T.C. MİLLÎ SAVUNMA BAKANLIĞI HARİTA GENEL KOMUTANLIĞI HARİTA YÜKSEK TEKNİK OKULU ANKARA ÖLÇME BİLGİSİ - I DERS NOTLARI Dr.Müh.Alb. Mustafa ŞİMŞEK ANKARA 2006 1. YÜKSEKLİK ÖLÇÜSÜ Ortometrik ve dinamik yükseklik kavramlarına girmeksizin pratik jeodezide yükseklik, bir noktanın deniz yüzeyinden düşey uzaklığı olarak tarif edilir. Yatay ölçülerde belirli büyüklükteki sahalar içinde deniz yüzeyini düzlem kabul etmek mümkünse de, yükseklik ölçülerinde yerin küreselliğinin dikkate alınması gerekir. Bu, ya ölçü sırasında ya da hesap sırasında mümkün olur. Pratikte ölçülen, yükseklik değil yükseklik farklarıdır. Bu bakımdan küçük ölçü işlemlerinde lokal bir yatay düzlem yüksekliğe esas alınabileceği gibi deniz yüzeyinden yüksekliği bilinen bir noktaya bağlamak suretiyle deniz yüzeyinden olan yükseklikler de hesaplanabilir. Yükseklik Ölçülerini üç bölüm altında incelemek mümkündür; a) Geometrik yükseklik ölçüsü (Nivelman), b) Trigonometrik yükseklik ölçüsü, c) Barometrik yükseklik ölçüsü. Geometrik yükseklik ölçüsüne nivelman ismi verilir. Nivelmanın ana prensibi ölçü konusunun üzerinde teşkil edilecek bir yatay düzlemden olan düşey uzaklıkların ölçülmesidir. Uzaklıkların farkı noktalar arasındaki yükseklik farkına eşittir. Trigonometrik yükseklik ölçüsünde ise, iki noktadan geçen düşey düzlem üzerinde noktaların bağlantı doğrusu ile yatay ve düşey doğrultularının meydana getirdiği dik üçgenlerden faydalanılır (Şekil 2). Burada dik üçgenin bir açısı ile noktalar arasındaki yatay uzaklığın bilinmesi halinde Δh yükseklik farkını hesaplamak mümkündür. Barometrik yükseklik ölçüsünde de hava basıncı ile yükseklik arasındaki bağıntıdan faydalanılır. Bilindiği gibi hava basıncı yükseklikle ters orantılı olarak değişir. Bunlardan başka Hidrostatik yöntemle de yükseklik belirlenebilir. Yükseklik farkının ölçülmesinde, her üç yöntemle elde edilen doğruluk dereceleri farklıdır. Geometrik yükseklik ölçüsünde ±1 mm ile ±1 cm, trigonometrik yükseklik ölçüsünde ±1 cm ile ±1 dm ve barometrik yükseklik ölçüsünde ise ±1 m ile ±3 m lik bir doğruluk derecesi elde edilir. 1 Nivelman Düzlemi Şekil 1 Şekil 2 Geometrik Yükseklik Ölçüsü (Nivelman) ve Basit Nivelman Aletleri Geometrik yükseklik ölçüsünde, yukarıda da sözü edildiği gibi, önce konu üzerinde bir nivelman düzleminin meydana getirilmesi lâzımdır. Bu nivelman düzleminin başlıca özelliği bir yatay düzlem olmasıdır. Jeodezide yatay düzlem çekül doğrultusuna dik bir düzlemdir ve belli bir bölge içinde bu düzlem deniz yüzüne paralel kabul edilebilir. Nivelman aletlerinin esası bir nivelman düzlemini gerçekleştirmeye yarayacak bir düzenden ibarettir. En basit şekli ile saydam bir kap içindeki bir sıvı böyle bir düzlemin bir parçası demektir. Tabiatıyla pratikte maksada daha uygun düzenler kullanılmaktadır. Konuya ait noktaların bu düzlemden uzaklığını ölçmek için noktalar üzerine mira denilen bölümlü cetveller düşey olarak tutulur ve nivelman düzleminin bu cetvelleri kestiği noktalar ile konu arasındaki uzaklık cetvel üzerinde okunur (Şekil 3). Basit Nivelman Aletleri a) Su Terazisi: Bileşik kaplardaki su seviyesinin ayni olduğu prensibinden faydalanılarak yapılmış bir alettir. Bir eksen etrafında dönebilen ve iki ucunda düşey birer cam boru bulunan yatay bir metal borunun içine renkli bir sıvı konulmuştur (Şekil 4). Cam borudaki sıvı üst yüzeylerini birleştiren doğru yatay bir doğrudur ve daima nivelman düzlemi içinde kalır. Ölçü için alet miraya göre yöneltilir ve iki sıvı yüzeyinin uzantısının mirayı kestiği nokta okunur. 2 Nivelman Düzlemi Şekil 3 Şekil 4: Su Terazisi A ve B noktalarında yapılan a, b okumaları farkı, şekilden de görüleceği gibi A ve B noktaları arasındaki yükseklik farkını verir: Δh = a - b Okumalar çıplak gözle yapıldığından mira ile alet arasındaki uzaklık büyüdükçe okuma inceliği azalacağından belirli bir uzaklıktan (örneğin 10-15 m) sonra okuma yapılmamalıdır. Su terazisinin diğer bir şekli de hortumlu su terazisi olup bu alette iki cam boru bir hortumla birleştirilmiştir. Böylece nivelman düzlemine ait sıvı yüzeylerini miraların yanına getirmek ve dolayısıyla okuma inceliğini arttırmak mümkün olur (Şekil 5). 3 Şekil 5: Hortumlu su terazisi Şekil 6: Düzeçli lata b) Düzeçli latalar: Düzeçli latalar, genellikle 3 m uzunluğunda bir ana lata ile kare kesitli, bölümlü bir latadan ibarettir. Ana latanın alt AB kenarı bir L düzeci yardımı ile yataylanır. Bunu temin etmek için düzeç ekseninin AB kenarına paralel olması gerekir (Şekil 6). Bu şekilde alçak noktaya tutulan bölümlü bir lata üzerinde yataylanmış ana miranın gösterdiği miktar yükseklik farkını verir. c) Diyopterli nivo: Düzeç ve düzeç eksenine paralel bir gözlem doğrusu sağlayan bir diyopter düzeninden ibarettir. Düzecin ayarlı halinde diyopter ekseni nivelman düzlemine ait bir doğru olur ve mirada çıplak gözle okuma yapılır (Şekil 7). Şekil 7: Diyopterli nivo d) El nivosu: El nivoları bir diyopterli nivo olup, düzeç kabarcığının görüntüsü bir ayna veya prizma yardımı ile gözlem doğrultusuna getirilmiştir. Kaba ölçüler için göz yüksekliğindeki nivelman düzlemini gerçekleştirmeye yarar. e) Klizimetre: Bakılan nokta ile göz arasındaki eğimi ölçmeye yarayan aletlere klizimetre denir. Abney ve Meridian tipi klizimetre olmak üzere iki tip klizimetre vardır. 4 NİVOLAR Bundan önceki bölümde bahsedilen basit nivelman aletleri gerek doğruluk ve gerekse verim bakımından bu bölümde göreceğimiz nivolara nazaran çok düşüktürler. Ancak beklenen doğruluk derecesi az olan işlerde ve zorunlu hallerde kullanılmalıdırlar. Doğruluk derecesi yüksek ölçüler nivo veya nivelman aleti denilen optik/sayısal aletlerle yapılır. Nivolarda da yine bir sıvı yüzeyinin yataylığı prensibinden faydalanılmakta ve bu maksatla hassas bir silindirik düzeç kullanılmaktadır. Bunun yanında, basit nivelman aletlerine nazaran en önemli farkı, gözlemin çıplak gözle değil bir ölçü dürbünü yardımıyla yapılmasıdır. Nivolarda nivelman düzlemi, ölçü dürbününün düzeç eksenine paralel olan yöneltme ekseni ile temin edilir. Bir nivonun yapısı iki kısımda incelenebilir : a) Alt yapı : Sehpa üzerine oturur. Üçayak ve bir küresel düzeçten ibarettir. b) Üst yapı : Düzeç, dürbün ve dürbün taşıyıcısından ibarettir. Dönebilir bir şekilde alt yapı içine yataklanmıştır. Bu sayede dürbün asal eksen denilen düşey bir eksen etrafında dönebilir. Dürbünü istenilen yöne yöneltmek için tespit ve ince ayar vidaları vardır. Bazı nivolarda gerektiğinde yatay açıyı kabaca ölçmeye yarayan bir yatay açı düzeni de bulunur. 5 Şekil 8 : Bir nivonun yapısı Şekilden de görüldüğü gibi bir nivoda başlıca üç eksen vardır: a) Düzeç ekseni, b)Yöneltme ekseni, c) Asal eksen. Yöneltme ekseninin yataylığı, buna paralel olan düzeç ekseni yardımı ile sağlanacağından düzecin gereği incelikte ayarlanabilmesi gerekir. Bunu sağlamak için modern nivolarda düzecin büyük bir incelikle ayarlanmasını sağlayan optik gözleme düzenleri vardır. Bu düzende bir prizma sistemi ile kabarcığın iki ucunun beraberce gözlenmesi sağlanır. Nivoların diğer bir ortak özelliği de düzeç ve dürbünün bir ayar düzeni ile birbirine bağlı olmasıdır (Şekil 9). Bu sayede düzeç ve yöneltme eksenlerinin paralelliğini sağlamak mümkün olur. Şekil 9: (B düzeç ayar düzeni) Nivolar, genel hatları ile şu dört bölümde incelenebilir: a) b) c) d) e) f) Sabit dürbünlü nivolar, Fenkelajlı nivolar (eğim vidalı nivolar), Tersinir nivolar, Kompansatörlü nivolar. Optik mikrometreli nivolar Sayısal nivolar 6 a) Sabit Dürbünlü Basit Nivolar Basit nivolarda dürbün ve dürbün taşıyıcısı sabit olarak birbirine bağlanmıştır. Şekil 10: Basit b) F e n k e l a j l ı N i v o l a r Sabit nivolardakinin aksine bu tip nivolarda dürbün ve dürbün taşıyıcısı bir fenkelaj düzeni ile birbirine bağlanmıştır. Fenkelaj düzeninde dürbün, objektif tarafında bir mafsal, oküler tarafında da bir vida ile dürbün taşıyıcısına bağlanmıştır (Şekil 11). F vidası döndürüldüğünde dürbünün taşıyıcıya nazaran eğimi değişir ve bu sayede dürbünü yöneltildiği her yönde düzeci ayarlamak, yâni nivelman düzlemine sokmak rahat bir şekilde mümkün olur. F Şekil 11: Fenkelajlı c) Tersinir Nivolar Bu tip nivolarda dürbün kendi ekseni etrafında 200 grad dönebilir. Bu dönüşü düzeç de dürbünle beraber yaptığından, düzecin çift yüzlü olması gerekir. Bu düzen sayesinde dürbünün her iki durumunda okuma yapılarak eksen hatasının etkisiz hale getirilmesi mümkündür. 