1
0
1
-
s4
0
0
1
0
0
0
1
2
-
10
PERHITUNGAN ALGORITMA SIMPLEKS
Basic
Z
X
Y
s1
s2
s3
s4
Solusi
Rasio
0
1
1/2
0
1/2
0
0
8
8/2=4
Basic
Z
X
Y
s1
s2
s3
s4
Solusi
Z
1
0
-1/2
0
3/2
0
0
12
s1
0
0
3/2
1
-1/2
0
0
2
2/3/2=4/3
Y
0
1
1/2
0
1/2
0
0
4
4/1/2=8
s3
0
0
3/2
0
1/2
1
0
5
5/3/2=10/3
s4
0
0
1
0
0
0
1
2
2/1=2
Z
Langkah 2
s1
s2
s3
s4
Bina Nusantara University
Rasio
11
PERHITUNGAN ALGORITMA SIMPLEKS
Langkah 3
Bina Nusantara University
Basic
Z
X
Y
s1
s2
s3
s4
Solusi
Z
1
0
0
1/3
4/3
0
0
12 2/3
X
0
0
1
2/3
-1/3
0
0
4/3
Y
0
1
0
-1/3
2/3
0
0
10/3
s3
0
0
0
-1
1
1
0
3
s4
0
0
0
-2/3
1/3
0
1
2/3
12
PENERAPAN DALAM TEKNIK SIPIL
– Analisis ketersediaan sumber daya
– Analisis optimasi
– Dsb.
Bina Nusantara University
13
SOAL LATIHAN
Selesaikan fungsi tujuan berikut ini dengan metoda simpleks:
Minimasi
Z = 5 X1 – 4 X2 + 6 X3 + + 8 X4
Dengan fungsi batasan
X1 + 7 X2 + 3 X3 + 7 X4 ≤ 46
3 X1 - X2 + X3 + 2 X4 ≤ 8
2 X1 + 3 X2 - X3 + X4 ≤ 10
Bina Nusantara University
14

Download Report