Matakuliah : K0094 – Analisis Real
Tahun
: 2008/2009
Limit
Pertemuan 07
Sasaran
Pengkajian mengenai Limit. Juga dikaji cotoh-contoh
dan latihan soal-soal yang berbobot dan menarik.
Bina Nusantara
Definisi
Diberikan himpunan D dari bilangan-bilangan real.
Bilangan x0 disebut titik limit dari D bila terdapat
barisan dari titik-titik dalam D\{x0} yang konvergen ke
x 0.
Bina Nusantara
Contoh
Untuk bilangan-bilangan a dan b dengan a < b, a dan
b keduanya adalah titik -titik limit dari interval terbuka
(a,b). Pandang barisan {a+ (b - a) / 2n} dalam (a, b),
setiap anggotanya berlainan dengan a, yang
konvergen ke a. Jadi a adalah titik limit dari (a, b).
Juga, setiap titik x0 dalam (a,b) adalah juga titik limit
dari (a, b), karena barisan {x0 + (b – x0) / 2n} adalah
barisan dalam (a, b), setiap anggotanya berlainan
dengan x0, yang konvergen ke x0.
Bina Nusantara
Definisi
Diberikan fungsi f: D  R dan x0 adalah titik limit dari
D. Yang dimaksud dengan
(x)  l
Lim
f

x
x0
adalah bila {xn} adalah barisan dalam D\{x0} yang
konvergen ke x0,
( xn )  l
Lim
f

n
Bina Nusantara
Proposisi
Misalkan bilangan x0 adalah titik limit dari himpunan
dari bilangan-bilangan D dan x0 dalam D. Maka
fungsi f: D  R kontinu di x0 bila dan hanya bila
( x )  f ( x0 )
Lim
f

x
Bina Nusantara
x0
Contoh
Karena telah diperlihatkan bahwa hasil bagi
polinomial-polinomial adalah kontinu pada titik yang
penyebutnya tidak nol, fungsi akar adalah kontinu,
dan komposisi dari fungsi-fungsi kontinu adalah
kontinu, maka
3x  3
3
Lim

3
x 2
x 4
2
Bina Nusantara
Contoh
x2  1
Lim
 2
x1
x 1
Ambil barisan {xn} yang konvergen ke 1 dengan Xn1
untuk semua n. Karena (xn2 – 1) / (xn – 1) = xn + 1
untuk semua n,
x n2  1
Lim
 Lim ( x n  1)  2
n x  1
n
n
Bina Nusantara
Definisi
Untuk fungsi f: D  R dan u  D dan x0 adalah titik
limit dari u, maka yang dimaksud dengan
Lim
x  x 0 , xu
f ( x)  l
adalah bila {xn} adalah barisan dalam u\{x0} yang
konvergen ke x0 maka {f(xn)} konvergen ke l.
Bina Nusantara
Proposisi
Bila titik x0 adalah titik limit dari himpunan {x dalam D:x>x 0} dan juga titik
limit dari himpunan
{x dalam D: x<x0}, maka
Lim f ( x )  l
x  x0
bila dan hanya bila
Lim
x  x0 , x  x0
Bina Nusantara
f ( x )  Lim
x  x0 , x  x0
f ( x)  l .
Contoh
|x|
Lim
 1 dan
x  0, x  0 x
|x|
Lim
 1 ,
x 0 ,x0 x
|x|
Lim
 tidak ada
x 0 ,x0 x
Bina Nusantara
.
tetapi
Teorema
Diberikan fungsi-fungsi f: D  R dan g: D  R dan x0 titik limit dari D.
Misalkan
Lim f ( x)  A dan Lim g ( x)  B .
x x
x x
0
0
Maka
Lim f ( x)  g ( x)   A  B ,
x  x0
Lim f ( x)  g ( x)   A  B ,
x  x0
Lim f ( x) g ( x)   AB .
x  x0
Bila B0 dan g(x) 0 untuk semua x dalam D, Lim
x  x0
Bina Nusantara
f ( x)
A

.
g ( x)
B

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download