Matakuliah Tahun : Kalkulus II : 2008 / 2009 INTEGRAL RANGKAP Pertemuan 23 - 24 INTEGRAL RANGKAP 10.1 10.2 10.3 10.4 Integral Rangkap Dua Volume dan Pusat Massa Integral Rangkap Tiga Koordinat Tabung dan Koordinat Bola Bina Nusantara University 3 10.1. Intergral Rangkap Dua Misal diberikan daerah di bidang XOY yang berbentuk persegi panjang, dan fungsi dua peubah z = f ( x,y ) > 0 . Maka untuk menghitung volume benda ruang yang dibatasi di atas oleh kurva z = f ( x,y ) dan di bawah oleh D dilakukan sebagai berikut. Bina Nusantara University 4 Bagi daerah D menjadi sub persegi panjang yang berukuran Δxi dan Δyi. Ambil sebuah titik pada sub persegi panjang, misal titik potong diagonal ( xi,yi ), sehingga kita dapatkan bangun ruang yang dibatasi di atas oleh z = f ( x,y ) dan di bawah oleh sub persegi panjang. Bina Nusantara University 5 Bangun ruang ( partisi ) tersebut akan mendekati bangun balok dengan tinggi f ( xi,yi ). Maka kita dapatkan volume tiap-tiap partisi adalah hasilkali luas alas ( ΔAi = Δxi Δyi ) dan tinggi ( f ( xi,yi ) ), yakni Vi = f ( xi,yi ) ΔAi. Bila tiap-tiap partisi kita jumlahkan maka dapat dituliskan dalam bentuk : Jumlah volume partisi tersebut akan merupakan volume bangun ruang yang dibatasi di atas oleh z = f ( x,y ) dan di bawah oleh D bila diambil sebanyak tak hingga partisi atau n → ∞ , yakni : Bina Nusantara University 6 Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah D didefinisikan sebagai berikut: Sifat-sifat dari integral rangkap dua diberikan berikut: Bina Nusantara University 7 Iterasi Integral Untuk menghitung integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah berbentuk persegi panjang D kita lakukan sebagai berikut. Luas penampang benda yang tegak lurus terhadap sumbu Y dengan c ≤ y ≤ d , misal A(yi) adalah Volume bangun ruang merupakan jumlah volume : Bina Nusantara University Untuk n → ∞. 8 Oleh karena itu, integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah D dapat diselesaikan dengan cara berikut : Dengan menggunakan pendekatan yang sama seperti di atas, integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah D dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut : Bina Nusantara University 9 Metode penyelesaian integral rangkap dua di atas dinamakan Iterasi Integrasi. Contoh 10.1 Hitung integral bila Jawab : Bina Nusantara University 10 Integral Rangkap atas Daerah Sembarang Misal R merupakan daerah sembarang . Maka untuk menghitung integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas daerah R dilakukan berikut. Dibentuk daerah persegi panjang D yang melingkupi daerah R dan didefinisikan suatu fungsi baru, g ( x, y ) yaitu: Bina Nusantara University 11 Nilai integral rangkap dua dari g ( x,y ) atas D sama dengan integral rangkap dua dari f ( x,y ) atas R, dituliskan : Hal ini menunjukkan bahwa untuk menghitung integral rangkap dua atas suatu daerahsembarang dapat dicari dengan menggunakan pendekatan yang sama sepertimenghitung integral rangkap atas daerah berbentuk persegi panjang. Adapun daerah sembarang secara umum dapat dibedakan menjadi dua tipe yaitu : 1. Tipe I, Bina Nusantara University 12 Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas R dituliskan dengan : 2. Tipe II, Integral rangkap dua dari z = f ( x,y ) atas R dituliskan dengan : Bina Nusantara University 13 Bina Nusantara University 14 