7 d) Kompansatörlü Nivolar Nivelman işlerinde belli bir doğruluk derecesi elde edilmek istendiğinde dürbünün yöneltme ekseninin daima bir nivelman düzlemi içinde hareket etmesi gerekir. Teorik olarak bu, yöneltme ekseninin asal eksene dik olması ve asal ekseninin de düşeylenmesi ile sağlanabilir. Nitekim sabit dürbünlü basit nivolar bu düşünceye dayanarak yapılmışlardır. Halbuki pratikte asal eksenin yöneltme eksenine dikliğini ve düşeyliğini bu iş için gerekli doğruluk derecesinde gerçekleştirmek mümkün değildir. Bu bakımdan her doğrultuda yöneltme ekseninin yataylığını ayrı bir ayar işlemi ile düzelten fenkelajlı nivolar yapılmış ve bu sayede nivelmanda yüksek doğruluk dereceleri elde edilmesi mümkün olmuştur Her doğrultuda fenkelaj düzeni ile ayar yapma külfetini ortadan kaldıran kompansatörlü nivolarda, alet küresel düzeç yardımı ile bir defa kabaca düzeçlendikten sonra, yöneltme ekseninin yataylığı bir kompansatör yardımı ile sağlanmaktadır. Bu sayede fenkelajlı nivolarda silindirik düzecin her defasında ayarlanması suretiyle yataylanan yöneltme ekseni otomatik olarak, herhangi bir zaman ve emek kaybına ihtiyaç göstermeden yataylandığından ölçülerde büyük bir hız ve kolaylık sağlanmış olur. Bir ölçü dürbünün yöneltme ekseni objektifin optik merkezi ile kıllar şebekesinin kesim noktasını birleştiren doğru olarak tarif edilmişti. Eğer bu eksen yatayla bir α açısı yapıyorsa kompansatörün vazifesi bunu α açısı kadar kırarak tekrar yatay düzlem içine sokmaktan ibarettir. Yöneltme ekseni α kadar eğikken objektifin optik merkezinden geçen bir yatay ışın artık H yatay kılına isabet etmez ve yatay kılın dışında bir H' noktasına gelir (Şekil 12). Işın, kıllar şebekesinden s uzaklığındaki bir K noktasında f/s=β/α=n oranını sağlayacak β açısı kadar kırılırsa, kıllar şebekesi düzlemini yatay kıl üzerinde deler. Bu halde yöneltme ekseninin eğikliği giderilmiş olur. Daha doğrusu dürbünün yöneltme ekseni artık HKM kırık ışınıdır ve K noktasındaki kırılma açısı dürbünün α eğikliğinin bir fonksiyonu olarak değişir. 8 Şekil 12: Kompansatörlü nivonun prensip şeması Nivelmanda Kullanılan Yardımcı Aletler Noktaların nivelman düzleminden uzaklığını ölçmek için kullanılan miralar, genellikle ağaçtan yapılmış 3-5 m uzunluğunda, takriben 10 cm genişliğinde santimetre bölümlü latalardır. Sağlam ve düzgün olması için miralar iyi cins fırınlanmış ağaçtan özel olarak yapılırlar. Taşınmasını kolaylaştırmak için miralar ekseriyetle katlanabilir olarak yapılmaktadır. Hassas nivelman miraları invar miralar olup tek parçadırlar (genellikle 3 m) ve zarar görmemesi için sandıklar içinde taşınırlar. Miraların bölümleri genellikle santimetreye kadardır. Kolay okunmalarını sağlayacak çeşitli bölüm düzenleri vardır ve desimetrede bir numaralanmışlardır. Ölçü dürbünleri genellikle ters görüntü verdiklerinden miraların rakamları dürbünde düz görülecek şekilde ters yazılmışlardır. Fakat düz görüntü veren dürbünler için düz yazılmış miralar da vardır. Sayısal nivoların miraları barkotlu olarak yapılmışlardır. Mira okumaları, alet miraya yöneltildikten sonra okuma düğmesi kullanılarak otomatik olarak yapılır. 9 Şekil13: Mira tutamakları Şekil 14: Küresel düzeç Şekil 15: Mira desteği Miraların, düşey olarak rahat ve emin bir şekilde tutulabilmesi için göğüs yüksekliğinde iki tutamağı bulunur (Şekil 13). Miraların düşeyliği takriben 1 metre yükseklikte miraya bağlı bir küresel düzeçle kontrol edilir (Şekil 14). Küresel düzecin kontrolü ve düzeltilmesi düşeyliği bilinen bir bina kenarı veya çekül ile yapılır. Ölçü sırasında hareketsiz olarak tutulabilmeleri için mira bir jalonla desteklenebileceği gibi bu maksatla yapılmış özel destekler de vardır (Şekil 15). Arazide miraların sağlam ve belirli noktalara tutulması gerekir. Buna imkân vermeyen yerlerde birkaç kilo ağırlığında mira altlıkları kullanılır. Bunların toprağa batacak sivri uçları ve miranın oturacağı pimleri vardır. Nivelman Noktalarının işaretlenmesi Nivelman noktalarının işaretlenmesi, maksada uygun olarak geçici ve sürekli olur. Geçici işaretleme, işin cinsine göre ağaç kazık vb. gibi geçici işaretleme şekillerinden biri ile olabilirse de, sürekli kalması gereken nivelman noktalarının sağlam zeminli yerlerde seçilmesi, kayma, çökme gibi olaylara maruz arazilerde olmaması gerekir. Nivelman noktaları meskûn yerlerde sağlam binaların duvarlarında nivelman demirleri ile işaretlenir. Şekil 16 da iki ayrı nivelman röperini göstermektedir. Bunlar atmosfer şartlarına dayanabilecek galvanizli demirden olup duvarlar içinde açılacak oyuklara çimento harcı konarak kımıldamayacak şekilde yerleştirilirler. Açık arazide tesis edilen nivelman betonlarında ve toprak altındaki temel duvarlarında da buna benzer şekilde nivelman demirleri yerleştirilir (Şekil 17). Şekil 16: Nivelman röperleri 10 Dış tesirlerin ve meraklıların tahribatından korumak için önemli nivelman noktalarını toprak altında tesis etmek lâzımdır (Şekil 18). Şekil 17a : Nivelman yerüstü röperleri Şekil 17b:Bronzun kesiti Şekil 18: Açık arazide röper noktalarının yer altında belirlenmesi Nivonun Eksenleri Nivonun eksenleri ve bunlar arasındaki bağıntılar şu şekilde sıralanabilir: 1) Düzeç ekseni, asal eksene diktir, 2) Yöneltme ekseni, düzeç eksenine paraleldir, 3) Küresel düzecin teğet düzlemi asal eksene diktir, 4) Kıllar şebekesinin yatay kılı yatay olmalıdır. Tersinir nivolarda bu bağıntılara ilaveten şu koşullar da vardır: 5) Dönme ekseni, yöneltme ekseni ile çakışmalıdır. 6) Dönme ekseni, düzeç eksenine paralel olmalıdır. Nivelman işlemine başlamadan evvel, yukarıdaki şartların sağlanıp sağlanmadığı kontrol edilmeli, eğer şartlar sağlanmıyorsa hatalar giderilmelidir. 11 Yöneltme Ekseninin Düzeç Eksenine Paralelliği Yöneltme ekseninin, düzeç eksenine paralellik şartı, bir nivoda aranacak en önemli bağıntıdır. Bu şartın kontrolü ve düzeltilmesi için çeşitli yöntemler vardır. 1. Yöntem : Birbirinden 40-60 metre uzaklıkta A ve B gibi iki nokta tespit edilir. Alet iki noktadan eşit uzaklıkta bir C noktasına kurulur. Ancak C nin AB nin doğrultusunda olmasına gerek yoktur. Önemli olan C nin A ve B ye olan uzaklıklarının eşitliğidir. Şekil 19 A ve B noktalarındaki miralarda okuma yapmak suretiyle iki nokta arasındaki yükseklik farkı : HB - HA = Δh = a1 – b1 (1) olur. 12 Yöneltme ekseni düzeç eksenine paralel değilse, düzecin ayarlanmış halinde yöneltme ekseni yatayla bir e açısı yapar. Şekil 19 da görülen ölçü düzeninde yapılan a'1 , b'1 okumaları bu ε eğikliği dolayısıyla e1 ve e2 kadar katalı olacaktır: a1 = a'1 - e1 b1 = b'1 - e2 dolayısıyla Δh = a'1 - b'1 – e1 + e2 dir. Aletten miralara olan S1 ve S 2 uzaklıkları birbirine eşitse, Sa1a'1 ve Sb1b'1 üçgenlerinin eşitlikleri dolayısıyla e 1 = e 2 olacağından Δh = a'1 - b'1 (2) olur. Bu eşitlikten de anlaşılacağı gibi, alet hatalı olsa da iki noktaya eşit uzaklıkta yerleştirilirse, yapılan okumalardan elde edilen Δh yükseklik farkı hatasızdır. Şekil 20 Bundan sonra alet miraların dış tarafında miralardan birine en yakın görüş mesafesinden biraz öteye (örneğin 2-3 m) kurulur (Şekil 20). Bu taktirde yöneltme ekseninin ε eğikliğinden dolayı A ve B miralarında yapılan a', b' okumaları hatalı olacaktır. 13 Bu durumda Δh1 = a'1 - b'1 (3) yükseklik farkı (2) ile bulunan Δh miktarına eşit olmaz, daha doğrusu Δh ¹ Δh1 olması düzeç ekseni ile yöneltme ekseninin paralel olmadığını gösterir. Eğer Δh = Δh1 ise alet söz konusu paralellik şartını sağlıyor demektir. Aksi halde alette hata vardır ve düzeltilmelidir. Düzeltme işlemi şu şekilde yapılır: İkinci ölçüde yapılan a' okuması miranın alete yakınlığı göz önüne alınarak hatasız kabul edilebilir. Eğer alet hatasız olsa idi, B deki mira üzerinde Δh = a'1 - b ===è (b = a' – Δh) şartını sağlayan b okuması yapılacaktı, işte okunması gereken b okumasını yapıncaya kadar, kıllar şebekesi ayar düzeni ile yöneltme ekseninin eğimi değiştirilir. Daha sonra bir kontrol ölçüsü yapılır. Çünkü a' okuması hatasız kabul edildiğinden küçük bir hata kalmış olabilir. Böyle bir hata varsa bu da giderilir. Örnek : a'1 = 2177 mm a' = 1819 mm Δh = 2177 - 1680 = 497 mm b'1 = 1680 mm b' = 1330 mm Δh1 = 1819 - 1330 = 489 mm ------------497 489 Δh ¹ Δh1 ===è Hata var...! Δh = a'1 - b b = a' - Δh = 1819 - 497 = 1322 mm B deki mira üzerinde 1322 okununcaya kadar kıllar şebekesi hareket ettirilir veya aynı okuma yapılıncaya kadar dürbün fenkelajla eğilir ve kayan kabarcık, düzeç düzeltme vidaları ile ortalanır. Bazen kontrol işleminde ikinci durumda alet miraya yapıştırılır, böylece ilk okumanın yaklaşık olarak hatasız kabul edilmesinden sakınılmış olur. Yapışık miradaki okumayı yapmak için objektifin alt ve üst uçları mira üzerinde işaretlenir, bu iki okumanın ortalaması alınır. 