Matakuliah : Sistem Pengaturan Dasar Tahun : 2010 Karakteristik Sistem Pengaturan Pertemuan 6 Learning Outcomes Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa akan mampu : • menjelaskan arti fisis dan karakteristiknya dari sistem orde 1, orde 2 maupun sistem orde tinggi Outline Materi • • • • • Pemahaman sistem orde 1, 2 dan orde tinggi time constant persamaan karakteristik, akar karakteristik, frekuensi alamiah (natural) , damping ratio. Pemahaman stabil (overdamped, critically damped, underdamped) dan tidak stabil. Analogi elemen sistem mekanik dan elektrik • Bentuk Standar Sistem Orde 2 2 C(s) n Gs R(s) S 2 2 S 2 n n • Sifat dinamik dari sistem orde 2 dapat diuraikan menggunakan 2 parameter dan n. • 0 < < 1 : kutub-kutub ( poles ) merupakan akar kompleks conjugate dan terletak di sebelah kiri sumbu imajiner. Respons transient berosilasi pada keadaan yang disebut dengan kurang diredam ( underdamped ). Respons dari sistem untuk input berbentuk fungsi step : 2 1 c (t ) 1 sin d .t tan 1 1 2 e n t Frekuensi osilasi d dan berubah dengan perubahan . Jika = 0 respons sistem : c(t) = 1 – cos nt sistem akan terus berosilasi dengan frekuensi n dan tidak akan teredam. • = 1 : kedua kutub riil negatip dan letaknya hampir sama. Sistem disebut teredam kritis ( critically damped ). Untuk unit step input, maka output menjadi : Respons sistem : n2 C( s ) (s n )2 s c (t ) 1 e n t (1 n .t) • > 1 : Kedua kutub riil negatip dan letaknya tidak sama. Sistem disebut teredam lebih ( overdamped ). Untuk unit step input, C(s) dapat ditulis : C(s) n2 ( s n n 2 1 ) ( s n n 2 1 ) s Respons sistem dalam wawasan waktu(time domain : s1t s2 t n e e c (t ) 1 s s 2 2 1 1 2 s1 = [ + ( 2 – 1)0.5 ] n s2 = [ - ( 2 – 1)0.5 ] n Respons mengandung 2 faktor yang menurun secara eksponensial. • Respons sistem orde 2 terhadap unit step input. 1.6 underdamped 1.4 1.2 1 0.8 0.6 critically damped overdamped 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 • Hubungan antara letak akar-akar dengan time respons. 1. Keadaan under damped :0 < < 1 x x 2. Keadaan critically damped : = 1 x 3. Keadaan overdamped : > 1 xx x 4. Keadaan undamped : = 0 Sistem berosilasi dengan amplitude konstan x x 5. Keadaan tidak stabil x • Definisi dari spesifikasi respons transient. • Delay time td : Waktu yang diperlukan oleh respons untuk mencapai setengah dari nilai akhir untuk pertama kali. • Rise time tr : Waktu yang diperlukan oleh respons untuk naik dari 10%-90%, 5%-95%, atau 0%-100% dari nilai akhir. Untuk underdamped sistem biasanya digunakan 0%-100%. • Peak time t p : Waktu yang diperlukan untuk mencapai puncak pertama dari overshoot. • Maximum (percent) overshoot Mp : Nilai puncak maksimum diukur dari nilai respons sebesar 1. Jika nilai steady state akhir berbeda dari 1, maka digunakan rumus : Max % overshoot c ( t p ) c ( ) c ( ) x100 % • Settling time ts : Waktu yang diperlukan oleh respons