Contoh 10.2 Hitung integral 2. f(x,y) = 2y dan R merupakan daerah tertutup yang dibatasi oleh x = 2, y = x2 , sumbu X. Jawab : Bina Nusantara University 15 2. Daerah R dapat dituliskan menjadi : Untuk Untuk Bina Nusantara University 16 Perubahan Urutan Integrasi Seringkali dijumpai dalam perhitungan integral rangkap dua, kita dihadapkan kepada bentuk iterasi yang diberikan tidak dapat dilakukan secara langsung seperti apa yang diminta. Sebagai contoh, perhitungan integral rangkap dua berikut tidak dapat dilakukan dengan iterasi yang diberikan (dengan mengintegralkan terhadap y kemudian terhadap x). Bina Nusantara University 17 Untuk menyelesaikan integral di atas kita harus merubah urutan integrasi. Bila integral dituliskan dalam bentuk : Maka Daerah R Digambarkan berikut: Bina Nusantara University 18 Daerah R dapat juga dinyatakan dengan : Oleh karena itu, nilai integral dari : Bina Nusantara University 19 Contoh 10.3 Ubahlah urutan integrasi dari integral rangkap berikut Jawab: Bina Nusantara University 20 Bina Nusantara University 21 Koordinat Kutub Kadang-kadang perhitungan integral rangkap dua dalam koordinat cartesius ( x dan y ) membutuhkan perhitungan yang rumit. Untuk lebih menyederhanakan perhitungan kita kenalkan koordinat kutub ( polar ). Misal ( x,y ) merupakan titik pada koordinat cartesius. Maka dalam koordinat kutub didapatkan hubungan : x = r cos θ dan y = r sin θ. Bina Nusantara University 22 Integral rangkap dua dari f ( x,y ) atas daerah R dapat dituliskan : Dalam koordinat cartesius, dA = dx dy atau dA = dy dx , sedangkan dalam dalam koordinat kutub : dA = | J(r,θ) | dr dθ atau dA = | J(r,θ) | dθ dr dengan Disebut determinan Jacobi dari r dan 0 Bina Nusantara University 23 Sehingga bentuk integral dalam koordinat kutub dituliskan berikut : Contoh 10.4 Gunakan koordinat kutub untuk menyelesaikan Bina Nusantara University 24 Maka R merupakan daerah setengah lingkaran dengan 0 ≤ r ≤ 1 dan Bina Nusantara University 25 Soal Latihan 10.1 ( Nomor 1 sd 6 ) Hitung nilai integral rangkap dua berikut : Bina Nusantara University 26 ( Nomor 7 sd 16 ) Hitung integral rangkap dua berikut : Bina Nusantara University 27 Bina Nusantara University 28 ; R daerah dibatasi oleh y = 0, x = 2 dan y = x2. ; R merupakan trapesium dengan titik sudut (1,3), (5,3) , (2,1) dan (4,1). ; R daerah dibatasi oleh x = 1, x = 2, y = ½ dan y = 2 / x. ; R daerah dibatasi oleh y=x2 dan y= x ; R daerah dibatasi oleh y =1, y = 2, x = 0 dan y = x. Bina Nusantara University 29 ( Nomor 17 sd 22 ) Hitung integral rangkap dua berikut dengan merubah urutan integrasinya terlebih dahulu. Bina Nusantara University 30 ( Nomor 23 sd 29 ) Selesaikan integral rangkap dua berikut (Gunakan koordinat kutub) ; R daerah di dalam lingkaran x2 + y2 = 4 Bina Nusantara University 31 ; R daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh : x2 + y2 = 4, y = 0 dan y = x. ; R daerah di kuadran pertama yang dibatasi oleh : x2 + y2 = 4, y = 0 dan y = x. ; R daerah di dalam x2 + y2 = 4 dan di luar x2 + y2 = 1 yang terletak di kuadran pertama. Bina Nusantara University 32 Bina Nusantara University 33 10.2. Volume dan Pusat Massa Sebagaimana dijelaskan di awal bahwa pengertian integral rangkap dua diturunkan dari menghitung volume benda ruang yang dibatasi oleh dua buah permukaan. Misal z = f ( x,y ) dan R merupakan daerah terletak pada