14 2. NİVELMA İŞLEMİ MİRA OKUMASI Nivelmanda mira okumaları, özel durumlar hariç, mm cinsinden yapılır. Normal miralarda cm bölümleri vardır. Okumanın mm kısımları ise tahminle okunur. Şekil 21 de görüldüğü gibi orta kılın mirayı kestiği yerde 15 desimetre ve 4 cm direkt olarak okunmaktadır. Miranın mm kısmı ise göz kararı ile 3 olarak okunmaktadır. Şekil 21: Mira okuması = 1543 mm Mira okumalarının yapıldığı anda miranın düşey tutulması gerekmektedir. Ancak bazı hallerde mirayı eğik tutma zorunluğu olabilir (Örneğin, duvara çakılan röper noktası üzerine, yapının şeklinden dolayı mirayı dik tutmak mümkün olmayabilir). Bu gibi durumlarda miranın eğik tutulmasından dolayı yapılan hata bulunur ve okumaya gerekli düzeltme getirilir. Düzeltme miktarını bulmak için mira okumasının yapıldığı noktadan çekül sallandırılır ve bunun röper noktasından olan uzaklığı ölçülür (Şekil 22). Eğik mesafenin yataya indirgenmesinde olduğu gibi dik uzaklık hesapla bulunur. Şekil 22 15 İKİ NOKTA ARASINDAKİ ÖLÇÜLMESİ YÜKSEKLİK FARKININ İki nokta arasındaki yükseklik farkı, şartlara bağlı olarak aletin değişik üç durumuna göre tayin edilir. Şekil 23 :Nivonun noktalardan birine kurulması Birinci durumda (Şekil 23) alet B noktasına kurulur ve alet yüksekliği a ölçülür. Mira A noktasına konur ve g okuması yapılır. A ve B arasındaki yükseklik farkı ∆h = g – a eşitliğinden bulunur. İkinci şekilde (Şekil 24) alet iki nokta arasına ve noktalardan eşit mesafede olacak biçimde kurulur. Aletin iki noktayı birleştiren hat üzerinde olmasına gerek yoktur. Önce A daki mira üzerinde (g) okuması (geri okuma), B deki mira üzerinde de (i) okuması (ileri okuma) yapılır. Yükseklik farkı ise ∆h = g – i dir. Şekil 24: Nivonun noktaların arasına kurulması 16 Üçüncü şekilde (Şekil 25) ise, arazinin durumu, yukarıda açıklanan iki şeklin kullanılmasına imkân vermiyorsa, alet noktaların dışına yerleştirilir. A da (g) okuması, B de (i) okuması yapılır. Yüksekli farkı ∆h = g – i olur. Bu üç yöntemden ikincisi, yâni aletin iki noktaya eşit uzaklıkta kurulması hali, çeşitli hataları elimine etmesinden dolayı en hassas olanıdır. Şekil 25: Nivonun iki noktanın dışına kurulması HAT N İVEL MANI İki nokta arasındaki mesafe büyük ise (nivelmanda normal okuma mesafesi 50 - 60 m) veya noktalar arasındaki yükseklik farkı büyük ise, yükseklik farkı aşağıda izah edilen şekilde bulunur (Şekil 26). Şekil 26: Hat nivelmanı 17 1 ve 5 arasındaki yükseklik farkını bulmak için 1 ve 2 noktalarına mira tutulur ve alet bu iki noktanın arasına ve her iki mirayı da görebilecek şekilde bir a1 noktasına yerleştirilir. Bu mümkün değilse 2 nin yeri değiştirilir. a 1 de g 1 geri okuması ve i2 ileri okuması yapılır. Bundan sonra alet a2 ye kaldırılır. 2 deki mira yerinde kalır, fakat dikkatli bir şekilde yeni alet istasyonuna döndürülür. 1 deki mira ise 3 numaralı noktaya taşınır. Bu durumda (g2 ) geri okuması ve (i3) ileri okuması yapılır. İşleme 5 noktasında en son ileri okuyuşu yapılıncaya kadar devam edilir. Eğer 1 ve 5 noktaları arasındaki yükseklik farkı isteniyorsa, [g] geri okumaların toplamından, [i] ileri okumaların toplamını çıkarmak gerekir. 1 ve 5 noktaları arasındaki yükseklik farkı +3.838 m dir. Nokta No Geri okuma İleri okuma 1 g1 2 i1 2 g2 3 i2 3 g3 4 i3 4 g4 5 i4 1620 0835 2325 0690 1980 2018 3423 1967 + 9348 - 5510 --------+ 3838 - 5510 2, 3, 4 noktalarındaki yükseklik farklarının da bulunması istenirse, bu farklar aşağıdaki örnekte olduğu gibi hesaplanır. Burada her noktada yapılan 18 okumalar ayni satır üzerine yazılır. Yükseklik farklarının yazılması için g - i sütunu açılır. ∆h değerleri (gn – in + 1) bağıntısından bulunur, g okumaları toplamı ile i okumaları toplamının farkı 1 ve 5 noktaları arasındaki yükseklik farkını verir. Ayni değer (g - i) farklarının toplamından da elde edilir. Bundan dolayı [g] - [i] = [g - i] kontrolü yapılır. Nokta No Geri okuma İleri okuma g-i + 1 - 1620 0785 2 2325 0835 1635 3 1980 0690 0038 4 3423 2018 5 1456 1967 9348 5510 [g] - [i] = 3838 3876 0038 [g - i] = 3838 Eğer başlangıç ve bitiş noktalarının yükseklikleri bilinmiyorsa nivelman gidiş ve dönüş olarak iki defa yapılır. Böylece devre kapatılmış olur. Bu durumda geri ve ileri okumaların toplamları eşit olmalıdır. Fakat bu iki toplam arasında daima bir fark vardır. Elde edilen bu miktar sistematik hatalarla, tesadüfü hataların bir kombinasyonudur ve kapanma hatası olarak adlandırılır. Örneğimizde 1 ve 5 noktaları arasındaki yükseklik farkı 3.838 m olarak bulunmuştur. Eğer ayni noktalar arasında bir dönüş yaparak yükseklik farkını 3.844 m olarak bulursak, burada kapanma hatası 6 mm dir. Bu iki değerin ortalaması olan 3.841 m 1 ve 5 noktaları arasındaki yükseklik farkıdır. 6 mm lik kapanma hatası, her nokta için bulunan iki değerin ortalamasının alınmasıyla elimine edilir 19 Gidiş Geri okuma İleri okuma Nokta No 1 Farklar + - 1620 0785 2 2325 0835 1635 3 1980 0690 0038 4 3423 2018 5 1456 1967 9348 5510 [g] - [i] = 3838 3876 0038 [g - i] = 3838 Dönüş Nokta No Geri okuma İleri okuma Farklar + 5 - 1223 1456 4 1420 2679 0036 3 980 1384 1637 2 615 2617 1 0787 1402 4238 8082 [g] - [i] = 3844 20 0036 3880 [g - i] = 3844 Nivelman hesapları daima arazide tanzim edilen karneler üzerinde yapılmalıdır. Çünkü karnedeki bilgiler başka yere nakledilirken bir takım yanlışlıklar yapılabilir. Bu sebepten nivelman karnelerine bu hesapların yapılacağı sütunlar eklenir. Örneğimizde 1 ve 5 noktalarının yüksekliklerinden başka diğer noktaların da yüksekliklerini bulmak istersek gidiş ve dönüşte bulunan farkların ortalaması alınır ve bu değerler başlangıç noktasının yüksekliğine arka arkaya ilâve edilerek yükseklikler bulunur. Nokta Yükseklik farkları Yükseklik No Gidiş Dönüş Ortalama (m) 1 620.160 + 0785 + 0787 + 0786 2 3 4 620.946 + 1635 + 1637 + 1636 - 0038 - 0036 - 0037 + 1456 + 1456 + 1456 5 622.582 622.545 624.001 3838 3844 3841 3.841 Gidiş ve dönüş sütunlarının toplamlarının ortalaması, ortalama sütununun toplamına eşit olmalıdır. Yüksekliklerin kontrolü, son ve baştaki noktaların yüksekliklerinin farkının, ortalama sütununun toplamına eşit olmasıyla sağlanır. Eğer gidiş ve dönüş olarak yapılan nivelmanda başlangıç ve bitiş noktalarının yükseklikleri belli ise, ortalamaların toplamı başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki yükseklik farkına eşit olmalıdır. Arada bir fark mevcutsa, bu miktar eşit olarak dağıtılır. 21 Nivelman hattı dışında bir noktanın yüksekliğini belirlemek gerektiğinde, boyuna ve enine kesitlerin çıkarılmasında, baz ölçüsünde nivelman yapılırken geri ve ileri okumalar arasında yapılan okumalar ara okuma olarak kaydedilir. İşlemi bir örnek üzerinde açıklayalım. A ve B noktaları arasındaki yükseklik farkı 0.843 m dir. Geri okumaların toplamı [g] = 4386 ve ileri okumaların toplamı [i] = 5223 ve farkları ise 837 dir. Ölçülen yükseklik farkı, bilinen yükseklik farkından 6 mm azdır. Kapanma hatası olarak adlandırılan 6 mm lik fark, geri okumaların azaltılması, ileri okumaların arttırılması ile düzeltilir. Geri ve ileri okumaların sayısı 8 dir. Her okumaya düşen düzeltme miktarı – 0.75 mm dir. Küsuratı ortadan kaldırmak için 6 noktaya birer mm dağıtılır. Örnekte de görüldüğü gibi, ara noktalardaki (o) okumalarına düzeltme getirilmez. Çünkü nivelman hattı geri ve ileri okumalarla birbirine bağlanır. Bundan dolayı ara okumalarda yapılan bir hata kontrol edilmemiş olur. Bunu da önlemek için bir dönüş nivelmanı yapılır. Bu şekilde ara okumalar da kontrol edilmiş olur. Diğer taraftan ara noktaların yüksekliklerinin hesaplanması kontrollü olarak yapılabilir. Kapanma hatasının geri ve ileri okumalara yukarıda açıklanan şekilde dağıtılmasından sonra, yükseklik farkları sürekli olarak bulunur. Negatif ve pozitif yükseklik farklarının toplamları arasındaki fark başlangıç ve bitiş noktaları arasındaki yükseklik farkına eşit olmalıdır. Bütün noktaların yükseklikleri, yükseklik farklarının başlangıçtan itibaren sürekli olarak ilave ve çıkarılmasıyla elde edilir. Son noktaya gelindiğinde bu noktanın yüksekliği elde edilmelidir. Aksi takdirde yükseklik hesabında bir hata var demektir. 