Pertemuan 13
Distribusi Teori
J0682
Tujuan Belajar
Setelah mempelajari bab ini, Mahasiswa
diharapkan mampu:
Menjelaskan arti bebrapa jenis distribusi teoretis,
seperti distribusi binomial, distribusi poisson,
distribusi hypergeometrik, distribusi normal
Memahami aplikasi berbagai jenis distribusi
tersebut dalam menyelesaikan berbagai
permasalahan
D
Materi
istribusi Binomial
D
istribusi Poison
D
D
istribusi Hypergeometrik
istribusi Normal
Buku Acuan
Statistika,
1
(2000) kar. J. Supranto, jilid 2 Chap.01
edisi keenam, halaman 31 – 82
2
Statistika, Teori dan Aplikasi
(2001), Bab 10, 11, dan
12, kar. Wayan Koster, edisi pertama, halaman 289 –
371
Distribusi Teori
Dua uang logam berisi muka m dan belakang
b maka himpunannya apabila dilempar
bersama sama S = {(mm),(mb),(bm),(bb)}
misalkan : yang mengandung m dihitung
(bb)
=> 0
(bm)
=> 1
jadi Rx = {0,1,2}
(mb)
=> 1
(mm)
=> 2
X = S => Rx
Relasi x pada S ke himpunan bagian bilangan
rill Rx
Distribusi Probabilitas
X=x 0
1
2
3
P(X=x) 1/4 1/2 ¼
Penulisannya : Distribusi x
(x1,P(X=x1)),(x2,P(X=x2)),(x3,P(X=x3))
Bagaimana kalau 3 mata uang logam
distribusi probabilitas x
S={(mmm),(mmb),(mbm),…dll…(bbb)}
0
1
2
3
1/8 3/8 3/8 1/8
Nilai Harapan
Nilai harapan atau ekspektasi matematis
atau harapan teoritis dari x yang ditulis
E(x)
Rumus
x f(x)= x P(X=x) jika x diskrit
E(x)=
x
f(x)dx jika x kontinyu
~
Contoh
Pada lemparan 3 mata uang logam, Berapa
nilai harapan
E(x) = x f(x) = P(X=x)
= (0)1/8 + (1)3/8 + (2)3/8 + 3(1/8)
= 1,5
—|——|— E(x)—|———|
0
1 1,5 2
3
Kegunaan Nilai Harapan
1. Mean populasi = E(x)
2. Variansi populasi 2 = E {(x-)2}= E(x2)-2
3. Standar deviasi
= 2
Contoh: Tentukan mean dan standar devasi
dari banyaknya muka pada lemparan 3
mata uang logam.
Jawab:
Mean = E(x) = 1,5
Variansi 2 = E(x2)-2
3
E(x2) = x2 P(X=x) = (0)2 P(X=0) + (1)2 +
P(X=1)
x=0
+ (2)2(P(X=2) + (3)2 P(X=3)
= (0)1/8 + (1)3/8 + (4)3/8 +(9)1/8
= 24/8 = 3
Maka 2 = 3- (1,5)2
= 3- 2,25 = 0,75
Jadi standar deviasi = 0,75 = 0,87
Rumus Binom lain
1. = E(x) = np
2. = E[x –E(x)]2 = E[x – np]2 = npq
3. = npq
Distribusi Poisson
Distribusi Poisson(Perancis, Simoon Denis
Poisson 1781-1840) hampir sama dengan
binom hanya poisson untuk menghitung n >
100 (n besar) dan p < 0,05 (p kecil)
Contoh binom
P ( X=4) dengan n =100
= 100!
Atau 196!
4!(100-4)! 5!(196-5)!
Menghitung ini sulit walaupun mungkin bisa
dengan kalkulator :memakan waktu dan h
Hasilnya semakin melenceng
Soal diatas dengan poisson lebih mudah. Misal
perhitungan poisson
• Dering telepon dalam 1 jam di kantor
• Banyaknya kesalahan ketik dalam 1 hal skripsi
Rumus Poisson
P(x)= x e- = rata-rata distribusi
x!
e = eksponensial=konstanta
=2,71828
Contoh :
Tuan Bimo menjual mobil mewahnya dengan
memasang iklan pada sebuah surat kabar
yang mencapai 100000 pembaca. Dengan
anggapan nilai probabilitas, bahwa seorang
yang membaca iklan tersebut berminat akan
membeli mobil p =1/50000. Jika dari 100000
pembaca ada 2 orang yang berminat membeli
mobil( p= 0,00002) dan x= banyaknya
pembaca yang berminat. Berapa P(X=0),
P(X=1) ,P(X=2), P(X=3) dan P(X=4)
Jawab:
n = 100000 (n terlalu besar)
P = 1/50000 (p terlalu kecil)
= np = (100000)(1/50000) = 2 (rata-rata)
Diharapkan 2 orang pembaca akan menanyakan
keadaan mobil
x
0
1
2
3
4
5
6
P(x) = x e-
x!
P(0)= 0,1353
P(1)= 0,2707
P(2)= 0,2707
P(3)= 0,1804
P(4)= 0,0902
P(5)= 0,0361
P(6)= 0,0002
P(0)= 0,1353 = 20 (2,718)-2
0!
P(9) = 29 (2,718) –2 = (512) (0,135363)
9!