bidang XOY yang diberikan atau bisa merupakan proyeksi dari permukaan z = f ( x,y ). Maka volume benda ruang yang dibatasi di atas oleh permukaaan z = f ( x,y ) dan dibatasi di bawah oleh R dituliskan: Bina Nusantara University 34 Contoh 10.5 Hitung volume bangun ruang yang terletak di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang 2x + 3y + z - 6 = 0. Jawab : Bina Nusantara University Dari 2x + 3y + z - 6 = 0 didapatkan, f ( x, y ) = -2x - 3y + 6. Misal R daerah di oktan pertama (x ≥ 0, y ≥ 0 dan z ≥0) merupakan proyeksi f(x,y) di bidang XOY. Maka 35 Jadi volume bangun ruang : Dalam fisika, integral rangkap dua dapat digunakan untuk menghitung massa, pusat massa dan momen dari suatu lamina ( lempengan ) yang mempunyai massa jenis yang dinyatakan sebagai fungsi dari x dan y. Misal suatu lamina f(x,y) dengan massa jenis ( x,y ) yang proyeksinya pada bidang XOY adalah R. Maka massa lamina : Bina Nusantara University 36 Sedangkan momen dari lamina terhadap sumbu Y dan sumbu X : Pusat massa dari lamina ( x,y ) dengan : Bina Nusantara University 37 Contoh 10.6 Tentukan massa dan pusat massa dari lamina yang dinyatakan oleh f(x,y) = 2x - y + 4 dengan massa jenis (x,y) = x - y. Jawab : Proyeksi f(x,y) = 2x - y + 4 pada bidang XOY, Bina Nusantara University 38 Momen terhadap sumbu Y, Momen terhadap sumbu X, Bina Nusantara University 39 Soal latihan 10.2 ( Nomor 1 sd 6 ) Hitung volume benda ruang berikut : 1. Terletak di bawah z = 2 x + y dan di atas persegi panjang 2. Terletak di oktan pertama [x ≥ 0,y ≥ 0,z ≥ 0] dibatasi oleh : x = 0, z = 0, z - y = 0, x = 5 dan z = = -2y + 6. 3. Terletak di oktan pertama dibatasi oleh bidang koordinat ( x = 0, y = 0 dan z = 0 ) dan bidang z = 5 - 2x - y. 4. Dibatasi oleh tabung x2 + y2 = 9 dan bidang z = 0 dan z = 3 - x. Bina Nusantara University 40 5. Dibatasi di atas oleh z = x + 2y + 2 dan di bawah oleh bidang XOY antara y = 0 dan y = 1 - x2. 6. Dibatasi di atas oleh z = 9 - x2 dan di bawah oleh z = 0 dan y2 = 3x. ( Nomor 7 sd 9 ) Tentukan massa dan pusat massa dari lamina dengan massa jenis ( x,y ) bila lamina diberikan berikut : 7. Sumbu X, garis x = 1 dan kurva y= x ; ( x,y ) = x y 8. y = sin x, y = 0, x = 0 dan x = π. ; ( x,y ) = x + y 9. y = x dan y = 2 - x2 ; ( x,y ) = x Bina Nusantara University 41 10.3. Integral Rangkap Tiga Misal diberikan fungsi tiga peubah, w = f ( x,y,z ). Maka untuk menentukan integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) terhadap suatu balok, B dilakukan sebagai berikut. Bagi balok, B menjadi sejumlah n sub balok, Bi ; i = 1,2,…,n. Didapatkan volume sub balok ΔVi = Δxi Δyi Δzi, sehingga volume balok, B yaitu : Integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) terhadap B didefinisikan sebagai berikut: Bina Nusantara University 42 Syarat yang harus dipenuhi untuk integral rangkap tiga di atas adalah w = f ( x,y,z ) kontinu pada B. Misal G merupakan benda ruang sembarang. Maka untuk menghitung integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas G dilakukan dengan cara mendefinsikan fungsi g ( x,y,z ) berikut Bina Nusantara University 43 B merupakan balok yang melingkupi benda ruang, G. Sehingga didapatkan : Dalam perhitungan, G dapat dipandang sebagai benda ruang yang dibatasi oleh Gz - batas bawah dan batas atas dari Gz berturut-turut z1=u(x,y) dan z2=v(x,y) atau dalam notasi himpunan, dan Gxy