Matakuliah Tahun : I0184 – Teori Statistika II : 2009 MODEL LINEAR Pertemuan 22 Materi Pokok 22 MODEL LINEAR • Dugaan Parameter Model Linear. Pada model linear sederhana ada 3 parameter : 0, 1, dan 2. Ketiga parameter ini perlu diduga karena asumsi model adalah suatu struktur peluang peubah Y, maka dugaan dapat diperoleh dengan metode kemungkinan maksimum. Teorema 24.1 Misalkan (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) merupakan himpunan titik yang digunakan pada model linear sederhana, E(y/x) = 0 + 1x. Fungsi kemungkinan dari contoh 1= L, yi - β0 - β1 Xi 2 - n n 1 2 σ L Π f y x i yi Π e i 1 i 1 2π σ 2 Bina Nusantara University Penduga parameter diperoleh dengan menurunkan –2ln L terhadap 0, 1 dan 2. 2 1 n 2 - 2 ln L n ln2 n ln 2 yi - 0 1 X i i 1 Turunan parsialnya menjadi : - 2 ln L 2 n 2 yi - 0 - 1 X i - 1 0 0 i 1 - 2 ln L 2 2 1 - 2 ln L n n i 1 - yi - 0 - 1 X i - X i 0 2 n 2 2 i 1 yi - 0 - 1 X i 2 2 2 Dua persamaan dapat diselesaikan untuk memperoleh 0 dan 1 dan dengan mensubstitusikan dua yang pertama 3 diperoleh 2. Bina Nusantara University Penduga kemungkinan maksimum diperoleh untuk βˆ 1 n n i 1 n n X i Yi - X i Yi i 1 i 1 n n i 1 2 n Xi - i 1 X i 2 βˆ 0 Y - βˆ 1 x 2 n 1 ˆ i dimana Y ˆ i βˆ 0 βˆ 1 X i , i 1, , n σˆ 2 Yi - Y n i 1 2. Sifat-sifat Penduga Model Linear Teorema 24.2 Misalkan (X1, Y1), (X2, Y2), …., (Xn, Yn) sebagai himpunan titik yang digunakan pada model linear 4 EY X β 0 β1 X dan βˆ 0 βˆ1 dan σˆ 2 Bina Nusantara University Adalah penduga kemungkinan maksimum terhadap 0, 1 2 maka: danβˆ 0dan βˆ 1 menyebar secara normal a) βˆ dan βˆ merupakan penduga tak bias : 0 1 b) ˆ E β 0 β 0 dan E βˆ 1 β1 Var βˆ 1 c) d) Var βˆ 0 Bina Nusantara University σ2 n i 1 X i - X 2 2 n σ Xi 2 i 1 n n Xi - X 2 i 1 X2 2 1 σ n n X i - X 2 i 1 5 Teorema 24.3 Misalkan (X1, Y1), (X2, Y2), …., (Xn, Yn) digunakan untuk model linear sederhana maka: 2 a. βˆ 1 , Y, dan σˆ adalah saling bebas. b. nσˆ 2 σ 2 menyebar secara Khi - Kuadrat dengan derajat bebas n - 2. Akibat logis: Misalkanσ̂ 2 merupakan penduga kemungkinan maksimum terhadap 2 pada model linear sederhana maka n 2 σˆ adalah penduga tidak bias terhadap σ 2 . n-2 Dugaan 2 dengan metode kemungkinan maksimum pada 2 model linear sederhana adalah n 1 σˆ 2 Yi - βˆ 0 - βˆ 1 X i 6 n i 1 Bina Nusantara University Dan penduga tidak bias untuk σ 2 yang didasarkan σˆ 2 dilambangk an dengan S2 , dimana : 2 n n ˆ 0 - βˆ 1 X i Yi - β S n - 2 i 1 2 3. Inferensia Tentang Koefisien Regresi 1 Teorema 24.3 Misalkan (X1, Y1), (X2, Y2), …., (Xn, Yn) adalah himpunan titik yang memenuhi asumsi model linear sederhana dan 1 ˆ 0 - βˆ 1 X i 2 Yi - β n-2 βˆ 1 - β1 Tn - 2 n 2 X i - X S S2 maka βˆ 1 - β νˆ ar βˆ 1 i 1 Mempunyai sebaran t dengan n - 2 derajat bebas. Bina Nusantara University 7 Teorema 24.5 Misalkan (X1, Y1), (X2, Y2), …., (Xn, Yn) adalah himpunan yang memenuhi asumsi model linear sederhana dan βˆ 1 - β1 t n 2 X i - X S i 1 a) Untuk manguji H0: 1 = 10 lawan H1: 1 > 10 pada taraf nyata , tolak H0 bila t t, n – 2. b) Untuk menguji H0: 1 = 10 lawan H1: 1 < 10 pada taraf nyata , tolak H0 bila t -t, n – 2. c) Untuk menguji H0: 1 = 10 lawan H1: 1 10 pada taraf nyata , tolak H0 bila 1) t -t/2 (n – 2) atau 2) t -t/2 (n – 2) 8 Bina Nusantara University Teorema 24.6 Misalkan (X1, Y1), (X2, Y2), …., (Xn, Yn) adalah himpunan titik yang memenuhi asumsi model linear sederhana dan 2 n 1 ˆ 0 βˆ 1 x i maka y i - β S2 n -1 i 1 S βˆ 1 - tα 2 n - 2 . , βˆ 1 tα 2 n - 2 . n 2 x x i i 1 adalah selang kepercayaan 1 - α 100% bagi β1. Bina Nusantara University S n i 1 x i - x 2 9 4. Inferensia Tentang Intercept: 0 Tn - 2 βˆ 0 - β 00 n S n i 1 n i 1 x i - x 2 xi βˆ 0 - β 00 νˆ ar βˆ 0 dan 2 2 n n S xi S xi βˆ - tα 2 n - 2 . i 1 i 1 ˆ , β tα 2 n 2 . 0 0 n n 2 2 n x i - x n x i - x i 1 i 1 adalah selang kepercayaan 1 - α 100% bagi β 0 . Bina Nusantara University 10 5. Selang Suatu Ramalan Teorema 24.7 Misalkan (X1, Y1), (X2, Y2), …., (Xn, Yn) adalah himpunan titik yang memenuhi asumsi model linear sederhana maka selang kepercayaan (1 - ) 100% bagi E(Y/x) = 0 + 1 X adalah yˆ - ω, yˆ ω di mana 1 ω tα 2 n - 2 . S n x - x 2 dengan y βˆ βˆ x ˆ 0 1 n 2 x i - x i 1 Untuk ramalan selang y pada nilai x tertent u adalah yˆ - ω, yˆ ω di mana 1 ω tα 2 n - 2 . S 1 n Bina Nusantara University x - x 2 n 2 x i - x i 1 11
© Copyright 2024 Paperzz