362880
Atau dengan tabel poisson dengan = 2
Contoh:
Seorang pemilik pabrik rokok akan promosi
penjualan.Diantara 1000 batang rokok terdapat
5 batang yang bertuliskan”berhadiah” dicampur
secara acak
X= banyaknya batang rokok yang
bertuliskan”berhadiah” dari 1 bungkus berisi
20 batang. Berapa P(X=0),P(X=1),P(X=2), dan
P(X=4)
Jawab:
N = 20
P = 5/1000 = 0,005
= np = 20 (0,005) = 0,1
x
0
1
2
4
P(x) 0,9048 0,0905 0,0045 0,0000
Seorang kepala bagian kredit dari suatu bank
beranggapan bahwa 4 % dari nasabahnya
marasa tidak puas dengan pelayanan bank.
Kemudian 50 nasabah dipilih secara acak.
X = banyaknya nasabah tidak puas
Hitung P(X) untuk x=2 dan x=9
Jawab: n = 50 = 50 (0,04) = 2
P(x=2) = 0,2707
P(x=9) = 0,0002
Hipergeometrik
Sangat erat dengan distribusi binom. Hanya pada
hipergeometrik, percobaannya tidak
bebas(independent) tapi dependent artinya
antara percobaan yang satu dengan yang
lainnya sangat berkait.
Notasi :
r = jumlah unit/elemen dalam populasi
berukuran n yang dikategorikan sukses
n = jumlah percobaan
N-r = jumlah unit yang gagal
N = jumlah elemen dalam populasi
Rumus:
P(X) = rCx N-rC n-x , 0 x r
NC
n
Contoh : Sebuah anggota komite terdiri 5 orang,
dimana 3 adalah wanita dan 2 laki-laki.
Misalkan 2 orang dari 5 anggota tsb dipilih
untuk mewakili delegasi dalam sebuah
konvensi.
• Berapa probabilitas bahwa dari pemilihan acak
didapat 2 wanita
• Berapa probabilitas kalau 1 laki-laki 1 wanita.
Jawab : n =2 N =5 r =3 x=2
3!
2!
• P (2) = 3C2 2C0 = 2! 1! 2! 0! = 3/10
5C
5!
2
2! 3!
= 0,3
3!
= 1! 2!
2!
• P(1) = 3C 1 2C1
1! 1! = 6/10 =0,6
5C
5!
2
2! 3!
Jadi probabilitas terpilih 1 orang wanita dan I
orang pria = 0,6
Soal :
Pengurus himpunan mahasisiwa ada 15 orang.
10 orang pria dan 5 wanita. Sampel 5 orang
anggota dipilih secara acak untuk menghadiri
seminar. Hitung apabila :
Semua wanita
• Semua pria
• Paling sedikit 1 pria
• 2 wanita, 3 pria dan bila 1 wanita dan 1 pria
tertentu harus ikut
Jawab:
• Banyaknya sampel yang bisa dibentuk ialah
15 = 3003, yang masing-masing
5
mempunyai peluang yang sama
Sedangkan sampel terdiri 5 wanita =
5 10
= 1 cara maka P(5w) = 1/3003
5
0
10
5
• P(5L) = 5
0
= 12/143
15
5
• P(L > 1 ) = P(1L)+P(2L)+P(3L)+P(4L)+P(5L) =
1- P(0L) = 1 – P(5w) = 3002/3003
Seorang pria dan seorang wanita harus ikut,
berarti tinggal 9 pria dan 4 wanita yang harus
dipilih untuk membentuk sampel yang terdiri dari
1 wanita dan 2 pria sehingga :
P(2w dan 3L ; 1w dan 1L harus ikut) =
4
9
1
2 = 72/143
13
3
Combinasi dan Permutasi
Permutasi(P) mis: huruf, misal: himpunan {a,b,c} n
=3
•Kita ambil 1 per satu r=1 susunannya : a b c
•Kita ambil 2 dua r=2 susunannya ab ac bc ba ca
cb
Disini ab tidak sama dengan ba karena a pada
susunan pertama letaknya berbeda dengan a
pada susunan kedua
Rumus : nPr = n!
Cara lain penulisan nPr
(n-r)! atau P(n,r)
P = susunan yang dibentuk dari anggota suatu
himpunan dengan mengambil seluruh atau
sebagian anggota himpunan dan memberi arti
pada urutan anggotanya.
Combinasi ( C )
Himpunan {a,b,c}
• Diambil dua-dua r=2 ab ba ac ca bc cb
disini ab=ba ac=ca bc=cb
Rumus :
nCr
= n = n!
dapat ditulis C(n,r)
r
r! (n-r)!
Atau C n,r
C = susunan yang dibentuk dari anggota suatu
himpunan dengan mengambil seluruh atau
sebagian anggota tanpa memberi arti atau tidak
diperhatikan
Bila dari himpunan {a,b,c,d} diambil 3 objek maka
banyaknya C dan P
C
Permutasi
Abc
abc acb bac bca cab cba
Acd
abd adb bad cda dab dba
Abd
acd adc cad bda dac dca
bcd
bcd bdc cbd cdb dbc dcb
4
4 x 6 = 24
4P 3 = 24
4C 2 = 4
Contoh :
Ada 4 orang bernama A B C D bila dipilih 2 orang,
ada berapa banyak pilihan ?
Jawab:
4 = 6
AB AC AD BC BD CD
2
Suatu kelompok terdapat 4 kimiawan dan 3
fisikawan, buatlah panitia 3 orang yang terdiri
dari 2 kimiawan dan 1 fisikawan
Jawab : Misalkan kimiawan={K1,K2,K3,K4}
fisikawan={ F1,F2,F3 }
2 kimiawan dipilih dari 4 = 4 = 6
2
1 fisikawan dipilih dari 3 =
Banyak panitia = 6 x 3 = 18
3
1
=3
►Selamat Mengikuti Ujian Akhir
© Copyright 2024 Paperzz
