TRANSPORTATION PROBLEM
D0104 Riset Operasi I
Kuliah XXIII - XXV
Pendahuluan
• Transportation Problem merupakan aplikasi dari
programa linier untuk menentukan bagaimana
mendistribusikan bahan, produk dari suatu lokasi
ke lokasi-lokasi yang lain dengan biaya yang
minimum.
• Metoda penyelesaian transportation problem dapat
digunakan dua cara, yaitu :
– Menggunakan metoda simpleks.
– Menggunakan metoda yang khusus untuk transportation
problem
Contoh Transportation Problem
ASAL
TUJUAN
Transportation Model
Ada m sumber dan n tujuan, ai jumlah unit yang tersedia pada
tiap sumber dan akan dikirim tujuan. bj merupakan permintaan
dari tiap tujuan. cij merupakan biaya transportasi per unit yang
dikirim. Model Matematik untuk transportasi sbb :
m
Obyektif
n
x0   cij xij
i 1 j 1
n
Pembatas
x
j1
ij
m
x
i 1
ij
 a i ; i  1,2 ,...., m
 bj; j  1,2 ,...., n
x ij  0
Kesetimbangan Model Transportasi
 m
 m  m  n
b j     xij      xij    ai

j 1
j 1  i 1
 i 1  j 1  i 1
n
n
• Pernyataan ini berarti bahwa jumlah yang disuplai dari sumber harus sama
dengan jumlah permintaan pada tujuan.
• Pada kenyataannya bahwa jumlah yang disuplai tidak sama dengan
permintaannya, dapat lebih besar atau lebih kecil. Kondisi disebut tidak
setimbang.
• Kondisi tidak setimbang harus dibuat setimbang dengan menambahkan
sumber atau tujuan yang bersifat dummy
• Jika suplai  demand, tambahkan tujuan dummy untuk menerima sejumlah
ai - bj. Jika demand  suplai, tambahkan sumber dummy untuk
mensuplai sejumlah bj - ai.
Teknik Transportasi
(Lanjutan)
Cara Penyelesaian :
Dengan Tabulasi
Jumlah
dari i ke j
1
S
U
M 2
B
E
R 3
1
Biaya
dari i ke j
TUJUAN
2
3
4
b1
b2
b3
a1
a2
a3
a4
K
a
p
a
s
i
t
a
s
Tabel Transportasi
• Permasalahan Transportasi dispesifikasikan oleh A
transportation problem is specified by the supply,
the demand, and the shipping costs. So the
relevant data can be summarized in a
transportation tableau. The transportation tableau
implicitly expresses the supply and demand
constraints and the shipping cost between each
demand and supply point.
Teknik Transportasi
(Metoda Penyelesaian)
• Mendapatkan Solusi Awal
– Northwest Corner (NWCR)
– Least Cost
– Vogel Approximation (VAM)
• Mendapatkan Solusi Optimal (Akhir)
– Stepping Stone
– Multiplier (UV Method)
Mendapatkan Solusi Awal
• Ada Tiga Cara yang dapat digunakan yang
tujuannya adalah untuk memperoleh variabel basis
(dalam metoda simplex membentuk matrix
satuan).
• Variabel-variabel basis ini merupakan solusi awal
untuk mendapat solusi akhir yang kondisinya
feasibel dan optimal.
• Pada penyelesaian awal ini bisa saja kondisi sudah
feasibel dan optimal, tapi untuk menyatakan hal
tersebut harus diuji terlebih dulu.
Mendapatkan Solusi Awal
Menggunakan Northwest Corner
• Metoda Northwest Corner (NWCR) merupakan
metoda yang pengisian sel pada tabel penyelesaian
masalah transportasi dimulai dari pojok kiri atas.
• Kemudian dilanjutkan pada sel sebelah kanan atau
bawah bergantung pada kapasitas yang tersedia.
• Pengisian sel berakhir pada sel pojok kanan
bawah.
• Sel-sel yang terisi merupakan variabel basis yang
jumlahnya adalah : m + n –1 (m = jumlah lokasi
sumber, n = jumlah lokasi tujuan).
Contoh: Pengisian Dengan NWCR
Sebuah perusahaan mempunyai tiga lokasi pabrik yaitu : A, B, C. untuk
membuat produknya. Produk yang dibuat ini akan didistribusikan ke empat
lokasi pasar, yaitu : P1, P2, P3, P4. Kapasitas dari masing-masing pabriknya
dan permintaan dari masing-masing pasar terlihat pada tabel.1 dan biaya
angkut per-unit produk ada pada tabel.2
Ke
Pabrik Kapasitas Pasar Permintaan
A
100
P1
50
B
150
P2
125
C
75
P3
100
P4
50
Untuk penyelesaiannya dibuat tabel
transportasi sbb :
Pasar
P1
P2
P3
P4
Dari
P
a
b
r
i
k
A
10
15
5
20
B
15
5
10
5
C
25
10
5
15
Contoh: Pengisian Dengan NWCR
P1
P2
P3
10
50
15
B
15
75
5
C
25
10
A

