Matakuliah Tahun : K0034 / Aljabar Linear Terapan : 2007 DETERMINAN DARI MATRIKS Pertemuan 03 - 04 1 Pengertian • Determinan : adalah bilangan yang dihitung dari jumlah berikut : melibatkan n2 elemen jumlah yang diambil terhadap semua permutasi dan subskrip kedua. Se-buah unsur diberi tanda + jika (i, j, … , r) adalah permutasi genap dari (1, 2, … , n); dan tanda – jika ia adalah permutasi ganjil. 2 •Permutasi a b a b c a c b b a c b c a c a b c b a c bilangan asli : 2 1 3 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 3 • Inversi pada permutasi : Keadaan dimana bilangan yang lebih besar mendahului bilangan yang lebih kecil dalam urutannya 4 Contoh : 1 2 3 -> inversinya = 0+0+0=0 1 3 2 -> inversinya = 0+0+1=1 2 1 3 -> inversinya = 1+0+0=1 2 3 1 -> inversinya = 0+1+1=2 3 1 2 -> inversinya = 1+1+0=2 3 2 1 -> inversinya = 1+1+1=3 5 • • Permutasi genap bila banyaknya inversi genap Permutasi ganjil bila banyaknya inversi ganjil 6 • Definisi Determinan : Determinan matriks bujur sangkar A = A atau det A adalah jumlah semua perkalian elementer matriks A. Bila inversinya genap tanda + Bila inversinya ganjil tanda - 7 2 1 A = 6 4 A = 2 1 = + 2.4 - 1.6 = 8 - 6 6 4 = 2 8 Sifat-Sifat Determinan Mencari determinan dengan sifat-sifatnya • Bila ada baris/kolom yang semua unsurnya nol, maka determinan-nya = 0 Contoh : a) b) 0 0 0 0 A = A = = 0.5 - 0.4 = 0 - 0 = 0 4 5 4 5 2 0 2 0 B = B = = 2.0 - 0.3 = 0 - 0 = 0 3 0 3 0 9 c) d) 1 2 2 5 3 4 0 0 3 4 7 8 0 5 10 0 0 0 1 2 0 3 4 0 0 5 6 10 2. Matriks atas dan matriks bawah Determinan matriks atas / bawah adalah = perkalian elemen-elemen diagonal utama Contoh : 2 A 0 0 1 2 B 1 4 0 4 0 3 1 3 1 A 2 x 4 x1 8 1 0 0 B 2 x3 x 2 12 2 11 3. Bila salah satu baris /kolom dikalikan p, maka determinannya dikalikan p 4 A 2 3 A 14 5 Baris pertama x ( p = 2 ) 4 A= 2 3 b 2 8 6 1 5 2 5 A1 = 28 = 2 x 14 A1 = 2 A 12 4. Bila A b ij A1 , maka A1 = - A Contoh : 1 A = 3 2 A 4 = -2 1 2 3 4 A b12 A 1 = 3 4 1 2 A1 = 6 - 4 = 2 A = -A1 A1 = -A 13 p 5. Bila A bij A1 , maka A1 A Contoh : 1 2 A = 3 4 A = -2 1 2 b12 3 10 14 A= A1 = 3 4 3 4 A1 = -2 A = A1 14 6. Bila A dan B bujur sangkar, maka A.B = A . B 7 A = 8 2 3 A 5 1 4 B = B 10 3 2 7 2 1 A.B = 3 8 3 4 13 32 2 17 38 A.B= -50 A.B = (5).(-10) = -50 15 7. Bila A Matriks Non Singular , maka A-1 = 1/ A Contoh : 7 A = 6 -1 A = A -1 3 4 A = (7 X 4) - (3 X 6) = 10 1 . adj (A) A 1 4 - 3 25 - 103 = 3 7 10 -6 7 - 5 10 16 1 1 1 -1 A A 10 A 10 -1 A -1 1 = 10 17 8. At = A Contoh : 2 1 2 5 t A = ;A = 5 7 1 7 A = 9 At = 9 18 Rank Matriks • A = matriks berukuran m x n a11 a12 ... a1n a a ... a 21 22 2n A = a m1 a m2 ... a mn 19 • • Rank baris (row rank) matriks A = jumlah maksimum baris yang bebas linier Rank kolom (column rank) = jumlah maksimum kolom yang bebas linier 20 9. Jika elemen-elemen pada baris ke r matriks A merupakan jumlah elemen elemen yang bersesuai-an (pada baris ke r juga) dari matriks B dan C sedang elemen-elemen yang lain sama, maka A = B + C Contoh : 1 2 1 2 1 2 A = B = C = 4 6 1 3 3 3 21 1 2 4 6 = 1 2 1 3 + 1 2 3 3 2 3 2 3 6 2 1 3 2 2 22 • Minor dan Kofaktor Bila matriks Aij adalah matriks A yang dibuang baris ke i dan kolom ke j, maka Aij di sebut minor ke ij dari A atau : Mij = Aij dan kofaktor ke ij dari A adalah : (-1)i+j . Aij disingkat : Kij = (-1)i+j . Mij 23 • Contoh : A 3x3 1 2 3 = 4 5 6 7 8 7 1 4 7 2 5 8 3 6 7 24 K 23 = (-1) ( 1) . 