n - Bilecik Şeyh Edebali Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği

Sayisal Sinyal İşleme
(Digital Signal Processing)
Bilecik S.E.Üniversitesi
Bilgisayar Mühendisliği
Ayrık Zamanlı Sistemler

Ayrık Zamanlı Sistem (Discreate-Time Systems ):
Ayrık zaman giriş işaretini x[n] (dizisini) bir çıkış
işaretine y[n] (dizisine) dönüştüren bir dönüşüm kuralıdır.
y[n] = T{x[n]}
x[n]
T{}
y[n]
Sayısal işaret işlemede karşılaşılan sistemlerde çoğunlukla
doğrusal,zamanla değişmez, nedensel ve kararlı gibi özellikler
göstermektedir.
Ayrık Zamanlı Sistemler







Ayrık Zamanlı Sistemlerin Özellikleri
Doğrusallık ( Linearity)
Hafızalı-Hafızasız ( Memory-Memoryless)
Nedensellik ( Causality)
Kararlılık -Tersinirlik(Stability-nonStability)
Zamanla değişmezlik (Time invariance)
Sistemlerin Birleşimi (Systems Combination)
Ayrık Zamanlı Sistemler

Doğrusallık (Linearity): Bir sistemin doğrusallığı; çarpımsallık
ve toplamsallık ilkelerini sağlaması ile tanımlanır. Buna göre
herhangi iki x1[n] ve x2[n] giriş sinyali (dizisi) y1[n] ve y2[n]
sinyallerini üretsin.
y1[n]=T[x1[n]]
y2[n]=T[x2[n]]
a1 ve a2 her hangi bir katsayı olsun T{} sisteminin doğrusal olabilmesi için
aşağıdaki koşullar sağlanmalıdır, sağlanmıyorsa doğrusal değildir (nonlinear)
T[a1x1[n] + a2x2[n]] = T[a1 x1[n]] + T[a2 x2[n]]
= a1T[x1[n]] + a2 T[x2[n]]
= a1y2[n] + a2y2[n]
Ayrık Zamanlı Sistemler

Örnek1: Sayısal bir sistemin cevabı aşağıdaki gibi olsun bu sistem
doğrusal mıdır?
y[n] = 8x2[n-2]
Cevap: Dönüşüm kuralından
y[n] = T[ax[n]] = 8a2x2[n-2] olarak bulunur a sabit bir sayı
ve 1 den farklıdır. Diğer yandan
y[n] = aT[x[n]] = 8ax2[n-2] olduğundan
aT[x[n]]
≠ T[ax[n]]
eşit değildir
Ayrık Zamanlı Sistemler

Örnek2: Sayısal bir sistemin cevabı aşağıdaki gibi olsun bu
sistem doğrusal mıdır?
y[n] = n3x[n+1]
Cevap: Dönüşüm kuralından , a ve b sabit bir sayı ve 1 den
farklıdır
T[ax1[n] + bx2[n]] = n3 (a x1[n+1] + bx2[n+1])
= an3 x1[n+1] + bn3 x2[n+1]
= aT[x1[n]] + bT[x2[n]]
Bu durumda sistem doğrusaldır.
Ayrık Zamanlı Sistemler

Örnek2: Sayısal bir sistemin cevabı aşağıdaki gibi olsun bu
sistem doğrusal mıdır?
y[n] = n3x[n+1]
Cevap: Dönüşüm kuralından , a ve b sabit bir sayı ve 1 den
farklıdır
T[ax1[n] + bx2[n]] = n3 (a x1[n+1] + bx2[n+1])
= an3 x1[n+1] + bn3 x2[n+1]
= aT[x1[n]] + bT[x2[n]]
Bu durumda sistem doğrusaldır.
Ayrık Zamanlı Sistemler

