KUTU PROBLEMİ MATEMATİK Matemetik ve Eğlence www.elifhoca.com 21.05.2014 KUTU PROBLEMİ 50 cm Genç bir girişimci olduğunuzu düşünün. Hedefiniz en düşük fire ile müşterilerinizin ihtiyacını karşılayacak en büyük hacimli karton kutular yapmak ve pazarlamak olsun. Hedefinize ulaşabilmek için, öncelikle Araştırma – Geliştirme (Ar-Ge) yapmanız gerekecek. Çalışma odanızda bir adet Prototip (ilk örnek) yaparak, seri üretim öncesi modelinizi belirleyeceksizniz. 50 cm İhtiyacınız olan: 50 cm x 50 cm ebatlarında bir adet karton kutu, cetvel, makas, yapıştırıcı bant, hesaplamalar için kâğıt, kalem ve matematik bilginiz. x cm İlk olarak, karton kutunuzun üzerine yandaki şekilde görüldüğü gibi 4 adet eş alana sahip kare çizin. x cm Aynı şekli uzunluklar ile birlikte hesaplama yapacağınız kâğıdın üzerinede çizin. www.elifhoca.com x cm x cm Burada ölçmüş olduğunuz değer yerine “x cm” kullanmamızın amacı, sonradan kutu ölçülerinin değişebilme olasılığıdır. 50 - 2x cm İlk başta kestiğimiz kare şeklindeki bölgeleri belirlerken muhakkak bir ölçüm yapmışsınızdır. x cm 50 - 2x cm x cm 50 - 2x cm x cm x cm 50 - 2x cm Kartonu kestikten sonra geriye yandaki gibi bir şekil kalmalıdır. Gerekli matematiksel hesaplamalarda kullanmak üzere, uzunlukları şekildeki gibi kartonun üzerine yazın. (Farklı renklerde kalem kullanmanızı tavsiye ederiz.) x cm Bu eş kareleri makas yardımıyla keserek çıkarın. Sayfa 1/12 x cm Daha sonra, aşağıdaki gibi bir kutu oluşturabilmek için kartonu katlayın ve kenarlarını yapıştırıcı bant ile sabitleyin. Sonuç olarak, değerlendirme yapmamıza yardımcı olacak aşağıdaki gibi bir kutu elde edeceksiniz. 50 - 2x cm 1. Alan hesabı: Kutunun tabanı ve kestiğimiz parçalar kare şeklinde olduğu için alan hesaplamalarımızda karenin alan formülü kullanılacaktır. Bir kenarı “x cm” olan karenin alanı; Alan(Kare)=x.x=x2 2. Hacim hesabı: Hacim hesaplamasını yaparken önceki bilgilerinizden yararlanabilirsiniz. Burada tabanı kare şeklinde olan bir kutunun hacmini hesaplamaya çalışacağız. Kullanacağımız formül; Hacim(Kutu)=Taban Alan x Yükseklik www.elifhoca.com Sayfa 2/12 3. Fonksiyon Tanımlaması: Öncelikle neden bir fonksiyona ihtiyaç duyduğumuzu anlayabilmemiz için, temel kavramları ve fonksiyon (işlev) konusunu hatırlayalım. Bilinmeyen dediğimiz a, b, c, x, y, z, . . . gibi değişkenleri, 1,2,3, . . . gibi sayıları ve +, −, ×, . . . , kök alma gibi işlemleri içeren ifadelere cebirsel ifade diyoruz. İçerisinde x, y gibi bilinmeyen ifadeler içeren ve bilinmeyenin bazı değerleri için gerçeklenen eşitliklere denklem diyoruz. Bilinmeyenin denklemi sağlayan değerine denklemin çözümü denir. Denklemin çözümlerinin kümesine de çözüm kümesi denir. Denklem bilinmeyenin hiçbir değeri için sağlanmıyorsa, çözüm yok ve çözüm kümesi boş kümedir diyoruz. a, b, c gerçel sayılar ve olmak üzere, dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. a, b, c gerçel sayılar ve olmak üzere, bir denklemde; Diskriminant olarak adlandırılan