50
50
Total Biaya Distribusi

P4
5
20
100
50
75
10
5
150
75
25
5
15
75
50
125
100
75
25
50
50
325
= 50 * 10 + 50 * 15 + 75 * 5 + 75 * 10
+ 25 * 5 + 50 * 15
= 3250
Contoh: Pengisian Dengan Least-Cost
P1
P2
A
10
B
15
C
50 25

50
P3
15
125 5
10
125

P4
100 5
20
100
10
25 5
150
25
5
25 15
75
50
100
50
325
25
Total Biaya Distribusi
= 100 * 5 + 125 * 5 + 25 * 5 + 50 * 25 + 25 * 15
= 2875
Contoh: Pengisian Dengan VAM
P1
10
A
B
50
C

Penalti :
P2
P3
15
5
100
15
50
5
10
25
75
10
5
50
5
5
10
125
5
5
5

P4
50
Penalti :
20
100
5
5
5
150
0
5 10
15
75
5 5 15
100
50
0
0
10
325
Contoh: Pengisian Dengan VAM
P1
10
A
B
50
C

P2
50
Total Biaya Distribusi
P3
15
100
5
15
50
5
10
25
75
10
5
125

P4
100
50
50
20
100
5
150
15
75
325
= 100 * 5 + 50 * 15 + 50 * 5 + 50 * 5 + 75 * 10
= 2500
Mendapatkan Solusi Akhir
1. Berawal dari hasil untuk medapatkan solusi awal yang
diperoleh menggunakan NWCR, LC, dan VAM dapat
ditetapkan variabel-variabel yang termasuk basis.
2. Jumlah variabel basis yang dapat digunakan untuk
melanjutkan ketahapan mencari solusi akhir adalah m + n – 1
3. Bila jumlah variabel basisnya kurang dari m + n –1, harus
ditambahkan variabel basis dengan meletakan nilai 0 pada
variabel non basis dengan nilai biaya paling kecil. Lihat Contoh
4. Setelah jumlah variabel basis sesuai dengan syarat, maka
dapat dilanjutkan dengan menggunakan salah satu metoda
(Stepping Stone atau Multiplier). Solusi Akhir
Contoh hasil solusi awal yang jumlah Variabel basisnya
kurang dari m + n - 1
P1
10
A
B
50
C