5 2+3 . M 23 1 2 7 8 1(1x8 2 x7) = -1(8 - 14) = -1(-6) = 6 25 Mencari Determinan a. Cara Sarrus (khusus ordo 3 x 3) b. Cara Kofaktor (ordo n x n) C. Diubah terlebih dahulu menjadi matriks segitiga atas atau matriks segitiga bahwa, kemudian menggunakan sifat determinan dari matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah,dimana determinannya adalah hasil kali semua elemen pada diagonal utamanya. 26 • Contoh : Diketahui : 1 2 3 A = 4 1 5 3 2 4 a 11 a 12 a a 21 22 a 31 a 32 a 13 a 23 a 33 27 Cara Sarrus A= 1 2 4 1 3 2 - 3 1 2 5 4 1 43 2 - - A= [(1.1.4)+(2.5.3)+(3.4.2)] [(3.1.3)+(1.5.2)+(2.4.4)] A = (4+30+24)-(9+10+32) = 58-51=7 28 Cara Kofaktor Diketahui matriks A - a11 a21 a11 a21 [ a11 a12 a21 a22 ] tentukan determinan matriks A ! a12 a22 k11=(-1)1+1|a22|=a22 a12 a22 k12=(-1)1+2|a21|=a21 a11 a12 a21 a22 k21=(-1)2+1|a12|=a12 a11 a12 a21 a22 k21=(-1)2+1|a12|=a12 29 1. Matriks diekspansi pada Baris ke-1 : |A|= a11 .K11 + a12 . K12 |A|= a11 .a22 + a12 .(a21) |A|= a11 .a22 a12 .a21 2. Matriks diekspansi pada Baris ke-2 : |A|= a21.K21 + a22 . K22 |A|= a21 .(-a12) + a22 .a11 |A|= a11 .a22 - a12 .a21 30 3. Matriks diekspansi pada kolom ke-1 : |A|= a11 .K11 + a21 . K21 |A|= a11 .a22 + a21 .(-a21) |A|= a11 .a22 - a12 .a21 4. Matriks diekspansi pada kolom ke-2 : |A|= a12.K12+ a22 . K22 |A|= a12.(-a21) + a22 .a11 |A|= a11 .a22 - a12 .a21 31 • Dapat disimpulkan , bahwa : Determinan A dari ordo 2x2 = a11 . a22 - a12 . a21 32 A = [ 1 2 3 4 1 5 3 2 4 ] tentukan determinan A =? Matriks diekspansi pada baris pertama | | | | = -1(16 -15)= -1 4 1 = +1(8 -3)= 5 | | k11=(-1)1+1 1 5 = +1(4 -10)= -6 2 4 k12 =(-1)1+2 4 5 3 4 k13=(-1)1+3 3 2 33 |A|= a11.k11+a12.k12+a13.k13 =(1)(-6)+(2)(-1)+(3)(5) = -6-2+15= -8+15 =7 Contoh : Tentukan determinan dari [ ][ 1 2 A = 3 4 a11 a12 = a a 21 12 ] 34 Matriks A diekspansi pada baris ke 1 K11 = (-1)1+1 4 =+1(4)=4 K12 = (-1)1+2 3 =-1(3)=-3 A= a11.k11+a12.k12 = (1).(4)+(2).(-3) = 4-6 = -2 35 Matriks A diekspansi pada kolom ke 1 K11 = (-1)1+1 4 =+1(4)=4 K21 = (-1)2+1 2=-1(2)=-2 A= a11.K11+ a21.K21 = (1).(4)+(3).(-2) = 4-6 = -2 36 • Mencari determinan dengan cara kofaktor dari matriks n x n, banyak-nya = (n + n) cara jadi untuk matriks 3 x 3 , ada (3 + 3) cara = 6 cara Contoh : A 3x3 a 11 a 12 a 13 = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 37 Matriks A diekspansi pada Baris ke1 : |A|= a11 .K11 + a12 . K12+a13.K13 Matriks A diekspansi pada Baris ke2 : |A|= a21 .K21 + a22 . K22+a23.K23 Matriks A diekspansi pada Baris ke3 : |A|= a31 .K31 + a32 . K32+a33.K33 38 Matriks A diekspansi pada Kolom ke1 : |A|= a11 .K11 + a21 . K21+a31.K31 Matriks A diekspansi pada Kolom ke2 : |A|= a12 .K12 + a22 . K22+a32.K32 Matriks A diekspansi pada Kolom ke3 : |A|= a13 .K13 + a23 . K23+a33K33 39
© Copyright 2024 Paperzz