ve  şeklindeki denklemlere ikinci şeklinde verilen ikinci dereceden (Delta) ifadesi, olarak ifade edilir ise denklemin iki adet kökü (x1, x2) vardır. Kökler, √  ise denklemin tek kökü (x1= x2) vardır. Kök,  ise denklemin kökü yoktur. , √ Boş kümeden farklı A ve B kümeleri alalım. A kümesinden B kümesine bir f fonksiyonu, A kümesinin her elemanına B kümesinin bir tek elemanını karşılık getirir. Burada A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi, B kümesine ise değer kümesi denir. A kümesinden B kümesine bir f fonksiyonu, şeklinde gösterilir. A B a 1 2 b c 3 d Fonksiyonun Tanım Kümesi www.elifhoca.com Fonksiyonun Değer Kümesi Sayfa 3/12 Genel olarak, bir fonksiyon; tanım kümesindeki bir değeri çeşitli kurallar vasıtasıyla değer kümesindeki başka bir değere gönderen vasıta olarak tanımlanabilir. Örneğin gerçel sayılar kümesindeki her sayıyı kendisinin beş (5) fazlası ile eşleyen fonksiyon; ( ) olarak gösterilir. Bu gösterim çoğu zaman, ( ) olarak da ifade edilir. ( ) ifadesinde, “y” bağımlı değişken, “x” bağımsız değişken olarak adlandırılır. Çünkü “x” değeri tanım kümesinden keyfi olarak seçilebilirken, “y” değeri seçilen “x” değerine bağlı olarak değişir. Bu bilgilerden hareketle alan ve hacim formüllerinin yardımıyla, başlangıçtaki değerleri kullanarak oluşturmak istediğimiz kutuya ilişkin hacim fonksiyonunu; ( ) olarak ifade edebiliriz. Hazırlayacağımız kutunun hacmi, seçeceğimiz “x” değerine göre değişiyor. Yani “x” bağımsız değişken, kutunun hacmi bağımlı değişken dir. Denklemi düzenlersek; ( ) (( )( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B A 0 < x < 25 Fonksiyonun Tanım Kümesi Fonksiyonun Değer Kümesi Problemimize göre kutunun hacimini belirleyen fonksiyonun; Tanım kümesini 0 ile 25 (0,25) arasındaki gerçel ( ) sayılar, Değer kümesini pozitif gerçel ( ) sayılar oluşturur. ( www.elifhoca.com ) ( ) ( ) Sayfa 4/12 4. Fonksiyonun Kökleri: Fonksiyonun kökleri, bizim için çok önemlidir. Çünkü fonksiyonun değerlendirmesini ve grafiksel gösterimini yaparken fonsiyonun sıfıra “0” eşit olduğu noktalar bize yardımcı olacak. ( ) ( ) ( ) Bizim problemimizi yansıtan fonsiyonu yukarıdaki şekilde oluşturmuştuk. Fakat kökleri kolayca bulabilmek için, fonksiyonun aşağıdaki halini kullanacağız. ( ) ( ) ((( )( )) ((( ⏟ )( )) ((( )( )) ⏟ ) )( ((⏟ ) ) )) Sonuç olarak fonksiyonun kökleri; ( )( ) 5. Değerler: Burada, fonksiyonun “x” değerlerine karşılık aldığı değerleri (görüntüleri) bulmaya çalışacağız. Bunun için fonksiyonun tanım kümesi içerisinden değerler seçerek, fonksiyonun hesaplamasını yapacağız. İşlemlerde kolaylık olması amacıyla “x” değerlerini, 0 ile 25 arasındaki pozitif tam ) sayılardan ( ) seçeceğiz. ( ( ) Seçilen “x” Değeri Seçilen “x” Değeri Fonksiyonunun Değeri ( ) Fonksiyonunun Değeri 0 0 4 7056 1 2304 5 8000 2 4232 6 8664 3 5808 7 9072 www.elifhoca.com Sayfa 5/12 Seçilen “x” Değeri ( ) ( ) Seçilen “x” Değeri Fonksiyonunun Değeri Fonksiyonunun Değeri 8 9248 17 4352 