22 P A Okumalar Geri Ara İleri gA 0721 a3 a4 - 1 g A – i1 0961 1 i1 1 g1 a oa 1964 b ob 0998 2 i2 2 g2 a oa 0903 b ob i3 0988 3 Yükseklik 795.243 a1 a2 Farklar + 0241 795.002 -1 2126 795.002 g1 - oa 6161 oa - ob 0966 796.129 -1 ob - i2 0791 0206 796.335 795.163 0641 796.335 g2 - oa oa - ob -1 1324 ob - i2 -1 0898 0262 796.073 0085 795.988 0337 795.651 1224 795.651 3 g3 a oa 2121 oa - ob b ob 1029 o b - oc 0617 795.519 c oc 1646 oc - od 0129 794.902 d od 1775 o d - iB 0373 794.773 B iB g3 -oa 4386 - 5223 ------- 0837 - 0843 Kapanma hatası = 6 mm -1 2147 794.427 1092 794.400 5223 2425 23 3268 2425 ------- 0843 - 0.843 YÜZEY N İV E L M A N I Bir parsel veya benzeri bir arazi parçasının yükseklik bakımından durumunu tayin etmek için, arazinin yeteri sıklıkta noktasının yüksekliğinin ölçülmesi gerekir. Yükseklik farkı büyük olmayan yerlerde bu maksatla yüzey nivelmanı ile söz konusu noktaların yüksekliklerini ölçmek mümkündür. Ancak yüksekliği ölçülen noktaların yatay konumlarının da ayrıca belirlenmesi gerekir. Alet, ölçülecek sahanın içinde veya kenarında bir noktaya kurularak düzeçlendiğinde arazinin üzerinde bir nivelman düzlemi meydana getirilmiş olur. Nivelman düzleminin yüksekliği istasyon noktasının yüksekliğine alet yüksekliğinin ilâvesi ile veya yüksekliği bilinen bir başka noktaya geri okuması yapmak suretiyle bulunur. Arazi noktalarına tutulacak miralarda okunan değerler nivelman düzlemi yüksekliğinden çıkarılırsa söz konusu noktaların yükseklikleri elde edilmiş olur. Bu şekilde bir istasyondan yüzey nivelmanı yapılacak alanın büyüklüğü sınırlıdır. Nİvelman düzleminden daha yüksekte ve nivelman düzleminden bir mira boyundan (3 veya 4 m) alçakta bulunan arazi noktalarının yüksekliklerini ölçmek mümkün olmaz. Arazi parçasını bu yüzden bir nivelman düzlemi ile ölçmek mümkün olmuyorsa iki veya daha fazla noktaya alet kurmak gerekli olur. Şekil 27 : Yüzey nivelmanında nivelman düzlemi 24 Ölçülen noktaların yatay konumları arazinin mevcut bir plânından faydalanılarak tayin edilebileceği gibi ölçü sahasını kaplayan bir kare ağı zemine aplike edilebilir ve bu ağın köşe noktaları ile önemli detayların (yol, dere v.s. gibi) ağ kenarlarını kestiği noktaların yükseklikleri ölçülür. Ağı teşkil eden karelerin büyüklüğü araziye ve ihtiyaca göre tayin edilir (Şekil 28). Şekil 28 : Yüzey nivelmanı ağı Yatay açı bölüm daireleri ve kıllar şebekesinde mesafe çizgileri bulunan nivolarla yüzey nivelmanı yaparken noktaların yüksekliği ile beraber yatay konumlarını da belirlemek mümkündür. Mesafe çizgilerinin mira üzerinde ayırdığı parçanın 100 katı olarak yatay uzaklık ve açı okuması ile de doğrultu tayin edilebilir. Bu maksatla yapılacak ölçü işlemi şöyle özetlenebilir: 1. Düşey kıl miranın ortasına tatbik edilir ve yatay açı okunur, 2. Düzeç ayarlanır ve mirada (i) okuması yapılır, 3. Yöneltme ekseni fenkelaj vidası ile üst mesafe çizgisi en yakın desimetre bölümüne gelinceye kadar eğilir ve S mesafesi okunur. Mesafenin bulunması bir örnek üzerinde açıklanırsa; yatay açı okunduktan sonra, yükseklik için orta kılın gösterdiği 0.419 okunur (Şekil 29). Üst kıl dikkatli bir şekilde 0.300 e getirilir ve yatay mesafe 0.623 – 0.300 = 0.323x100 = 32.3 m olarak elde edilir 25 Şekil 29 : Nivelmanda uzaklığın takeometrik olarak ölçülmesi KESİTLERİN ÇIKARILMASI İnşaat işlerinde kesitlerin çıkarılması sık sık karşılaşılan bir iştir. Kesitler istenilen bir hat boyunca çıkarılırsa bunu boyuna kesit veya profil, bu hatta dik istikametlerde alman kesitlere de enine kesit denir. BOYUNA KESİT Demiryolu, karayolu, kanal, yüksek gerilim hattı v.s. nin işaretlenmesi ve ölçümesi için, boyuna kesitlerin çıkarılmasına ihtiyaç vardır. Kesiti çıkarılacak hat üzerinde eğimin değiştiği noktalara (arazinin karakteristik noktalarına), bazı özel noktalara (örneğin, hektometrelere...), eğim değişmiyorsa bile 20 m de bir kazık çakılır ve bunlara başlangıçtan itibaren numara verilir ve bu numaralar kazıkların üstüne yazılır. Bundan sonra noktaların uzaklıkları başlangıç noktasından itibaren sürekli olarak ölçülür ve bu mesafeler de kazıklara yazılır. Sonra noktalar arasındaki yükseklik farkı ölçülür. Yükseklik farkının 26 hesaplanmasında bundan önceki örneklerde olduğu gibi bir yol takip edilebileceği gibi, aşağıda açıklanan şekilde de yapılabilir. Şekil 30 : Boyuna kesit nivelmanı Kesit çıkarmada örnekte de görüleceği gibi mira okumaları cm cinsinden yapılır. Şekil 30 daki kesitin başlangıç noktası olan 1 noktasının yüksekliği 184.35 m dir. Eğer bu miktara geri okuma olan 0.65 eklenirse nivelman düzleminin yüksekliği bulunmuş olur. Yani bütün noktalara 184.35 + 0.65 185.00 m yüksekliğinde bakılmıştır. Diğer noktaların yükseklikleri bu miktardan, noktalarda yapılan mira okumalarının çıkarılması ile elde edilir. Ayni işlem aletin her yeni durumu için uygulanır. Eğer başlangıç ve bitiş noktalarının yükseklikleri belli ise, kapanma hatası bulunur ve gerekirse dağıtıldıktan sonra noktaların yükseklikleri hesaplanır. Kesitlerin çiziminde, kolaylık sağlamak için milimetrik kâğıt kullanılır. Çizimde kullanılacak ölçek, yapılacak işin mahiyetine göre belirlenir. Yeryüzünün engebelerinin daha iyi belirlenmesi için düşey ölçek ekseriya yatay ölçeğin 10 katı olarak alınır (örneğin, yatay ölçek 1/2 000 ise, düşey ölçek 1/200 alınır). Şekil 31 de görüldüğü gibi kıyas çizgisinin altına beş/yedi yatay bölüm açılır, ilk satır yapılacak tesis hattının yüksekliğini yazmak için boş bırakılır (kırmızı kot). İkinci satıra arazi noktalarının yükseklikleri (siyah kot), üçüncüsüne kazık numaraları, dördüncüsüne ara mesafeleri, besinciye başlangıca olan mesafeleri ve açılmışsa; altıncıya hektometreler, yedinciye kilometreler yazılır. Kesitin maksadına göre bunların altına başka satırlar da açılabilir. Kıyas çizgisi üzerinde yatay mesafeler alınır ve buradan çıkılan dikler üzerinde yükseklikler işaretlenir. Bunun için kıyas çizgisine bir yükseklik verilir ve işaretlemeler buna göre yapılır. Doğal olarak kıyas çizgisine verilen yükseklik yuvarlak bir değerdir. Eğer noktalar bu şekilde kâğıda sığmıyorsa kesit bir noktada bırakılır ve kıyas çizgisinin yüksekliği değiştirilerek devam edilir. İşaretlenen noktalar birer doğru ile birleştirilir (Şekil 32). 27 Boyuna Kesit Nivelman Karnesi P Okumalar Geri 1 Ara Yükseklik İleri 0.65 184.35 a 0.90 184.10 b 1.75 183.25 c 1.88 183.12 d 2.18 182.82 2 2.03 2.45 182.55 a 2.83 181.75 b 2.75 181.83 c 2.03 182.55 d 1.94 182.64 3 2.83 Nivelman Düşünceler Düzlemi Yüksekliği 0.88 183.70 a 2.64 183.89 b 1.78 184.75 4 1.64 . . . . . . 185.00 184.58 186.53 184.89 KESİTLERİN ÇIKARILMASI Yeryüzünün bir geçki boyunca düşey düzlem ile ara kesitine boyuna kesit adı 28 verilir. Boyuna kesit doğrultusuna dik bir düzlem ile yeryüzünün ara kesitine de enine kesit adı verilir (Şekil 3. 7.). Karayolu, demiryolu, kanal, kanalizasyon gibi bir hat boyunca uzanan inşaat işlerinde, arazinin topografik yapısını daha iyi görmek ve böylece bu topografik yapıya en uygun projenin hazırlanmasını sağlamak, ayrıca kazıdolgu gibi toprak işlerinin hesaplarını kolayca yapabilmek için boyuna ve enine kesitlerden faydalanılır. ENİNE KESİTLER BOYUNA KESİT HATTI Şekil 27 : Boyuna ve Enine Kesitler BOYUNA KESİT Boyuna kesit noktaları, işin amacına uygun şekilde belirlenen 20, 30, 50 veya 100 m gibi sabit aralıklarla projenin orta ekseni boyunca başlangıçtan itibaren arazide belirlenirler. Bu noktaların tesisinde genellikle ahşap kazıklar kullanılır. Sabit aralıklarla belirlenen bu noktaların dışında, hat boyunca belirlenmesi gereken karakteristik yerler (boyuna kesit hattının arazideki bir yolu kestiği yerler vb.), ve arazinin eğiminin hat boyunca değiştiği bütün yerler de boyuna kesit noktaları olarak tesis edilirler. Her boyuna kesit noktası başlangıca olan uzaklığına göre isimlendirilir. Bu isimlendirme hattın uzunluğuna göre (kilometre + metre) veya (hektometre + metre) şeklinde yapılır. Bu durumda başlangıçta bulunan ilk kazık 0+00 ve diğer kazıklar ise 0+75, 1+25 şekillerinde ifade edilmiş olurlar. Boyuna kesit noktalarının arazide belirlenerek tesis edilmesinden sonra sırayı, bu noktaların yüksekliklerinin bulunması amacıyla nivelman işleri alır. Genellikle geometrik nivelman yöntemi hızlılığı açısından tercih edilmekle birlikte total station'lar yardımıyla trigonometrik nivelmanla da yüksekliklerin belirlenmesi yoluna gidilebilir. Noktaların birbirlerine çoğu zaman yakın olmaları nedeniyle, geometrik nivelmanda nivonun bir kez kurulmasında ikiden fazla boyuna kesit noktasında mira okumaları yapılabilir. Birçok inşaat işinde boyuna kesit noktalarında mira okumalarının santimetreye kadar yapılması yeterlidir. Bir hat boyunca ilerleyen nivelmanlarda tercih edilen geometrik nivelman çeşidi bağlı poligon nivelmanıdır. Boyuna kesit nivelmanlarının asıl amacı, proje hattı boyunca yeryüzünün düşeyle 29 yaptığı ara kesidi bir çizim üzerinde net bir şekilde görebilmek ve hesaplamaları bu çizim üzerinde yapabilmektir. Yükseklikleri ve başlangıca uzaklıkları belirlenen boyuna kesit noktaları ile boyuna kesit çizimleri aydınger veya milimetrik kağıtlara yapılırlar (Şekil 3.8.). 