download

TEKNIK DIGITAL
Achmad Suntoro
A Suntoro – Teknik Digital
2. Aljabar Boole
Aljabar Boole yang kemudian berkembang dalam penerapannya dengan kontakkontak sambung / switching dikenal dengan aljabar penyambungan (switching
algebra).
Postulat
Konsep dasar dari aljabar Boole / penyambungan diperkenalkan dari suatu himpunan
postulat (axioma), yaitu pernyataan dasar dari mana semua pernyataan-pernyataan
lain seperti aturan / teorema diturunkan atau dikembangkan.
Postulat dasar aljabar penyambungan ialah adanya variabel penyambungan bernilai
dua, yaitu 0 dan 1. Bila X adalah suatu variabel penyambungan, maka berlaku:
X  0 jika dan hanya jika X =1
X  1 jika dan hanya jika X =0
Selanjutnya didefinisikan tiga operasi yang disebut OR (atau), AND (dan) dan NOT
(tidak).
Operasi OR (+)
Operasi AND (.)
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=1
0.0=0
0.1=0
1.0=0
1.1=1
Operasi NOT “ “
0=1
1=0
Teorema-teorema Dasar
1. a. X + 0 = X
b. X . 1 = X
2. a. X + 1 = 1
b. X . 0 = 0
3. a. X + X = X
b. X . X = X
4. a. (X) = X
5. a. X + X = 1
6. a. X + Y = Y + X
b. X . Y = Y . X
b. X = X
b. X . X = 0
7. a. X + Y + Z = X + ( Y + Z ) = ( X + Y ) + Z
b. ( X . Y ) . Z = X . ( Y . Z ) = ( X . Y ) . Z
8. a. X ( Y + Z ) = XY + XZ
b. X + YZ = (X + Y)(X + Z)
10. a. X (X + Y) = X.Y
b. X + X Y = X + Y
9. a. X (X + Y) = X
b. X + XY = X
11. a. X + Y + Z + . . . . . = X + Y + Z + . . . .
b. X . Y . Z . . . . .
11
=X+Y+Z+....
A Suntoro – Teknik Digital
Tabel Kebenaran (Truth Table)
Adalah pendaftaran yang teratur dari kombinasi-kombinasi menurut bilangan biner.
Jika ada n variabel, maka akan ada 2n kombinasi.
Contoh: T = ABC, ada 3 variabel berarti akan ada 23 = 8 kombinasi.
1
2
3
4
5
6
7
8
ABC
000
001
010
011
100
101
110
111
T
0
0
0
0
0
0
0
1
Dengan menggunakan tabel kebenaran maka teorema-teorema diatas dapat
dibuktikan. Contoh teorema 8.a: X + YZ = (X + Y)(X + Z).
XYZ
000
001
010
011
100
101
110
111
T1 = X + YZ
0
0
0
1
1
1
1
1
T2 = (X + Y)(X + Z)
0
0
0
1
1
1
1
1
Terlihat bahwa T1 = T2, yang berarti teorema 8.a terbukti kebenarannya.
Bentuk Standard Penyajian
Bentuk standard untuk menyajikan ungkapan-ungkapan aljabar penyambungan /
Boole adalah sebagai berikut, yaitu ada dua bentuk:

Bentuk Standard Penjumlahan dari Perkalian (sum of product)
Contoh:
1. A + B + C + D
2. ABC + BCD + ABD.
Suku-suku dalam penjumlahan tersebut disebut minterm.

Bentuk Standard Perkalian dari penjumlahan (product of sum)
Contoh:
1. ABCD
2. (AB + C)(B + C)(A + C).
12
A Suntoro – Teknik Digital
Suatu fungsi penyambungan f(X1, X2, X3, . . . Xn) yang terdiri dari n variabel ialah
menyatakan hubungan dua himpunan dimana satu himpunan berisi 2n kombinasi dari
variabel fungsi tersebut dan yang satu lagi adalah himpunan yang berisi bilangan 0
dan 1.
0
Kombinasi
dari
variabel
fungsi 2n
1
X1
0
0
1
1
X2
0
1
0
1
0
1
Gambar 1. Hubungan himpunan input dan himpunan output.
Pernyataan hubungan tsb dapat dituliskan sbb: f(X1, X2) = X1 + X2.
Suatu fungsi penyambungan dengan bentuk penjumlahan dari perkalian dapat juga
diturunkan dari tabel kebenaran nya dengan jalan mnjumlahkan semua suku yang
berpadanan dengan kombinasi yang menghasilkan nilai satu pada fugsi tersebut.
Untuk bentuk perkalian dari penjumlahan dilakukan dengan mengalikan semua
suku yang berpadanan dengan kombinasi yang menghasilkan nilai 0 pada fungsi
tersebut.
Contoh:
XYZ
000
001
010
011
100
101
110
111
T
1
1
0
1
1
0
1
0
Fungsi penyambungannya adalah:
T(X, Y, Z) = XYZ + XYZ + XYZ + XYZ + XYZ
T(X, Y, Z) = (X + Y + Z)(X + Y + Z)(X + Y + Z)
13
atau
A Suntoro – Teknik Digital
3. Pengenalan Gerbang (Gate)
Ada 2 macam cara penunjukan polaritas logik yaitu:
Logik positip:
diberi “1”
tegangan tinggi
kontak sambung
diberi “0”
tegangan rendah
kontak terbuka
Logik negatip:
diberi “1”
tegangan rendah
kontak terbuka
diberi “0”
tegangan tinggi
kontak tertutup
Contoh:
H = High = tinggi; L = Low = rendah.
A B
L
L
H
H
F
L L
H L
L L
H H
A
F
B
Jika logik positip yang digunakan maka gerbang tersebut bertindak sebagai AND, dan
jika logik negatip yang digunakan maka gerbang tersebut adalah OR. Untuk
mencegah kesimpang siuran, maka untuk selanjutnya akan dipakai logik positip,
kecuali jika dinyatakan memakai logik negatip.
Simbol
1. AND
A
B
F=AB
F
A B
F
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
1
14
A Suntoro – Teknik Digital
A
F
2. OR
B
F=A+B
A B
F
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
3. NOT, inverter, pembalik
A
F
F=A
4. NAND
A
F
B
A B
F
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
A B
F
0
0
1
1
1
0
0
0
A
F
0
1
1
0
F=AB
5. NOR
A
F
B
F=A+B
6. Exclusive OR atau Ex-OR
A
0
1
0
1
F
B
F=AB + AB =AB
15
A B
F
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1

Download Report