download

Mata kuliah : S0872 – Riset Operasi
Tahun
: 2010
MODEL RANTAI MARKOV
Pertemuan 11
MATERI
– Lingkup Problema Keputusan Markovian
– Model Pemrograman Finite Stage Dynamic
– Penerapan Dalam Teknik Sipil
Bina Nusantara University
3
LINGKUP KEPUTUSAN MARKOVIAN
• Keputusan Markovian merupakan penerapan programasi dinamis untuk
menyelesaikan proses keputusan stochastic yang dinyatakan dengan sejumlah
keadaan.
• Rantai Markov menyatakan transisi antara keadaan-keadaan. Rantai Markov
dinyatakan sebagai atau dalam matriks transisi.
• Pendapatan (hasil) dinyatakan dalam matriks dengan elemen berupa hasil (revenue)
atau biaya (cost) dari perpindahan antar keadaan.
• Matriks transisi dan matriks hasil tergantung pada alternatif yang dipunyai oleh
pengambil keputusan.
• Tujuan model adalah untuk menentukan kebijakan optimal dengan hasil maksimal.
• Penggunaan antara lain dalam inventori, kebijakan penggantian peralatan,
pengelolaan cash flow, pengaturan kapasitas bendungan dan sebagainya.
Bina Nusantara University
4
MODEL FINITE STAGE DYNAMIC
Tinjau Contoh Keadaan Tanah Perkebunan dan Produktifitasnya berikut ini.
Apabila notasi keadaan sistem dari produksi
keadaan tanah adalah sebagai berikut:
Matriks transisi kemungkinan tanpa pupuk P1 dan dengan pemupukan
tanpa pupuk
Produksi Sesuai
Keadaan Tanah
Keadaan
Sistem
Bagus
1
Sedang
2
Jelek
3
Dan k adalah alternatif keputusan pengolahan
k = 1 tanpa pemupukan, dan
k = 2 dengan pemupukan
Maka keputusan optimal apa yang harus
diambil agar diperoleh hasil maksimal dalam
tahun-tahun mendatang. (misalnya diambil 3
tahun)
Bina Nusantara University
P1 =
dengan pupuk
1
2
3
1
0.2
0.5
0.3
2
0
0.5
0.5
3
0
0
1
Dan matriks hasilnya adalah:
tanpa pupuk
R1 =
1
2
3
1
7
6
3
2
0
5
1
3
0
0
-1
P2 =
1
2
3
1
0.3
0.6
0.1
2
0.1
0.6
0.3
3
0.05
0.4
0.55
1
2
3
1
6
5
-1
2
7
4
0
3
6
3
-2
dengan pupuk
R2 =
5
MODEL FINITE STAGE DYNAMIC
Untuk analisis selanjutnya digunakan beberapa notasi lain, yaitu:
N adalah tahapan tahun mendatang yang ditinjau, bila tertentu disebut finite stage, seterusnya disebut infinite stage
m adalah jumlah keadaan masing-masing tahap (dalam kasus ini ada 3: baik, sedang, jelek)
n adalah tahapan
i merupakan keadaan sistem pada tahap awal atau tahap n
j menyatakan keadaan sistem pada tahap n+1
Maka fn(i)= hasil optimal pada tahap n, n+1, …, N dimana keadaan sistem pada tahun awal adalah i.
Persamaan rekursif kebelakang antara fn dan fn+1 dimana fN+1 (j) ≡ 0 untuk semua j menjadi:

Artinya:

m k k

f n (i)  max  p r ij  f ( j ) , n  1,2,..., N
ij
n 1
k
 j 1

k
hasil kumulatif rij + fn+1(j) ketika mencapai keadaan j pada tahap n+1 dari keadaan i pada tahap n
Selanjutnya bila νik menyatakan hasil transisi tunggal dari keadaan i pada alternatif k maka:
Dan persamaan programasi dinamis rekursif dapat ditulis menjadi:
f
f
Bina Nusantara University
m
k
j 1
ij
 ik   p
r
k
ij
 
(i )  max  i
k
N
k
 k m k
(i )  max  i   p
n
ij
k
j 1

f
n 1

( j ), n  1,2,..., N  1

6
MODEL FINITE STAGE DYNAMIC
Untuk tahap 3 (tahun ke 3)
νik
i
Solusi Optimal
k=1
k=2
f3(i)
k*
5.1
4.7
5.3
1
2
3
3.1
3.1
2
3
-1
0.4
0.4
2
1
Untuk tahap2 (tahun ke 2)
νik + pi1k f3(1) + pi2k f3(2) + pi3k f3(3)
i
k=1
Solusi Optimal
k=2
f3(i)
k*
1
5.3+0.2*5.3+0.5*3.1+0.3*0.4=8.03
4.7+0.3*5.3+0.6*3.1+0.1*0.4=8.19
8.19
2
2
3+0*5.3+0.5*3.1+0.5*0.4=4.75
3.1+0.1*5.3+0.6*3+0.3*0.4=5.61
5.61
2
3
-1+0*5.3+0*3.1+1*0.4= - 0.6
0.4+0.5*5.3+0.4*3.1+0.55*0.4=2.13
2.13
2
Untuk tahap 1 (tahun ke 1)
νik + pi1k f2(1) + pi2k f2(2) + pi3k f2(3)
i
Bina Nusantara University
Solusi Optimal
k=1
k=2
f3(i)
k*
1
5.3+0.2*8.19+0.5*5.61+0.3*2.13=10.83
4.7+0.3*8.19+0.6*5.61+0.1*2.13=10.74
10.74
2
2
3+0*8.19+0.5*5.61+0.5*2.13 = 6.87
3.1+0.1*8.19+0.6*5.61+0.3*2.13 = 7.92
7.92
2
3
-1+0*8.19+0*5.61+1*2.13 = 1.13
0.4+0.5*8.19+0.4*5.61+0.55*2.13=4.23
4.23
2
7
MODEL FINITE STAGE DYNAMIC
Dari hasil analisis diatas dapat diambil kesimpulan bahwa optimal solution:
– Harus pakai pupuk pada tahun ke 1 dan 2 (k* = 2)
– Pada tahun ke 3 pakai pupuk hanya untuk keadaan 2 atau 3 saja (sedang dan jelek)
Hasil maksimal untuk 3 tahun:
• f1 (1) = 10.74 – bila sistem bagus
• f1 (3) = 7.92
– bila sistem sedang, dan
• f1 (3) = 4.23
– bila sistem jelek
Bina Nusantara University
8
PENERAPAN DALAM TEKNIK SIPIL
– Pengelolaan bendungan
– Proses produksi
– Penggantian peralatan
– Dsb.
Bina Nusantara University
9
SOAL LATIHAN
Tentukan solusi optimum pada pembahasan diatas bila ditentukan:
1.
N=4
2.
N=5
3.
N=6
Bina Nusantara University
10

Download Report