I0064 – Pertemuan 15 Sebaran Poisson Poisson (1837) mengamati apa yang terjadi terhadap sebaran Binom jika ukuran contoh makin besar dan peluang sukses pada setiap ujicoba kecil . Hasilnya menuju ke sebaran yang menggunakan namanya. Kita memerlukan asumsi spesifik , dua diantaranya familiar yaitu 1. Uji coba yang dilakukan saling bebas 2. Peluangnya tetap dari satu percobaan kelainnya. 3. Peluang lebih dari satu sukses pada uji coba tertentu kecil 4. Jika n dan P 0 , nP = r r adalah parameter Sebaran Poisson Rumus Sebaran Poisson r y e r y = 0, 1, 2 , ………. PY y y! e = 2.71828 r = rataan Teladan Arbous dab Kerrich (1951) mendiskusikan analisis statistik kecelakaan. Mereka menyajikan kecelakaan diantara mesin Shunter, berumur 31 s/d 35 data bagi 155 orang - tahun dari tampilan adalah Banyak kecelakaan (1) 0 1 2 3+ r r2 x x! (2) (3) 1 0,500 0,500 0,250 0,125 0,167 0,021 P (X = x) Harapan Amatan (4) (5) (6) 0,606 0,303 0,076 0,015 93,9 47,0 11,8 2,2 80 61 13 1 Beralasan untuk mengasumsi banyak jam kerja untuk tahun tertentu besar dan kemungkinan terjadi kecelakaan kecil. Anggap kemungkinan kecelakaan pada tahun tertentu adalah 0,5 atau r = 0,5. 0,50 e 0,5 PY 0 e 0,5 0,606 0! Frekuensi harapan = 155 x 0,606 = 93.9 0,51 e 0.5 P Y 1 1! 0.303 Frekuensi harapan = 155 (0.303) = 47.0 Rataan Harapan = 0 93.9 1 97.0 2 11.8 3 2.3 0. 5 155 0 80 1 61 2 13 3 1 0,581 Rataan Amatan = 155 Ragam Harapan = 0 0.52 93.9 1 0.52 4.7 2 0.52 11.8 3 0.52 2.3 155 0.49 Berbeda karena pembulatan (E (Y) = r ; Rag (Y) = r) Ragam Contoh 0 2 80 12 61 2 2 13 3 2 1 1550.58 2 S 154 122 52.258 0.453. 154 2 Pendugaan n Penduga tidak bias bagi r adalah Y EY r Yi i 1 n Rataan contoh r Y diduga dengan n n dari contoh Dugaan r =0,181 dan penduga Ragam Y adalah ragam y = 0.581 0.00375 155 Bentuk umum selang Kepercayaan (1 – ) 100% adalah ˆ 2 2 V dengan ̂ adalah penduga parameter Z adalah nilai sebaran normal baku yang dikanannya 2 luasnya /2. V ̂ adalah dugaan ragam penduga. 1. Dengan menganggap contoh besar mempunyai sebaran rataan penduganya normal. Selang Kepercayaan 95% bagi r (tingkat kecelakaan). 0.581 1.96 0.00375 0.461 ; 0.701 2. Dengan menganggap bukan sebaran Poisson. Selang Kepercayaan 95% : 0.581 1.96 0.453 0.457 ; 0.687 155 3. Untuk memperbaiki sebaran normal, dilakukan dengan ˆ Var ˆ melogaritmakan Var log ˆ 2 Selang Kepercayaan (1 – ) 100% diberikan oleh ˆ Z exp log 2 V θ̂ n θ̂ 2 Selang Kepercayaan 95% bagi r dengan model Poisson 1 exp log r̂ 1.96 nr̂ 1 exp log 0.581 1.96 exp 0.543 0,207 1550.581 0.473 , 0.714 4. Jika kita tidak mempercayai model Poisson 0.453 exp log0.581 1.96 2 1550.581 exp 0.543 0.182 0.484,0.698 Hasil keempat selang Kepercayaan agak serupa karena ukuran contoh besar. Tetapi pada umumnya kita menggunakan yang terakhir karena tidak memerlukan model Poisson dan tidak simetrik dari sebaran diskrit. UJI – UJI KEBAIKAN SUAI Ada tiga statistik uji untuk membandingkan Frekuensi amatan dan harapan. 1. Uji khi-kuadrat Pearson I X2 i 1 Yi mi 2 mi Yi Frekuensi Amatan mi E Yi H0 , frekuensi harapan jika H0 benar 2. Khi – kuadrat rasio kemungkinan, G2 G 2 Yi 2 Yi n m i i 1 I 3. Khi – kuadrat Newman, I i 1 Yi mi 2 Yi Teladan Dari data “Engine Shunter” untuk sebaran Poisson dengan r = 0.5 X 2 80 93.9 2 61 47 2 13 11.8 2 1 2.2 2 93.9 47 11.8 2.06 4.17 1.12 0.65 7.00 2.2 0.05 < Nilai – P < 0.10 Jika ingin diuji apakah data diatas menyebar Poisson (r ≠ 0.5), digunakan pendugaannya yaitu ŷ 0.181. Gugus Frekuensi harapannya. Banyak kecelakaan 0 1 2 3+ Total P (X = x) Mi yi 0.559 0.325 0.094 0.022 1.00 86.6 50.4 14.6 3.4 155 80 61 13 1 155 y i m i 2 mi 0.50 2.23 0.18 1.69 4.60 X2 = 4.60 mempunyai sebaran khi- kuadrat dengan derajat bebas = 4 – 1 – 1 = 2, 0.05 < Nilai – p < 0.10. Pembandingan tiga perhitungan khi – kuadrat, Pearson (X2), Newman (φ) dan Rasio kemungkinan (G2). Kategori Amatan Harapan 1 2 3 4 Total 80 61 13 1 155 86.6 50.4 14.6 3.4 155 y m 2 y m 2 m 0.50 2.23 0.18 0.69 4.60 y 0.54 1.84 0.20 5.76 8.34 y 2 y n m -12.68 23.29 -3.02 -2.45 5.14
© Copyright 2024 Paperzz