yang merupakan proyeksi dari G pada bidang XOY. Sehingga bentuk integral rangkap tiga dari w = f ( x,y,z ) atas G dituliskan : Bina Nusantara University 44 Bentuk dari Gxy dapat dibedakan menjadi dua yaitu : Bina Nusantara University 45 Urutan integrasi sangat mungkin bergantung dari bentuk bangun ruang G, sehingga selain merupakan gabungan dari Gz dan Gxy . Namun dapat juga G dipandang sebagai gabungan antara Gx dan Gyz atau Gy dan Gxz . Sedangkan Gyz dan Gxz berturut-turut merupakan proyeksi dari bangun ruang G pada bidang YOZ dan XOZ. Bina Nusantara University 46 Contoh 10.7 Hitung integral Jawab: Bina Nusantara University 47 Contoh 10.8 Hitung integral 2. G merupakan daerah di oktan pertama yang dibatasi oleh tabung y2 + z2 = 1, bidang x = 1 dan x = 4. Jawab : Bina Nusantara University 48 Secara geometris nilai integral rangkap tiga dari w = f (x,y,z) atas bangun ruang G merupakan volume dari bangun ruang G bila f ( x,y,z ) = 1. Bina Nusantara University 49 Contoh 10.9 Hitung volume bangun ruang, G yang terletak di oktan pertama dibatasi oleh y = 2 x2 dan y + 4z = 8. Jawab : Bina Nusantara University 50 Soal Latihan 10.3 ( Nomor 1 sd 5 ) Hitung nilai integral rangkap tiga berikut. Bina Nusantara University 51 ( Nomor 6 sd 9 ) Hitung nilai integral Bina Nusantara University bila 52 ( Nomor 10 sd 13 ) Hitung volume bangun ruang G bila G dibatasi oleh : Bina Nusantara University 53 10.4. Koordinat Tabung dan Koordinat Bola Dalam perhitungan integral rangkap tiga dari suatu fungsi tiga peubah atas bangun ruang G seringkali dijumpai beberapa kesulitan dalam pengintegralan. Untuk itu, dilakukan tarsnformasi dari kordinat cartesius ke dalam koordinat tabung dan koordinat bola. Hubungan antara koordinat cartesius dengan koordinat tabung dan koordinat bola dijelaskan dari gambar berikut. Bina Nusantara University 54 Bina Nusantara University 55 Bila dalam koordinat cartesius P( x,y,z ) dan dalam koordinat tabung P( r,θ,z ) maka diperoleh hubungan berikut : Bila dalam koordinat cartesius P ( x,y,z ) dan dalam koordinat bola P ( ρ,θ,φ ) maka didapatkan hubungan berikut : Bina Nusantara University 56 Untuk mentransformasikan integral dari koordinat cartesius ke dalam koordinat tabung atau koordinat bola digunakan metode determinan jacobi. Bina Nusantara University 57 Koordinat Tabung Bina Nusantara University 58 Koordinat Bola Bina Nusantara University 59 Dalam penerapan, bila bangun ruang G simetris terhadap suatu sumbu ( garis ) maka digunakan koordinat tabung. Sedangkan koordinat bola digunakan bila bangun ruang G simetri terhadap suatu titik. Contoh 10.10 Gunakan koordinat tabung untuk menghitung integral Bina Nusantara University 60 Jawab : Bina Nusantara University 61 Contoh 10.11 Gunakan koordinat bola untuk menghitung Jawab : Bina Nusantara University 62 Bina Nusantara University 63 Soal latihan 10.4 1. Hitung 2. Tentukan besar volume bangun ruang G bila G dibatasi oleh : a. Bagian atas : , bagian bawah : z = 0 dan selimut : x2 + y2 = 25 b. Bagian atas dan bawah : x2 + y2 + z2 = 9 dan selimut : x2 + y2 = 4 c. z = x2 + y2 dan z = 9 Bina Nusantara University 64 3. Gunakan koordinat Bola untuk menghitung integral berikut: Bina Nusantara University 65 4. Hitung volume bangun ruang G yang dibatasi di atas oleh x2 + y2 + z2 = 16 dan di bawah oleh : Bina Nusantara University 66
© Copyright 2024 Paperzz