9 9216 18 3528 10 9000 19 2736 11 8624 20 2000 12 8112 21 1344 13 7488 22 792 14 6776 23 368 15 6000 24 96 16 5184 25 0 Tabloya göre;   x = 7 ise, Kutunun Hacmi = 9072 cm3,  x = 8 ise, Kutunun Hacmi = 9248 cm3,  x = 9 ise, Kutunun Hacmi = 9216 cm3,  En büyük hacimli kutu için, x = 8 değerini seçmemiz gerekiyor. Not: Aşağıda bir sayı doğrusu verilmiştir. Bildiğiniz gibi sayı doğrusu üzerinde tam sayılardan başka pek çok sayı türü daha vardır. 0 ∞ ∞ 1 -2 -1 2 Acaba kutunun hacmi için kullandığımız değerleri; pozitif tam sayılar ( türleri arasından seçseydik ne olur du? ) yerine, diğer sayı 0 ∞ 6 7 8 9 10 25 Tabloyu tekrar incelersek, en büyük hacimli kutuyu oluşturabilmek için gereken en iyi üç x değeri; 7, 8 ve 9’dur. En iyi x değeri ise 8’dir. www.elifhoca.com Sayfa 6/12 Sayı doğrusu üzerindeki rakamları, aşağıdakine benzer bir cetvel yardımıyla oluşturacağımız doğrunun üzerine yazalım. 7 Görüldüğü gibi 7 ile 8 ve 8 ile 9 rakamlarının arası, cetvel üzerinde 10 eşit parçaya bölünmüş. Bu parçalara karşılık gelen sayıları, rasyonel sayılar ile ifade edebiliriz.    … Sayma Sayıları (Counting Numbers),  Doğal Sayılar (Natural Numbers), 8 Tam Sayılar (Integer Numbers or Integers),  Rasyonel Sayılar (Rational Numbers),  … İrRasyonel Sayılar (Irrational Numbers),  Gerçel Sayılar (Reel Numbers ),  … Karmaşık Numbers). 9 (Kompleks) Sayılar (Complex Bu aralıktaki değerlere göre tablomuzu yeniden oluşturalım. x ( ) x ( ) x ( ) 7 9072 7,7 9218,132 8,4 9258,816 7,1 9099,644 7,8 9230,208 8,5 9256,5 7,2 9124,992 7,9 9240,156 8,6 9252,224 7,3 9148,068 8 9248 8,7 9246,012 7,4 9168,896 8,1 9253,764 8,8 9237,888 7,5 9187,5 8,2 9257,472 8,9 9227,876 7,6 9203,904 8,3 9259,148 9 9216 www.elifhoca.com Tablo değerlerinden anlaşılacağı üzere; Hacim hesabı yaparken x değeri için pozitif tam sayılar ( ) kullandığımızda, x = 8 için Kutunun Hacmi = 9248 cm3 oluyordu. Buna karşın x değeri için 7 ile 9 arasında yer alan rasyonel sayılar ( ) kullandığımızda, x = 8,3 için Kutunun Hacmi = 9259,148 cm3 oluyor. Yani hacim değerimizi daha büyük (9259,148 – 9248 = 11,148 cm3) bulabiliyoruz. Sayfa 7/12 Yan tarafta verilen bir küp şeker tanesi için hacim hesaplaması yapalım. En : 1,2 cm, Boy : 1,2 cm, Yükseklik : 1,2 cm olsun. Küp şeker tanesinin hacmi = En x Boy x Yükseklik ile hesaplanacağı için hacim = 1,2 x 1,2 x 1,2 = 1,728 3 cm olur. x = 8 yerine x = 8,3 alarak bulduğumuz 11,148 cm3 ilave hacimi somutlaştırırsak, 11,148 / 1,728 = 6,451 (civarında), yaklaşık olarak 6 tane küp şekere karşılık gelir. Gördüğünüz gibi, Hacim hesabı yaparken x değeri için pozitif tam sayılar ( ) yerine, rasyonel sayılar ( ) kullanarak oluşturacağımız kutuya 6 tane ilave küp şeker ekleyebiliyoruz. 