Hafızalı-Hafızasız (Memory-Memoryless): Bir ayrık
zaman sistemde anlık giriş sinyaline bağlı olarak anlık çıkış sinyali
üretiliyorsa hafızasız ve anlık giriş sinyaline karşılık bir önceki veya
bir sonraki sinyal elde ediliyorsa hafızalı sistem denir.
y[n]=x[n+1] -> hafızalı
y[n] 
n
 x[k ]
k 
y[n]=x[n] -> hafızasız
y[n]  x[n]2
Ayrık Zamanlı Sistemler

Hafızalı-Hafızasız (Memory-Memoryless):
1
y[n]   x[n  1]  x[n]  x[n  1]  x[n  2]
4
1
y[n] 
M1  M 2  1
M2

k  M1
x[n  k ]
Alçak geçiren filtre sistemi
Ayrık Zamanlı Sistemler



Nedensellik (Causality): Bir ayrık zaman sistemde
eğer
herhangi bir zamanda sistemin çıkışı sadece o andaki ve geçmişteki
girişlerine bağlı ise o sisteme nedensel sistem denir. Nedensel
sistemlerde sistemin çıkışın bulunmasında sistemin gelecekteki giriş
değerlerine ihtiyaç duyulmaz.
Örnek: ileri fark alma sistemi nedensel değildir. (Forward-difference
system (non causal))
 y[n] = x[n+1]  x[n] (sistemin anlık değeri gelecekteki değerine
bağlı)
Geri fark alma sistemi nedenseldir (Background-difference (causal))
 y[n] = x[n]  x[n1]
Ayrık Zamanlı Sistemler

Kararlılık-Tersinenlilik (Stability –non stability): Bir
ayrık zaman sistemde sınırlı değerli bir giriş dizisinin daima sınırlı
değerli bir çıkış dizisi ürettiği sistemlere kararlı sistemler denir. Bu
tanım sınırlı-giriş sınırlı-çıkış SGSÇ (Bounded Input Bounded
Output- BIBO) anlamında kararlılığı ifade eder. Bazı sistemler doğal
olarak kararlıdır örneğin bazı analog sistemler.



Örnek: M1 ve M2 sonlu sayılar olmak üzere
 Eğer |x[n]| ≤ M1
o zaman |y[n]| ≤ M2
y[n] = (x[n])2 ??
[n] = u[n] ??
Ayrık Zamanlı Sistemler

Tersinenlilik (non stability): Bir sistemin farklı girişlerine
karşı farklı çıkışlar elde ediliyorsa bu sistem tersinirdir. Bir sistem
tersinir ise bu sistemn çıkışını girişe çeviren bir ters sistem
mevcuttur.
Ayrık Zamanlı Sistemler

Zamanla Değişmezlik (Time-invariant): Eğer bir ayrık
zaman sistemin giriş çıkış ilişkisi zamanla değişmiyorsa sistem
zamanla değişmeyen olarak adlandırılır. Bu sistem, uygulana bir x[n]
dizisine uygulama anından (zamanından) bağımsız olarak bir y[n]
dizisi üretiyor demektir. Bir ayrık zaman T{} sisteminin zamanla
değişmez olması için gerek ve yeter şart,



Eğer y[n] = T{x[n]}, o zaman y[nk] = T{x[n k]} olmalıdır.
(T{x[n]} = y[n] -> sistemin x[n] çıkışıdır )
Örnek: Sıkıştırma sistemi (compressor system) zamanla değişir.
y[n] = x[Mn],  < n < 
Ayrık Zamanlı Sistemler
Ev Ödevi:


Aşağıdaki sistemler hangi özellikleri gösterir (Doğrusallık,
nedensellik, zamanla değişmezlik, kararlılık ve hafızalıhafızasız)
a) y[n] = 3 x[n] – 4 x[n-1]
b) y[n] = 2 y[n-1] + x[n+2]
c) y[n] = n x[n]
d) y[n] = cos (x[n])
e) y[n] = log10 (x[n])
f) y[n] = x[n]4
g) Toplama sistemi
h) Birim geciktirme sistemi
i) Ortalama alma sistemi

Download Report