1/50 1/500 91.39 88.75 88.92 5 6 7 8 10 %2 50 3+00 2+00 9 50 2+50 50 28 1+72 22 1+50 20 1+30 30 1+00 50 0+50 BAŞ. UZAK. 50 0+00 ARA UZAK. 86.02 90.26 4 85.90 89.48 89.51 3 3+50 89.58 88.94 2 86.45 89.34 86.47 1 86.88 88.89 90.78 KAZIK NO 89.91 88.76 SİYAH KOT 89.67 KIRMIZI KOT 88.45 80.00 %4 Şekil 28 : Boyuna Kesit Çizimi Boyuna kesit noktalarının arazide belirlenen kotlarına siyah kot ve bu noktaları birleştiren çizgiye siyah çizgi denir. Noktaların projede planlanan yüksekliklerine ise kırmızı kot ve bu kırmızı kotları birleştiren çizgiye de kırmızı çizgi adı verilir. Şekil 28'de de görüldüğü gibi siyah çizgi halihazır araziyi, kırmızı çizgi ise arazinin inşaattan sonra alacağı halini göstermektedir. Boy kesit çizimlerinde düşey konumlarının daha iyi bir şekilde belirlenebilmesi için yatay ve düşey ölçekler farklı alınırlar. Genellikle düşey ölçek yatay ölçekten 10 kat daha büyük seçilir. Örneğin şekilde yatay ölçek 1/500 iken, düşey ölçek 1/50 olarak seçilmiştir. Yükseklikler ölçeğe göre çizilirken bir referansa göre çizilirler. Şekilde bu referans 80 m olarak alınmıştır. Ancak boyuna kesit çizimleri çoğu zaman metrelerce sürebilir. Bu durumlarda tek bir referans seçimi ile çizimin tamamlanması mümkün olmayabilir. Noktaların yerleri arazinin şekline göre kağıdın dışına veya bilgiler hanesinin içine 30 denk gelebilir. Bu gibi durumlarda referans yüksekliği değiştirilerek, yeni referansa göre çizime devam edilmeli, ayrıca yeni referans da çizimde gösterilmelidir (Şekil 29). 1/50 1/500 60.00 80.00 Şekil 29 : Boyuna Kesit Çizimlerinde Referans Yüksekliğinin Değiştirilmesi ENİNE KESİT Enine kesitler ise projenin uygulanacağı ana eksene dik ve sağa-sola 10, 15, 25 m gibi belirli mesafelerde alınan kesitlerdir. Boyuna kesit hattı boyunca arazide belirlenen her ana eksen kazığı için birer enine kesit işlemi yapılır. Ana eksen kazığından sola ve sağa alınacak en kesit mesafeleri uygulanacak projenin genişliğine bağlıdır. Bu mesafeler, proje genişliğinden bir miktar daha uzun olacak şekilde seçilmelidir. Böylece projenin uygulanacağı alanın çevresi hakkında da bilgi edinilmiş olur. Bu şekilde belirli aralıklarla en kesit noktaların belirlenmesinin yanı sıra, en kesit hattının detayları kestiği noktalar ile eğimi değişen her nokta da en kesit noktası olarak belirlenir. Belirlenen bu noktaları arazide tesis etmeye genellikle gerek yoktur. Enine kesit ölçmeleri genellikle nivo ve miraların yardımıyla geometrik nivelmanla yapılabileceği gibi teodolit yardımıyla da yapılabilir. Nivelman ve çelik şerit metre ile uzunluk ölçmeleri gidiş ve dönüş olarak yapılmazlar. Burada, enine kesit ölçmelerinin hızlı bir şekilde yapılması amaçlanmıştır. Bu nedenle de uzunluk ölçmeleri dm, mira okumaları ise cm hassasiyetle yapılabilir. Enine kesit ölçmeleri her zaman boyuna kesitin gidiş yönüne göre en soldaki en kesit noktasından başlanarak, en sağdaki en kesit noktasında son bulacak şekilde yapılırlar. Bu ölçme sırasında mutlaka ana eksen kazığı üzerinde de mira okuması yapılmalıdır. Çünkü enine kesit nivelmanı bir açık poligon nivelmanı şeklinde nitelendirilebilir ve yüksekliği belli tek nokta ise ana eksen kazığıdır. Bir enine kesit nivelmanı yapılırken, mümkünse nivonun bir kez kurulmasında bütün enine kesit noktalarında 31 mira okumalarının yapılmasına gayret edilmelidir. Bir proje uygulamasında çok sayıda enine kesit nivelmanı yapılacağından; her enine kesit ölçmesi, ana eksen kazığının başlangıca uzaklığı ile isimlendirilir. Bu isim, karışıklıkları önlemek amacıyla, ölçme karnesinin üzerine mutlaka yazılmalıdır. 0 + 050 1/500 1/500 5 88.47 86.20 5 88.50 88.20 87.39 88.20 2.8 88.20 2.2 88.21 2 87.95 88.20 3 87.52 88.20 SİYAH KOT 5 87.78 88.20 KIRMIZI KOT 5 88.45 88.20 ARA UZAK. 87.90 88.20 65.00 Şekil 30 : Enine Kesit Çizimi Enine kesitlerin çizimleri yapılırken, boyuna kesit çiziminden farklı olarak yatay ve düşey ölçek birbirine eşit alınır. Bu ölçek, genellikle boy kesit çiziminin yatay ölçeğine eşittir. Ana eksen kazığı, enine kesit çiziminin ortasında yer alır ve numarası Şekil 30 da görüldüğü gibi üste yazılır. Böylece enine kesit çizimlerinin hangi eksen kazığına ait oldukları belirtilmiş olur. Çizime, ölçmelerin yapılışındaki gibi boyuna kesitin gidiş yönüne göre en soldaki enine kesit noktasından başlanarak, en sağdaki enine kesit noktasında bitirilir. Boyuna ve Enine Kesit Nivelman Ölçme ve Hesaplarına Ait Örnekler 1. Bir yol inşaatında yapılacak olan kazı ve dolgu miktarlarını hesaplamak için aşağıda ölçme değerleri verilen boyuna kesit nivelmanı yapılmıştır. Nivelmana, yüksekliği bilinen 10 no'lu (H10 = 924.647 m) noktadan başlanmış, eksen kazıklarında yapılan mira okumalarından sonra, yine yüksekliği bilinen 15 no'lu (H = 924.829 m) 32 noktada bitirilmiştir. Buna göre eksen kazıklarının siyah kotlarını bulunuz. ( Dh = 4 cm [L ]km ) Nok. No 10 1 2 3 4 5 6 7 15 Baş. Uz.(m) 100 0+00 0+20 0+40 0+4225 0+60 0+80 1+00 82 Mira Okumaları (m) Geri Orta İleri 3.845 1.856 2.845 2.457 0.757 3.936 2.656 1.579 2.745 1.239 3.109 1.869 10 15 1+00 0+80 0+60 0+4225 0+40 0+20 0+00 Çözüm: Nivelman yüksekliği bilinen bir noktada başlayarak, yüksekliği bilinen başka bir noktada sona erdiğinden dolayı çözüm, bağlı poligon nivelmanı esaslarına göre tablo üzerinde yapılabilir. Ancak buradaki farklı durum, orta mira okumalarının varlığıdır. Eksen kazıkları genellikle birbirlerine yakın mesafede olduklarından dolayı fazla eğimli olmayan bölgelerde, nivonun bir kez kurulmasında ikiden fazla noktada mira okuması yapılabilmektedir. Bu durumda Dh yükseklik farkları (geri-ileri) eşitliğinin yanı sıra (geri-orta), (orta-orta) ve (orta-ileri) eşitliklerinden de hesaplanacaktır. Nok. No Rs.10 1 Baş. Uz.(m) 100 0+00 Mira Okumaları (m) Geri Orta İleri 3.845 1.856 33 2.845 Dh (m) -4 1.000 -1 H (m) 924.647 925.643 1. Birinci soruda sorulan yol inşaatı çalışmaları için boyuna kesit kazıklarından itibaren 5'er metre arayla ve 20 m sola ve sağa olmak üzere enine kesitlerin geometrik nivelmanla çıkarılması planlanmış ve 0+60 kazığına ait enine kesit ölçmeleri aşağıdaki gibi verilmiştir. Buna göre enine kesit noktalarının kotlarını bulunuz. 34 Nok. No 1 2 3 4 5 0+60 6 7 8 9 10 Mira Okumaları (m) Geri İleri 1.285 2.746 2.746 3.855 3.855 2.578 1.523 2.560 2.560 1.973 1.973 2.775 3.856 1.865 1.865 2.910 2.910 1.540 1.540 1.869 Ek. Kaz. Uz.(m) 20 15 13.5 10 5 0 5 7.2 10 15 20 Çözüm: Enine kesit nivelmanları genel olarak çok kısa bir mesafede yapılabildiklerinden, yükseklik farkları büyük değil ise, bütün noktalarda miralar sadece bir istasyondan dahi okunabilirler. Orta okumaların çok fazla olduğu bu arazi işinde, ölçme karnelerine ayrıca bir orta okuma sütunu açmaya gerek yoktur. Orta okumalar hem ileri hem de geri hanesine yazılarak ayırt edilebilir. Verilenler incelendiğinde nivonun üç istasyona kurulması ile tüm enine kazık noktalarında mira okumalarının yapılabildiği görülecektir. Ölçme karnesinde, ana eksen kazığının üzerindeki enine kazık noktaları, her zaman boyuna kesit hattının gidiş yönüne göre solunda kalan noktalar olacaktır. 0+60 ana eksen kazığında da ölçme yapılmıştır ve enine kesit nivelmanın hesabında yüksekliği bilinen nokta yalnızca bu noktadır. Sonuç olarak enine kesit nivelmanı, bir açık poligon nivelmanı gibi çözülebilir. Burada dikkat edilecek husus, ana eksen kazığından aşağı ve yukarı doğru hesapların doğru olarak yapılmasıdır. Aşağı doğru hesaplar, daha önce anlatıldığı gibi yapılır. Yukarı doğru hesaplamalarda ise yükseklik farklarının ters işaretlisi ile toplama yapılacaktır. Bir boyuna kesit işinde çok sayıda enine kesit ölçme ve hesaplamaları bulunacağından, her karnenin başına ana eksen kazığının ismi büyük bir şekilde yazılmalıdır. Enine kesit nivelmanları bir çeşit açık poligon nivelmanları olduklarından ve sadece bir gidiş ölçmesi şeklinde yapıldıklarından dolayı, karnede gösterilen hesap kontrollerinin mutlaka yapılması önemlidir. 35 0+60 Nok. No Ek. Kaz. Uz.