8,3 cm = 83 mm olduğu için, aslında kutumuzu yaparken cm (santimetre) hassasiyetinden, mm (milimetre) hassasiyetine geçmiş oluyoruz. Tahmin edebileceğiniz gibi kutunun hacim değeri, x yerine daha hassas sayılar kullanarak en iyi hale getirilebilir. Belirleyici olan ise, müşterilerinizin talepleri ve sizin üretim süreçlerinde kullanacağınız teknoloji olacaktır. Hesaplamalarınızda kullanacağınız sayısal değerleri, fiziksel olarak uygulayamazsanız hassasiyetinizin pek önemi olmaz. Yani cetvel, makas, kalem ve yapıştırıcı ile ulaşabileceğiniz hassasiyet noktası, sizin seçeceğiniz x değerlerinin sayısal limitlerini belirlemektedir. Gerçek hayatta, daha karmaşık üretim hedeflerinde de bu türden fiziksel sınırlar, üreticileri birbirinden ayırdeder. Kutunuzu üretirken, çok küçük hata oranına sahip lazer ölçüm cihazları ve kesim aletleri kullanma şansınız olsa, cetvel ve makas kullanan rakiplerinize göre daha büyük hacimli kutular oluşturabilirsiniz. İşte burada devreye bilim ve teknolojinin kullanımı giriyor. Fen derslerinizden hatırlayacağınız gibi yoğunluk; ( ) formülü ile hesaplanır ve şeklinde düzenlenerek, kütle değerini bulmamızı sağlar. Bu bilgiler ışığında, tasarlayacağımız kutu ile altın taşıyacağımızı varsayalım. Katı haldeki Altının (Au) yoğunluğu 19,3 g/cm3 tür. 11,148 cm3 ilave hacimi bir kez daha somutlaştıralım. Hacim = 11,148 cm3, Yoğunluk (Altın) = 19,3 g/cm3, Dünyanın Yer Çekimi İvmesi = 9,8 m/sn2, Kütle =? Kütle (Altın) = (19,3 g/cm3) x (11,148 cm3) = 215, 1564 g (gram) Altının gram fiyatı 85 ¨ olduğu düşünülür ise; 215,1564 g x 85 ¨ = 18288,294 ¨ ‘lik maddi farka karşılık gelen bir değer bulmuş oluruz. Hassasiyet tercihimizin yansıması bu şekilde de gözlemlenebilir. (Not: Kuyumcu terazisi, eşit kollu terazi prensibi ile çalışır ve kütleyi ölçer.) www.elifhoca.com Sayfa 8/12 x cm 6. Fire Hesabı: Kutumuzu oluştururken 4 tane karesel bölge çizip, makas ile kesmiştik. Bir kenarı x cm olan bu karesel bölgelerin toplamı bizim firemizi oluşturmaktadır. Toplam Fire hacimle aynı şekilde, x değerine göre değişecektir. Fonksiyonumuzu buna göre belirleyeceğiz. Öncelikle bir kenarı x cm olan karenin alanını hesaplayalım. cm2 dir. Toplam 4 adet eş karesel bölge olduğuna göre; ( ) cm2 dir. Hacim hesaplamalarında kullandığımız bilgilerden faydalanarak toplam fireyi hesaplamamıza yardımcı x cm olacak fonksiyonu tanımlarsak; ( ) ( ) cm2 olur. x değerine karşılık fonksiyonun aldığı değerleri önceki örneklerde verildiği gibi hesaplayıp, tablo halinde gösterelim. ( ) x ( ) x x ( ) x ( ) 0 0 7 196 14 784 21 1764 1 4 8 256 15 900 22 1936 2 16 9 324 16 1024 23 2116 3 36 10 400 17 1156 24 2304 4 64 11 484 18 1296 25 2500 5 100 12 576 19 1444 6 144 13 676 20 1600 Tabloya göre;   x = 7 ise, Kutunun Hacmi = 9072 cm3 ve Toplam Fire = 196 cm2,  x = 8 ise, Kutunun Hacmi = 9248 cm3 ve Toplam Fire = 256 cm2,  x = 9 ise, Kutunun Hacmi = 9216 cm3 ve Toplam Fire = 324 cm2,  En büyük hacimli kutu için, x=8 değerini seçmemiz gerekiyordu. Bu durumda Toplam Fire 2 miktarı 256 cm olacaktır. Başlangıçtaki kartonun alanı = 50 cm x 50 cm = 2500 cm2 dir. Bu durumda www.elifhoca.com Sayfa 9/12 2500 / 256 = 9,766 = 10 (yaklaşık olarak), kutuda bir adet 50 cm x 50 cm’lik kartonun boşa