untuk mencapai dan tinggal dalam range sekitar nilai akhir ( biasanya 2% atau 5% ). • Time constant T : Waktu yang diperlukan oleh respons untuk mencapai 63,2% dari nilai akhir. • Rumus berdasarkan definisi. • Rise time 1 1 d tr tan d d = tan-1( d/ ) • Peak time tp d • Settling time t s 4T t s 3T 4 3 4 n 3 n ( 2% ) ( 5% ) • Maximum percent overshoot. % Mp e 1 2 x 100 % Contoh : R(s) E(s) + - n2 s( s 2 n ) C(s) Pada sistem diatas = 0,6 dan n = 5 rad/det. Jika sistem diberi input R(s) berupa fungsi step, tentukan rise time, peak time, maksimum peak overshoot dan settling time. d n 1 2 4 Jawab : n 3 tan 1 • Rise time tr d 4 tan 1 0,93 rad 3 3,14 0,93 d 4 t r 0,55 det ik tp • Peak time 3,14 0,785 det ik d 4 Mp e • Max overshoot ts • Settling time ts 4 3 1 2 e 0, 6 1 0 , 6 2 4 1.33 det ik 3 3 1 det ik 3 0,095 2% 5% • sistem Pengaturan yang diberi input akan mempunyai kesalahan keadaan mantap (steady state error) sebagai respons terhadap tipe input tertentu. • Sebuah sistem dapat saja tidak mempunyai kesalahan keadaan mantap terhadap input unit step tetapi mempunyai kesalahan keadaan mantap terhadap ramp input. • Kesalahan mantap (Steady state error) C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H(s) R(s) E(s) + - G(s) C(s) H(s) E(s)G(s) G(s) R ( s) 1 G(s)H(s) E ( s) 1 R(s) 1 G(s)H(s) E(s) R ( s) 1 G(s)H(s) • Teori nilai akhir untuk menghitung Errorsteady state. s.R( s) s 0 1 G ( s ).H ( s ) ess lim e(t ) lim s.E ( s) lim t s 0 • Konstanta error posisi statik Kp – Input Fungsi Step e ss s 1 1 lim s0 1 G(s)H(s) s 1 G(0)H(0) K p lim G(s)H(s) G(0)H(0) s 0 e ss 1 1 K p – Sistem Tipe 0 K (Tas 1)(Tbs 1)............... K s 0 (T s 1)(T s 1).................. 1 2 K p lim – Sistem Tipe N 1 K (Tas 1)(Tbs 1)............ K p lim N s0 s (T s 1)(T s 1)........... 1 2 Konstanta error kecepatan statik Kv. Input Fungsi Ramp. ess s 1 1 lim lim s 0 1 G(s)H(s) s2 s 0 sG(s)H(s) K v lim sG(s)H(s) s 0 Sistem Tipe 0 Sistem Tipe 1 ess 1 Kv sK (Ta s 1)(T s 1) b Kv lim K s 0 s(T s 1)(T s 1) 1 2 u Sistem tipe 2 atau lebih sK(Tas 1)(T s 1) b K v lim N s 0 s (T s 1)(T s 1) 1 2 u Error steady state 1 Kv tipe 0 ess 1 1 Kv K tipe 1 ess 1 0 Kv tipe 2 atau lebih ess Konstanta error percepatan statik KA. Input r(t) fungsi parabolik 1 r t t 2 2 Rs 1 s3 1 1 ess lim 2 KA s 0 s Gs HS K A lim s 2Gs H s s0 Sistem Tipe 0 s2K(Tas 1)(T s 1) b K A lim 0 (T s 1)(T s 1) s0 1 2 Sistem Tipe 1 Sistem Tipe 2 s2K(Tas 1)(T s 1) b K A lim 0 s ( T s 1 )( T s 1 ) s0 1 2 1 ess K A s2K(Tas 1)(T s 1) b K A lim K 2 s 0 s (T s 1)(T s 1) 1 2 1 1 ess K K A Sistem Tipe 3 atau lebih s2K(Tas 1)(T s 1) b K A lim N s 0 s (T s 1)(T s 1) 1 2 1 ess 0 K A Sebagai ringkasan tentang kesalahan steady state untuk sistem tipe 0,tipe 1 dan tipe 2 dengan bbrp jenis input adalah sbb: Input Tipe Sistem Step r(t) = 1 Ramp r(t) = t Tipe 0 1/(1 + K) Tipe 1 0 1/K Tipe 2 0 0 Parabolik r(t)=1/ 2 t2 1/K
© Copyright 2024 Paperzz