P2
50
P3
15
15
50
5
25
75
10
125
100
5
10
0

P4
50
5
100
50
20
100
5
150
15
75
325
Pada tabel diatas ada 5 variabel basis, sehingga kurang satu dari
m + n – 1, oleh karena itu perlu ditambahkan 1 variabel dengan
meletakan nilai 0 di kotak yang mempunyai ‘cost’ paling kecil
Mendapatkan Solusi Akhir
(Metoda Stepping Stone)
•
•
Dengan menggunakan contoh hasil dari mencari solusi
awal dengan metoda NWCR, ditetapkan 6 variabel basis
(ditandai dengan lingkaran warana hijau).
Langkah berikut mencari nilai untuk variabel non basis
(kotak yang belum terisi) dengan cara sebagai berikut :
1.
2.
Menetapkan nilai Var.Non Basis dengan menggunakan suatu
loop, yang mulai dari kotak var.non basis menuju ke kotak-kotak
var. basis dan kembali lagi ke kotak tersebut.
Contoh: Kotak Var. Non Basis (A,P3) mempunyai loop sbb :
(A,P3)  (B,P3)  (B,P2)  (A,P2)  (A,P3)
Loop dapat bergerak searah jarum jam atau berlawanan jarum
jam.
Mendapatkan Solusi Akhir
(Metoda Stepping Stone)
3.
4.
5.
Nilai yang dituliskan pada kotak tersebut dihitung dari nilai-nilai
‘cost’ dari kotak yang dilalui loop dengan memperhatikan tanda dari
tiap kotak.
Pada contoh, loop dimulai kotak (A,P4) diberi tanda +, kemudian
kotak berikut tandanya -, dan seterusnya sampai kembali ke kotak
awal.
Contoh :
(A,P3)  (B,P3)  (B,P2)  (A,P2)  (A,P3)
tandanya
+ 
-  +  -  +
Mendapatkan Solusi Akhir
(Metoda Stepping Stone)
P1
P2
P3
10
50
15
B
15
75
5
C
25
10
A

50
50
125

P4
5
20
100
75
10
5
150
25
5
15
75
100
50
50
325
Nilai Variabel non-basis untuk (A,P3) adalah : 5 – 10 + 5 – 15 = -15.
Penetapan nilai variabel non basis lainnya mengikuti langkah-langkah 1
sampai 5
Mendapatkan Solusi Akhir
(Metoda Stepping Stone)
P1
P2
A
50
10
B
-5
15
C
30
25

50
P3

P4
15
-15
5
-10
20
100
75
5
75
10
-5
5
150
10
10
25
5
50
15
75
50
125
100
50
325
= (A,P4)(C,P4) (C,P3) (B,P3) (B,P2) (A,P2) (A,P4)
= 20 – 15 + 5 – 10 + 5 – 15 = -10
Dan seterusnya untuk variabel non basis lain….
(A,P4)
Dari tabel diatas kotak (A,P3) dipilih karena paling negatif untuk
pengalokasian baru
Mendapatkan Solusi Akhir
(Metoda Stepping Stone)
P1
P2
A
50
10
B
-5
15
C
30
25

50
P3

P4
15
-15
5
-10
20
100
75
5
75
10
-5
5
150
10
10
25
5
50
15
75
50
125
100
50
325
Jumlah produk yang akan di alokasikan ke kotak (A,P3) berasal dari kotakkotak yang dilalui loop dengan tanda -.(Pilih nilai terkecil dari kotak-kotak
bertanda -)
(A,P3)(+) (B,P3)(-) (B,P2)(+) (A,P2)(-)
Komposisi alokasi yang baru ada pada pada tabel berikut.
Mendapatkan Solusi Akhir
(Metoda Stepping Stone)
P1
A
50
P2
10
B
15
C
25

50
P3
15
125 5
10
125

P4
50
5
20
100
25
10
5
150
25
5
15
75
100
50
50
Total
Biaya
= 2500
325
Langkah berikutnya adalah mengisi kembali kotak-kotak
variabel non basis seperti pada langkah-langkah sebelumnya,
sampai tidak ada variabel non basis yang bernilai negatif.
(Berarti kondisi feasibel dan optimal)
Mendapatkan Solusi Akhir
(Metoda Stepping Stone)
Hasil optimalnya adalah
P1
A
50
B
10
C
15