gitmesi (fire) anlamına geliyor. Acaba pozitif tam sayılar ( ) yerine, rasyonel sayılar ( ) kullansaydık (hacim hesaplamasına benzer şekilde) durum ne olur du? x ( ) ( ) x ( ) x 7 196 7,7 237,16 8,4 282,24 7,1 201,64 7,8 243,36 8,5 289 7,2 207,36 7,9 249,64 8,6 295,84 7,3 213,16 8 256 8,7 302,76 7,4 219,04 8,1 262,44 8,8 309,76 7,5 225 8,2 268,96 8,9 316,84 7,6 231,04 8,3 275,56 9 324 x = 8,3 için Kutunun Hacmi = 9259,148 cm3 oluyordu. Toplam Fire miktası ise 275,56 cm2 olarak hesaplanıyor. Görüldüğü gibi hacim değeri artarken Toplam Fire miktarıda artıyor (yaklaşık olarak 10 cm2). Bu durumda 2500 / 275,56 = 9,072 = 9 (yaklaşık olarak), kutuda bir adet 50 cm x 50 cm’lik kartonun boşa gitmesi (fire) anlamına geliyor. 7. Grafiksel Gösterim: ( ) ( ) ( ) Fonksiyonu için tablo değerlerini aşağıdaki gibi yerine koyarak, grafiği oluşturabiliriz. Hacim Fonksiyonu 10000 9000 8000 7000 6000 5000 Hacim Fonksiyonu 4000 3000 2000 1000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526 www.elifhoca.com Sayfa 10/12 ( ) ( ) Fonksiyonu için tablo değerlerini aşağıdaki gibi yerine koyarak, grafiği oluşturabiliriz Toplam Fire Fonksiyonu 3000 2500 2000 1500 Toplam Fire 1000 500 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Hacim ve Toplam Fire fonksiyonlarına ait grafikleri, üst üste tek bir düzlemde gösterirsek; başlangıçtaki “en az fire ile en büyük hacimli kutu” oluşturma problemine yönelik daha sağlıklı değerlendirmeler yapabiliriz. 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 Hacim Fonksiyonu www.elifhoca.com Toplam Fire Fonksiyonu Sayfa 11/12 8. Sonuç: 1. Problemin öncelikli amacı kutu yapmak olduğu için, en büyük hacmi sağlayan x değeri bizim için öncelikli hedeftir. 2. Müşterilerimizin, hazırlayacağımız kutulara yönelik çok hassas hacim hedefli talepleri olmadığını ve altın gibi değerli malzemeler taşımayacaklarını kabul ediyoruz. 3. Problemin çözümünde; 50 cm x 50 cm ebatlarında bir adet karton kutu, cetvel, makas, yapıştırıcı bant, hesaplamalar için kâğıt, kalem ve matematik bilgimizi kullanacağımızı söylemiştik. Cetvel ve makas ile çok hassas ölçüm ve kesim işlemleri yapamayacağımızı varsayacağız. Bu nedenle x değerlerini pozitif tam sayılar ( ) arasından seçmek mantıklı olacaktır. 4. Fire olarak tanımladığımız kutu yapımından arta kalan karton parçalarını, daha sonra kutu (büyük hacimli) yapımında tekrar kullanamayacağımız ve geri dönüşümden bahsedilmediği için, üretim sürecinde oluşan fireyi göz ardı edeceğiz. Eğer soruda maliyete yönelik (gelir, gider, kâr, firenin değerlendirilmesi, vb) girdiler olsaydı, problemin çözümünde fireyi hesaba katmak mantıklı olabilirdi. Sonuç olarak x = 8 değeri; yukarıdaki varsayımlar ve açıklamalar doğrultusunda bizim için en iyi çözüm gibi görünüyor. Problemin çözümüne ilişkin kendi değerlendirmelerinizi ve alternatif çözümlerinizi lütfen bizimle paylaşın. x = 8 için; Kutunun Hacmi = 9248 cm3, Toplam Fire = 256 cm2. www.elifhoca.com Sayfa 12/12