(m) Mira Okumaları (m) Geri 1 20 1.285 2 15 2.746 Dh (m) H (m) İleri 925.550 -1.461 2.746 924.089 -1.109 3 13.5 3.855 3.855 4 10 2.578 1.523 5 5 2.560 2.560 922.980 2.332 925.312 0.018 925.330 0.587 0+60 0 1.973 1.973 925.917 -1.883 6 5 2.775 3.856 7 7.2 1.865 1.865 8 10 2.910 2.910 924.034 0.910 9 15 10 20 1.540 24.087 å Hesap Kontrolleri: åg -åi = åDh 24.087 - 24.697 = -0.610 -0.610 = -0.610 4 1.540 1.869 24.697 924.944 -1.045 1.370 -0.329 923.899 925.269 924.940 -0.610 H SON - HİLK = åDh 924.940 - 925.550 = -0.610 -0.610 = -0.610 4 YÜZEY NİVELMANI Yüzey nivelmanı, havaalanı, helikopter pisti, park ve bahçe düzenlemesi gibi inşaat işlerinde inşaat bölgesinin kotlu planını (plankote) elde etmek amacıyla yapılan bir çalışmadır. Gerçekte bilinen nivelman işlerinden farkı olmamakla beraber, sadece işin başlangıç aşamasında farlılıklar vardır. 36 Kotlu planı hazırlanacak bölge öncelikli olarak belirli aralıklarda karelere ayrılarak, köşe noktalarına birer ağaç kazık çakılır. Bu karelerin boyutu, işin hassasiyetine göre 10 m ile 50 m arasında değişebilir (Şekil 31). Burada amaç, belirlenen her bir noktanın yüksekliğinin işin amacına uygun olarak mm veya cm mertebesinde geometrik nivelman yöntemiyle belirlenmesidir. Daha sonra bu yüksekliklerden faydalanılarak inşaat sahasında yapılacak olan toprak işleri (hafriyat çalışmalarının hacmi) kolaylıkla hesaplanabilir. İnşaat sahasında belirlenen karelerin boyutu ne kadar küçük olursa, hafriyat hesaplarının doğruluğu o derece artacaktır. Kareler ağının tamamlanmasından sonra, geometrik nivelman yöntemiyle bu noktaların yükseklikleri belirlenebilir. Ölçme hatalarından kaçınmak ve kontrolü sağlamak amacıyla bağlı poligon nivelmanı yapılması uygundur. Yüzey nivelmanında da nivonun bir kuruluşunda çok sayıda noktada mira okuması yapılabilmektedir. Yani boyuna ve enine kesit ölçmelerindekine benzer bir şekilde, bu ölçme işinde de çok sayıda orta okuma mevcut olacaktır. Şekil 31 :Bir İnşaat Sahasında Yüzey Nivelmanı için Kareler Ağının Oluşturulması Total station'ların kullanımda yaygınlaşması ile kotlu planların trigonometrik nivelman yöntemiyle çıkarılması da günümüzde mümkündür. NİVELMANDA HATA KAYNAKLARI Nivelmanda hata kaynakları başlıca üç grupta incelenebilir: a) Alet hataları, b) Kişisel hatalar, c) Ortamdan doğan hatalardır. Bunlardan alet hataları ve ortamdan doğan hataların tesirleri, uygun bir ölçü programı ile veya gerekli düzeltme miktarlarının neticeye getirilmesi ile 37 giderilir. Kişisel hatalar ise daha dikkatli ve kontrollü bir çalışma ile belli sınırların altına düşürülebilir. Alet hataları: Nivonun eksen hatalarından ölçüyü en fazla etkileyeni yöneltme ekseninin düzeç eksenine paralel olmamasıdır. Hata neticeye gözlenen mesafeyle orantılı olarak tesir eder. Alet kontrol edilmeli ve gerekiyorsa düzeltilmelidir. Eğer aleti bu şekilde kullanmak mecburiyeti varsa hatanın tesiri geri ve ileri okuma mesafelerinin eşit alınmasıyla tesirsiz hale getirilebilir. Diğer bir hata kaynağı da miraların uzunluklarının verilenden farklı olmasından ileri gelir. Bu bir fabrikasyon hatası olabileceği gibi sıcaklık veya nemin tesiri ile de olabilir. Bu bakımdan mira bölümlerinin normal metre ile kontrol edilmesinde fayda vardır. Kişisel hatalar: Dürbün okülerinin iyi ayarlanmaması nedeniyle mira okumalarında paralaks hatası olabilir. Oküler önünde gözün hareket ettirilmesi ile bu hata kontrol edilebilir ve dikkatli bir ayarlama ile giderilebilir. Ölçü sırasında miranın düşey tutulmaması yüzünden okumalar hep aslından büyük olur. Hata mira orta kıl yüksekliği ve eğimin karesi ile artar. Hatayı önlemek için mira düzeçleri kullanılır. Alet yeri değiştirildiğinde mira aletin yeni durumuna göre döndürülürken yüksekliği değişebilir. Bunun için çalışmalarda, mira döndürüldüğü zaman yüksekliği değişmeyecek şekilde sert yerlere konmalı veya mira altlığı kullanmalıdır. Mira okumalarında okuma hatası olarak en fazla yapılan hata 5 cm lik bölümlerin atlanmasında görülür. Örneğin 1560 yerine 1510 okunması gibi. Bazen de orta kıl yerine, alt veya üst kıl okuması yapılır. Okuma esnasında silindirik düzeç ayarlı değilse miraya olan uzaklıkla orantılı olarak bir hata yapılmış olur. Bunun için her okumadan önce düzeç ayarlanmalıdır. Ortamdan doğan hatalar: Isının tesiri ile nivonun ayarı bozulabilir. Çünkü değişik kısımların ısı farkı sebebiyle durumları değişebilir. Bunun önlemek için ölçü esnasında şemsiye kullanılaır. Refraksiyon (kırılma), ışığın farklı yoğunluktaki hava tabakalarından geçerken kırılmasıdır. Isının değişikliği ile refraksiyon da değişeceğinden, okumalar arasında büyük zaman farkı olmamalıdır. Refreksiyon yere yakın kısımlarda daha büyük olduğundan hatalar, aletin yüksek kurulması ile azaltılabilir. Ölçülerin öğleyin yapılması daha iyidir. Çünkü sabahın erken saatleri ile akşam üstü refraksiyondaki değişme (düşey ısı gradiyenti) fazladır. 38 Şekil 32 : Yer eğriliğinin nivelmana tesiri Yeryüzünün eğriliğinden dolayı nivelmanda Şekil 32 de gösterilen biçimde BC miktarı kadar bir hata yapılmış olur. Bu hata nivelman düzlemi ile yükseklik çizgisinin mirayı kestiği noktalar arasın daki farka eşittir. BC . 2(R + H) = S 2 yazılabilir. R + H ~ R yazılırsa BC = d = S 2 / 2R elde edilir. R = 6370 km olarak alındığında; 100 metrede yapılan hata, d = 1002 / (2 . 6370000) = 0.8 mm olarak bulunur. Hata miktarı, mesafenin karesi ile arttığından, mesafenin kısaltılması ile eğriliğin tesiri azaltılabilir. HASSAS (DUYARLI) NİVELMAN Bir ülkede bütün yükseklik ölçülerinin çerçevesini teşkil edecek bir yükseklik sisteminin kurulması maksadı ile yapılan hasas nivelman çalışmaları, aynı zamanda yer kabuğu hareketleri, bölgesel çökmeler, büyük mühendislik yapılarındaki deformasyon ölçmeleri gibi bir takım bilimsel konuların 39 araştırılmasında da kullanılan bir yöntemdir. Nivelman için daha önce açıklananlar, hassas nivelman için de geçerlidir. Ancak istenen yüksek doğruluk derecesine uygun olarak hassas nivelmanda kullanılan aletler, noktaların büyük özen ve emniyetle işaretlenmesi yanında, ölçü ve hesap yöntemleri de bu doğruluğu sağlayacak şekilde seçilmişlerdir. Nivelman işleminin doğruluk derecesi her şeyden önce nivelman düzleminin gerçekten bir yatay düzlem olmasına ve yapılan okumaların hatasız olmasına bağlıdır. Bu bakımdan hassas nivelmanda kullanılacak nivoların düzeç ve dürbünlerinden beklenen doğruluk derecesi ve kalite, normal nivolardakine nazaran çok yüksektir. Aynı zamanda hassas nivelman miralarının da özel bir yapıya sahip olması ve sık sık bir komparatörle ayar edilmiş olmaları gerekir. Hassas nivelman için daima bir mira çifti kullanılır. Mira bölümlemeleri ısı ve nemlilikle mümkün olduğu kadar az değişen bir malzeme üzerinde olmalıdır. Bu maksatla miranın taşıyıcı kısmına gerilmiş invar şeritler kullanılmaktadır. Mira bölümlemesinin sıfırının dayanma yüzeyinden farklı bir yerde olmasından doğacak hatayı önlemek için başlangıçta ve son noktada aynı miranın kullanılması gerekir. Bu, alet kurulan nokta sayısının çift sayı olması halinde kendiliğinden gerçekleşir. Aksi halde miraların sıfır hatasının hesaba katılması gerekir. Mira uzaklıkları 20-30 m civarında ve eşit olarak alınır. Hiçbir halde mira uzaklığının 40 m yi geçmemesi gerekir. Alet ve mira noktaları çelik şeritle ölçülerek arazide işaretlenir. Bu iş için çevresi bilinen şenaj çemberleri de kullanılabilir. 40 3. TRİGONOMETRİK YÜKSEKLİK ÖLÇÜSÜ TRİGONOMETRİK YÜKSEKLİK BELİRLEME Trigonometrik yükseklik tayininin esası; iki nokta arasındaki yükseklik farkının, düşey açı ve yatay uzaklıktan faydalanılarak bulunmasıdır. Deniz seviyesinden H a yüksekliğindeki bir A noktasına alet kurulup, alet yüksekliği (a) ölçülür. Buradan B noktasına yerleştirilen (i) yüksekliğindeki işarete tatbik yapılıp düşey açı (Z) okunursa, B noktasının yüksekliği herhangi bir şekilde bulunan yatay uzaklık ve bu ölçülerden faydalanarak bulunabilir (Şekil 1). Şekil 1 Alet ve işaretin bakılan noktası arasındaki ∆h yükseklik farkı, eğer α eğim açısı ölçülmüşse ∆h = S ta nα (la) ve Z zenit açısı ölçülmüşse ∆h = S co tZ (lb) bağıntıları ile hesaplanabilir. B noktasının yüksekliği ise Şekil 1 den 41 Hb = H a + a + ∆h - i (2) dir. (1) bağıntısına göre, hesaplanan ∆h yüksekliğine daima alet yüksekliği eklenir ve işaret yüksekliği çıkarılır. 