50
P2
10
15
25
P3
15
5
100
25
125
5
10
50
10
50

P4
5
10
5
100
20
5
50
0
100
5
150
15
75
50
Kondisi Feasibel dan Optimal
325
Total
Biaya
2000
Solusi Akhir Dengan
Metoda Multiplier (UV)
1. Metoda Multiplier atau UV merupakan salah satu metoda
untuk mendapatkan solusi akhir yang feasible dan optimal
dari permasalahan transportasi.
2. Metoda ini dapat digunakan bila variabel basis sudah
ditetapkan (menggunakan metoda NWCR, Least Cost atau
VAM).
3. Apabila variabel basis telah ditetapkan, kemudian
ditentukan nilai Ui untuk baris dan Vj untuk kolom.
i = 1 … m dan j = 1… n
4. Tetapkan terlebih dulu salah satu nilai Ui atau Vj sebesar 0
Solusi Akhir Dengan
Metoda Multiplier (UV)
5.
Nilai Ui dan Vj lainnya ditetapkan berdasarkan rumus
berikut :
Ui + Vj = Cij
Cij = merupakan nilai ‘cost’
dari kotak variabel basis
6.
Setelah semua nilai Ui dan Vj diperoleh, kemudian
menetapkan nilai untuk variabel non basis berdasarkan
rumus :
Cij – Ui – Vj
Cij = merupakan nilai ‘cost’ pada
dari kotak variabel non basis
7.
Bila nilai pada kotak variabel non basis ada yang negatif
berarti kondisi belum optimal, kemudian pilih nilai
variabel non basis yang paling negatif.
Solusi Akhir Dengan
Metoda Multiplier (UV)
8. Berawal dari kotak variabel non basis, buat suatu loop
tertutup. Loop dapat searah jarum jam atau berlawanan.
9. Tetapkan tanda + atau – bergantian sesuai dengan kotak
yang dilalui loop. Berawal pada kotak variabel non basis
dengan tanda +.
10. Kotak yang bertanda + berarti sejumlah unit ditambahkan
pada kotak tersebut. Besarnya unit yang ditambahkan
adalah sama dengan nilai terkecil pada kotak yang
mempunyai tanda negatif.
11. Kotak variabel basis yang tidak dilalui loop, nilainya
tetap.
12. Ulangi langkah 4 sampai 11, bila masih terdapat nilai
variabel non basis yang masih negatif
Solusi Akhir Dengan
Metoda Multipler (UV)
Iterasi I
V1= 10
P1
U1= 0
A
50
U2= -10
B
10
U3= -15
C
25

V2=15
V3=20
V4= 15
P2
P3
P4
10
50
15
15
75
5
75
10
10
25
5
25
50
10
125
-15
5
5
0
50
100
50

20
100
5
150
15
75
325
Loop : (A,P3)  (B,P3)  (B,P2)  (A,P2)  (A,P3)
+ 
-  +  -
Iterasi II
V1=10
P1
U1= 0
U2= 5
U3= 0
0
A
50
B
-5
C
10

Kondisi Feasibel,
belum Optimal
50
V2= 0
P2
10
15 15
15
125
5
25
10
10
V3=5
V4= 15
P3
P4
50
25
25
125
5
10
5
100

20
5
-15
50
50
100
5
150
15
75
Total
Biaya
2500
325
Loop : (B,P4)  (C,P4)  (C,P3)  (B,P3)  (B,P4)
+ 
-  +  -
Iterasi III
V1=10
P1
U1= 0
A
50
U2= -10
B
15
C
15
U3= 0

Kondisi Feasibel,
belum Optimal
50
V2= 15
P2
10
15
25
0
15
125
5
10
-5
V3=5
V4= 15
P3
P4

5 20
100
50
15
50
125
5
10
5
100
25
25
50
5
150
15
75
Total
Biaya
2250
325
Loop : (C,P2)  (B,P2)  (B,P4)  (C,P4)  (C,P2)
+ 
-  +  -
Iterasi IV
V1=10
V2= 10
P1
U1= 0
A
50
U2= -5
B
10
C
15
U3= 0

50
P2
10
15
25
15
5
100
25
125
5
10
V3=5
V4= 15
P3
P4
50
10
50
5
10
5
100

20
5
50
0
100
5
150
15
75
50
Kondisi Feasibel dan Optimal
325
Total
Biaya
2000

download soal

download

download

download

download

download

download

download

download

download

download