1. Tek Taraflı Ölçülerden Trigonometrik Yükseklik Belirleme Belirli bir uzaklıktan sonra küreselliğin ve refraksiyonun dikkate alınması gerekir. Atmosferin alt tabakalarının üstekilere nazaran daha yoğun olması bu tabakaların farklı kırılma indislerinin olması sonucunu doğurur ve bu yüzden B noktasından A noktasına gelen ışın bir doğru değil, bir eğri boyunca yol alır. Yerin temel şekli küre olarak kabul edildiğinde yerin merkezi ile aynı merkezli küre yüzeyleri üzerinde bulunan noktalar eşit yükseklikte kabul edilirler. İki nokta arasındaki yükseklik farkı ise bu noktalardan geçen küreler arasındaki mesafe veya bunların yarıçapları arasındaki farktır (Şekil 2). Buna göre A, B noktaları arasındaki yükseklik farkı BC olur. O' Şekil 2 Şekil 3 A noktasından B noktasına ölçülecek düşey açı için yatay, A daki teğet düzlemdir. Bu teğet düzlem B den geçen yarıçapı bir D noktasında keser (Şekil 3). Diğer taraftan refraksiyon dolayısıyla B den A ya gelen ışın bir eğri olduğundan, dürbün noktaya yöneltildiğinde, bu eğriye teğet bir duruma gelir ve bu doğrultunun OB yi kestiği nokta E dir. Burada; DE: Ölçülen düşey açıdan faydalanılarak bulunan değer, CD: Küresellik düzeltmesi, 42 BE: Refraksiyon düzeltmesidir. Buna göre ∆h = CD + DE + - BE (3 ) olur. AOD dik üçgeninde r2 + S2 = (r + CD)2 dir. Buradan CD nin küçük olduğu düşünülerek CD2 ihmal edilirse CD = S2 2r (4) elde edilir. DE ise, (1) den DE = S . cotZ (5) bağıntısıyla belirlidir. Refraksiyon dolayısıyla düşey açının değişimi ABE üçgeninden BAE = DZ = BE S¢ (6) dür. Refraksiyon eğrisi bir daire olarak kabul edilirse bunun merkezi O' gibi bir nokta olacaktır. Bu halde AO'B üçgeninde DZ = S¢ 2r ¢ (7) yazılabilir. Son iki eşitlikten BE = S ¢2 S2 » BE = 2r ¢ 2r ¢ (8) olur. r' nin değeri büyük olduğundan, S' yerine S nin konulmasının neticeye tesiri olmaz. Refraksiyon katsayısı olarak tarif edilen k= r r¢ (9) oranı da dikkate alınırsa BE = k .S 2 2r (10) 43 olarak bulunur. (4), (5) ve (10) değerleri (3) de yerine konulursa ∆h yükseklik farkı Dh = S . cot Z + 1- k 2 S 2r (11) olarak elde edilir. Ayrıca bu değere alet yüksekliği ile işaret yüksekliği arasındaki a - i farkının da eklenmesi gerekir.Bu durumda; Dh = S . cot Z + 1- k 2 S +a-i 2r (12) olur. k katsayısı ölçü yapılan yerin durumuna, mevsimine ve ölçü zamanına bağlı olarak değişebilir. Genellikle k katsayısı 0.13 olarak alınmaktadır. Ayrıca her 50 000 lik pafta için K= 1- k 2r (12) katsayısı, karşılıklı olarak ölçülen zenit açıları (Z a + Z b ) - 200g K= 2.r cc .S yardımı ile (13) bağıntısından faydalanılarak hesaplanmıştır. Küresellik ve refraksiyon dolayısıyla getirilmesi gereken düzeltme (11) bağıntısının ikinci terimidir ve noktalar arasındaki uzaklık değiştikçe bu terim şu değerleri alır (k = 0.13 ve r = 6371 km) : S (m) 250 -k 2 0.43 S (cm) 2r 300 370 400 500 750 1000 2000 0.61 0.93 1.09 1.71 3.84 6.83 27.31 61.45 682.78 44 3000 10000 2. Karşılıklı Ölçülerden Trigonometrik Yükseklik Belirleme Yükseklik farkı belirlenecek noktalarda karşılıklı olarak düşey açı ölçmek suretiyle refraksiyon katsayısı kullanmadan da trigonometrik yükseklik belirlemek mümkündür. Bu maksatla ölçüler yapıldıktan sonra hesaba geçilmeden önce, ilk iş olarak alet ve işaret yüksekliklerinin eşit olmamasından dolayı ölçülen açılara bir d düzeltmesi getirmek gerekir. Bu düzeltme Şekil 4 e göre = i - a r S (14) dur. Düzeltilmiş açı d = Zö + d (16) ile gösterilebilir (Zd : düzeltilmiş açı, Zö : ölçülen açı anlamındadır). Şekil 4 A ve B noktalarında ölçülen açılar Za ve Zb dir ve bu açılar refraksiyondan dolayı Za ve ∆Zb kadar küçük ölçülmüşlerdir (Şekil 5). 45 Şekil 5 AOB üçgeninde tanjant teoremi (Neper formülü) uygulanırsa OB - OA = OB + OA A- B 2 A+ B tan 2 tan (17) yazılabilir. Burada A = 200 g - ( Z a + DZ a ) , B = 200 g - ( Z b + DZ b ) , OB = r + H b OA = r + H a değerleri yerine konulur ve ∆Za = ∆Zb kabul edilirse H b - H a = (2r + H b + H a ). tan Zb - Za g . tan 2 2 (18) H b - H a = 2r.(1 + Hb + H a Z - Za g ). tan b . tan 2r 2 2 olur. Diğer taraftan 46 r. tan g 2 »S , Hb + Ha = Hm 2 olarak alınırsa H b - H a = D h = (1 + Hm Z - Za ). S . tan b r 2 elde edilir. S veya H m ikinci terimin ihmali ile D h = S . tan değerleri (19) küçükse bu takdirde Zb - Za 2 parantez (20) olur. Aynı problem ABC üçgeni yardımıyla da çözülebilir. ABC üçgeninde g a = (100 g - ) - b 2 dir. β yerine değeri konulursa ( b = B = 200 g - Z b - DZ b ) g g a = (100 g - ) - (200 g - Z b - DZ b ) = -100 g - + Z b + DZ b 2 2 (21) bulunur. Diğer taraftan g g a = 200 g - ( Z a + DZ a + 100 g - ) = 100 g - Z a - DZ a + 2 2 dir. (21) ve (22) eşitliklerinin toplanmasıyla 47 (22) içindeki a= Zb - Za 2 (23) elde edilir. ABO üçgeninden b = Z a + DZ a - g (24) ve B deki açılardan b = 200 g - Z b - DZ b (25) dir. Bunların da toplanmasıyla b = 100 g -( Zb - Za g + ) 2 2 (26) olarak bulunur. ABC üçgeninde sinüs teoremi yazılırsa, D h = 2(r + H a ). sin g sin( . 2 cos( Z Z b - Za ) 2 - Za g + ) 2 2 b elde edilir. Ancak AC yayı yerine AC kirişi alınabileceğinden 48 (27) Z sin( Dh = S. cos( Z b - Za ) 2 - Za g + ) 2 2 b (28) olur. Yeryüzünde 10 m lik bir uzunluk lcc lik merkez açıya karşılık geldiğinden g açısı, g cc » S (m ) 10 (29) bağıntısından bulunur. ÖRNEK 1: Tek taraflı ölçüyle yükseklik farkının bulunması D.N. B.N. 102 D h = S . cot Z + Z (g) 101 95.4239 304.5531 399.9770 400.0000 0.0230 Düzeltilmiş Z (g) 95.4354 a (m) 1.41 i (m) 1.50 S (m) 1176 1- k 2 S + a - i = 84 .46 + 0 .09 + 1 .41 - 1 .50 = 84 . 46 m 2r ÖRNEK 2: Karşılıklı ölçülerle yükseklik farkının bulunması D.N. B.N. Z Düzeltilmiş 49 a i S 102 101 (g) 95.4239 304.5531 399.9770 400.0000 0.0230 102 104.5521 295.4257 399.9778 Z (g) 95.4354 101 104.5632 d1 = i-a 1 . 50 - 1 . 41 r = . 636620 S 1176 = 49 cc d2 = i-a 1 . 50 - 1 . 33 r = . 636620 S 1176 = 92 cc D h = S . tan (m) 1.41 1.33 (m) 1.50 1.50 è Za = 95g.4403 è Zb = 104g.5724 Zb - Za = 1176 . tan( 4 . 5660 ) = 84 . 49 m 2 Ya da (28) formülü ile: Zb - Za ) sin( 4 . 56605 ) 2 Dh = S . = 1176 . = 84 . 49 m Zb - Za g cos( 4 . 56605 + 0 .01176 ) cos( + ) 2 2 sin( 50 (m) 1176 1176 KULE YÜKSEKLİKLERİNİN ÖLÇÜLMESİ Bazen minare, kule, bayrak direği, yüksek gerilim hat direği, ağaç yüksekliklerinin (v.b.) ölçülmesi gerekebilir. Bu durumda, yüksekliği ölçülecek kule ile alet kurulan nokta arasındaki uzaklığın doğrudan doğruya ölçülüp ölçülemediğine göre izlenecek yol farklıdır. UZAKLIĞI BİLİNEN ÖLÇÜLMESİ KULE (MİNARE) YÜKSEKLİĞİNİN Alet kurulan A noktası ile kule (minare) arasındaki U uzaklığı biliniyorsa (Şekil 1) minarenin tepesinin (aleminin) denizden (yükseklik sistemi başlangıç yüzeyinden) olan yüksekliği H k = Ha + a + h1 (1) dir. Bu formülde h1, ölçülen Z1 açısı ve U uzunluğuna göre hesaplanır. h 1 = U.cot Z (2) Minarenin yalnız zeminle olan y yükseklik farkı (minarenin boyu) ölçülmek isteniyorsa formül y = h1 – h2 = U.cot Z1 - U.cot Z2 olur. Veya U parantezine alınarak y = U(cot Z1 – cot Z2) (3) bulunur. Alet kurulan nokta yüksekte ise (Şekil 2) formül gene değişmez. Çünkü cot Z2 nin işareti ( - ) olduğundan h2 nin işareti ( + ) olur. Zenit açısı yerine β yükseklik açıları ölçülmüş ise (3) formülündeki cot Z ler yerine tanβ konulabilir. y = U (cot β1 - cot β2) (4) β2 nin işareti ( - ) ise h2 nin işareti ( + ) olacağından formül gene aynı sonucu verir. 51 Şekil 1: Uzaklığı ölçülebilen minarelerin yüksekliğinin ölçülmesi Şekil 2 : Uzaklığı ölçülebilen bir ağacın yüksekliğinin ölçülmesi Eğer y yükseklik farkı biliniyorsa (3) formülünden yararlanılarak U uzaklığı da hesaplanabilir. U= y cot Z1 - cot Z 2 (5) ÖRNEK : Alet kurulan noktaya uzaklığı 50 m olarak ölçülen bir ağacın tepesine ve tabanına bakılarak Z1 = 98g.1320, ve Z2 = 103g.7180 ölçülüyor. Ağacın yüksekliği ne kadardır? ÇÖZÜM : cot Z1 = cot 98 g.1320 = + 0.02935 cot Z2 = cot 103 g.7180 = - 0.05847 Bu değerleri (3) formülünde yerine koyarak y = 50.(0.02935 + 0.05847) = 50.(0.08782) = 4.39 m bulunur. 52 UZAKLIĞI BİLİNEMEYEN VEYA ÖLÇÜLEMEYEN (MİNARE) YÜKSEKLİĞİNİN BULUNMASI KULE Yüksekliği ölçülecek kule (minare) ile alet kurulan nokta arasındaki uzaklık bilinmiyor veya doğrudan doğruya ölçülemiyorsa alet, A ve B gibi iki noktaya kurularak aletle kule (minare) arasındaki U1 ve U2 kenarları AK'B yatay üçgeni yardımıyla hesaplanır (Şekil 3). Zenit açıları ölçülürken AK'B üçgeninin j ve y açıları da ölçülür. U1 ve U 2 kenarları U1 = S . siny sin(j + y ) U 2 = S. sin j sin(j + y ) formüllerine göre hesaplanır. K Şekil 3: Uzaklığı bilinmeyen minare yüksekliğinin ölçülmesi 53 Hesaplanan kenarlar yardımıyla h1 ve h2 h 1 = U1.cot Za h 2 = U2.cot Zb formülleriyle hesaplanır. Bundan sonra K noktasının yüksekliği A ve B noktalarından Hk = Ha + a1 + h1 Hk = H b + a2 + h2 şeklinde hesaplanır. Minarenin yerden yüksekliği (minarenin boyu) hesaplanmak istendiğinde zemin yüksekliği nivelman yoluyla veya trigonometrik olarak ölçülüp hesaplanmış olan minare yüksekliğinden çıkarılır. Diğer bir şekilde de yatay uzaklık ve düşey üçgenler yardımıyla hesaplanabilir. Bir A noktasına alet kurulduktan sonra AK doğrultusunda bir B noktası saptanır (Şekil 4). Bu iki noktadan Z1 ve Z2 zenit açıları ile AB = U 1 uzaklığı ölçülür. Minare aleminin izdüşümüne ulaşılamadığı için U 2 ölçülememektedir ve hesapla bulunması gerekir. Şekil 4: Minarenin uzaklığının düşey üçgenlerden hesabı 54 Şekilden kolayca görüleceği gibi Hk = Ha + a1 + h1 = H a + a1 + (U1 + U2) cot Z1 (6.a) Hk = H b + a2 + h2 = Hb + a2 + U2 .cot Z2 (6.b) dir. Bu iki formülden U 2 hesaplanabilir. Her iki formül de Hk yi verdiğinden Ha + a1 + (U1 + U2) cot Z1 = Hb + a2 + U 2 .cot Z2 (7) yazılabilir. Buradan U 2 hesaplanırsa U2 = ( H b - H a ) + ( a2 - a1 ) - U1. cot Z1 cot Z1 - cot Z2 (8) formülü bulunur, U2 hesaplandıktan sonra (6) formülleri yardımıyla Hk iki defa ve kontrollü olarak hesaplanabilir. Yüksekliğin hassas bir şekilde hesaplanabilmesi için e açısının mümkün mertebe büyük olması gerekir. KULE (MİNARE) YÜKSEKLİĞİNİN SURETİYLE BULUNMASI KOT TAŞIMASI Kule (minare) ile alet arasındaki uzunluk bilinmeden de yüksekliğin hesaplanması mümkündür. Bu durumda yüksekliği bilinen bir C noktası üzerine alet kurularak CK doğrusu ile aynı düşey düzlem içerisinde olmak üzere A ve B noktaları tesbit edilir (Şekil 5). Alet A ve B noktalarına kurularak Z1, Z2, Z3 ve Z4 zenit açıları ile U1 = AC ve U2 = BC uzunlukları ölçülür. Bu değerler yardımıyla C ve K noktaları arasındaki h yükseklik farkı hesaplanabilirse K nın yüksekliği Hk = Hc (9) şeklinde hesaplanarak bulunur. 55 + h Şekil 5 : Kot taşıması suretiyle minare yüksekliğinin ölçülmesi Bunun için önce h1 ve h2 h1 = U 1.cot Z1 (10) ve h2 = U 2.cot Z2 formüllerine göre hesaplanır. Diğer taraftan U 1 + U2 + X = ( h – h1) tan Z3 X = ( h – h2) tan Z4 dir. İkinci denklemdeki X in değerini birinci denklemde yerine koyup h hesaplanırsa h= U1 + U 2 + h1.tan Z3 - h 2 .tan Z4 tan Z 3 - tan Z 4 (11) bulunur. Bu formülden bulunan h değeri (9) da yerine konarak H k bulunur. 56 UZAKLIKLARI FAZLA OLAN NOKTALAR ARASINDA YÜKSEKLİK TAYİNİ Buraya kadar gördüğümüz problemlerdeki formüller yükseklik farkı belirlenecek noktalar arasındaki uzaklık fazla olmadığı durumlarda doğrudur. Çünkü bu formüllerde dünyanın yuvarlak olduğu düşünülmemiş ve ışınların düz olarak yayıldıkları kabul edilmiştir. Oysaki dünyamız küreye çok yakın bir biçimde yuvarlak olduğundan ~ 250 m yi geçen uzaklıklar bir doğru olmayıp bir yay parçasıdır. Ayrıca ışınlar da farklı yoğunluktaki hava tabakalarından geçtiklerinden bunlar da bir doğru şeklinde olmayıp çukur tarafı dünyaya doğru olan ve bir daire yayına çok yakın bir yay biçimindedirler. Bu nedenlerle uzaklıkları fazla olan noktalar arasındaki yüksekliklerin belirlenmesinde dünyanın yuvarlaklığının (küreselliğin) ve ışın kırılmalarının (refraksiyonun) hesaplarda dikkate alınması gerekir. YÜKSEKLİK ÖLÇÜLERİNDE DÜNYANIN YUVARLAKLIĞININ VE REFRAKSİYONUN ETKİSİ Bir A noktasından tam yatay olarak baktığımızı kabul edersek bu noktadan U kadar uzakta bulunan B noktasına tutulan bir mirayı, dünyanın yuvarlaklığı nedeniyle x kadar yukarısından görebiliriz (Şekil 6). Diğer taraftan β açısı altında baktığımız bir noktayı da ışın kırılması nedeniyle olduğundan y kadar daha yukarıda gibi görürüz (Şekil 7). Bu durumda h yükseklik farkı h = U.cot Z = U.tan β formülüne göre hesaplanırsa sonuç x kadar eksik ve y kadar fazla bulunmuş olur. 57 Şekil 6:Küreselliğin yükseklik belirlemeye etkisi Şekil 7: Küresellik ve kırılmasının yükseklik belirlemeye etkisi x ve y hata miktarları da göz önünde bulundurulursa yükseklik farkını veren formül h (12) = U.cot Z + x – y olacaktır. Bu formüldeki x değerini hesaplayabilmek için Şekil 6 daki OAB üçgeninden yararlanabiliriz. Şekilden de görüldüğü gibi r2 + U2 = (r + x)2 dir. Veya formül açılırsa r2 + U2 = r2 + 2.r.x + x2 olur. x düzeltme miktarı, dünyanın yarı çapı r ve durulan nokta ile bakılan nokta arasındaki uzunluk U dan çok küçük olduğu için, x2 de çok küçüktür ve hesapta ihmal edilebilir. Buna göre x hesaplanırsa x» U2 2r (13) eşitliği elde edilir. Işın yayı da bir daire yayı olarak kabul edilir ve bunun yarı çapına R denirse y, x de olduğu gibi hesaplanıp U2 y = 2R (14) yazılabilir. (14) deki R yerine R = r/k (kırılma katsayısı k = r/R) konursa U2 y =k 2r bulunur. x ve y nin hesaplanmış olan değerleri (12) de yerine konularak bulunacak U2 U2 h = U . cot Z + -k 2r 2r 58 denkleminin son iki terimi kısaltılarak h = U . cot Z + 1- k 2 .U 2r (15) bulunur. A noktasının yüksekliği Ha, alet yüksekliği a, bakılan noktadaki işaret yüksekliği i ve (1 - k) / 2 r = Q ile gösterilerek, bunlar Hb = Ha + h + a - i formülünde yerine konacak olursa B noktasının yüksekliği (H b) için H b = H a + U .CotZ a + Q.U 2 + a - i (16) kesin formülü bulunur. Dünyanın küreselliğinden doğan x = U 2 / 2r ile x - y = (1 - k) U 2 / 2r miktarlarının etkileri aşağıda gösterilmiştir. k = 0.13 ve r = 6371 km alınmıştır. Cetveldeki değerler metre birimindedir. U 100 200 500 1000 2000 3000 x 0.0008 0.0031 0.020 0.08 0.31 0.71 1.26 1.96 7.85 y 0.0001 0.0004 0.003 0.01 0.04 0.09 0.16 0.26 1.02 x - 0.0007 0.0027 0.017 0.07 y 0.27 0.61 1.09 1.70 6.83 59 4000 5000 10000 ÖLÇÜLEN AÇILARIN ZEMİN NOKTASINA VE PİRAMİT TEPESİNE DÖNÜŞTÜRÜLMESİ Karşılıklı zenit açıları ile yükseklik hesabında hesapta kullanılacak açıların ya nirengi betonundan nirengi betonuna veya piramit tepesinden piramit tepesine yapılmış olmaları gerekir. Oysaki uygulamalarda açılar alet yüksekliğinden piramit tepesine yapılmaktadır. Bu nedenle hesaba başlamadan önce bunların nirengi noktalarına veya piramit tepelerine dönüştürülmeleri gerekir. Ölçülen açı Z, A ve B noktalarını birleştiren doğrunun zenit açısı ise Za olsun (Şekil 8). Hesaba girecek açı Za olduğundan önce ölçülmüş olan Z zenit açısının Za ya dönüştürülmesi gerekir. Baktığımız B noktasının üzerinde A noktasındaki alet yüksekliği kadar yüksekte bir E noktası işaretlenecek olursa, CE doğrusu AB doğrusuna paralel olacağı için CE doğrusunun zenit açısı da Za ya yani zemin noktalarını birleştiren doğrunun zenit açısına eşit olur. Şekilden görüldüğü gibi ölçülen Z açısı ile hesaplanmak istenen Za açısı arasında d kadar bir açı farkı vardır. Şekil 8 : Ölçülen zenit açılarının zemine dönüştürülmesi Buna göre, Za (17) = Z + d dır. d açısı şu şekilde hesaplanır. CDE üçgeninde CE = U' olarak alınabileceğinden sinüs teoremine göre 60 sin d = i-a . sin Z U' (18) olur. CDF üçgeninden sin Z = U U' veya U'= U sinZ dir. U' nün bu değerini (18) de yerine koyarak sin d = i-a . sin 2 Z U bulunur. d açısı çok küçük bir açı olduğundan sind yerine radyan cinsinden değeri yazılırsa formül, d cc = i - a cc .r . sin 2 Z U (19) şeklini alır. Düz arazide sin2Z @ 1 olacağından d açısı yeteri kadar doğrulukla d cc = i - a cc .r U (20) formülü ile hesaplanabilir. Zemin noktasına dönüştürülmüş Za açısı ise (17) formülüne ile hesaplanır. d nın işareti (i - a) nın işaretine bağlıdır. Ölçülerin pramit tepesine dönüştürülmesi istendiğinde yine (20) formülünden yararlanılır. Ancak bu durumda i bakılan noktanın işaret yüksekliği deği,l durulan noktanın işaret yüksekliği olarak alınır (Şekil 9). d açısının işareti burada da (i - a) nın işaretine bağlıdır. Yani dönüştürülecek nokta aletten yüksekte ise +d, aşağıda ise -d olur. Formülün çıkarılması aynen anlatıldığı gibidir. zemin noktasına 61 dönüştürülmede Şekil 9 : Ölçülen zenit açılarının piramit tepesine dönüştürülmesi 62 ÖRNEK : A noktasında ölçülmüş olan zenit açısı, aletin I. ve II. durumu için sırayla ZI = 99g.4511 ve ZII = 300g.5339, alet yüksekliği a1 = 1.45 m, işaret yüksekliği i1= 4.20 m; B noktasında ölçülmüş olan zenit açısı, aletin I. ve II. durumu için sırayla ZI = 100g.5770 ve ZII = 299g.4140, alet yüksekliği a2 = 1.50 m, işaret yüksekliği i2 = 4.50 m ve A ile B noktaları arasındaki uzunluk U = 3715.28 m olduğuna göre zemine dönüştürülmüş açıları hesaplayınız. ÇÖZÜM : verilmiştir. D.N. B.N. A B B A d1 = 99g.5109 d2 = 100g.6278 Çözüm (20) ve (17) formüllerine göre çizelgede Z (g) 99.4511 300.5339 399.9850 400.0000 0.0150 100.5770 299.4140 399.9910 Düzeltilmiş Z (g) 99.4586 100.5815 a (m) 1.45 1.50 4.50 i-a 4 . 50 - 1 . 45 r = . 636620 S 3715.28 = 523 i- a 4 . 20 - 1 . 50 r = . 636620 S 3715.28 = 463 D h = S . tan i (m) 4.20 cc cc S (m) 3715.28 3715.28 è Za = è Zb = Zb - Za = 3715.28 . tan( 0 . 55845 ) = 32 . 59 m 2 Ya da diğer formül ile: 63 Zb - Za ) sin( 0 . 55845 ) 2 = 3715.28 . = 32 . 59 m Dh = S. Zb - Za g cos( 0 . 55845 0 . 0371528 ) + cos( + ) 2 2 sin( 64