EKO161 İktisatçılar için Matematik I

EKO161 İktisatçılar için Matematik I - Final Sınavı Çözümleri
Soru 1. 16 metre uzunluğunda bir tel bükülerek dikdörtgen yapılmak isteniyor. En
büyük alanlı dikdörtgenin ayrıtlarını bulunuz.
Çözüm. Teli büktükten sonra elde edilen dikdörtgenin yüksekliği x, uzunluğu ise y
olsun. Buna göre 2(x + y) = 16, yani x + y = 8 olur. Dikdötgenin alanına A diyelim. O
zaman A = xy = x(8−x) = 8x−x2 olur. A, x’e bağlı bir fonksiyon olarak yazılabildiğine
göre A’nın x ∈ [0, 8] için mutlak maksimum değerini hangi x için aldığını bulmak
yeterlidir. A0 = 8 − 2x = 0 ⇔ x = 4 olduğudan x = 4 kritik noktadır. A(0) = 0 = A(8)
ve A(4) = 16 > 0 olduğundan A fonksiyonu mutlak maksimum değerini x = 4 için alır.
x = 4 ise y = 4 olacağından aradığımız dikdörtgen bir kenarı 4cm olan karedir.
Soru 2. f (x) = x2/3 (x − 1)2 şeklinde tanımlı f (x) fonksiyonunun [−1, 1] kapalı
aralığındaki mutlak maksimum ve minimum değerlerini bulunuz.
Çözüm.
2 −1/3
x
(x − 1)2 + 2(x − 1)x2/3
3
x−1
2/3
= 2(x − 1)
+x
3x1/3
2(x − 1)(4x − 1)
x − 1 + 3x
=
= 2(x − 1)
1/3
3x
3x1/3
f 0 (x) =
olduğundan [−1, 1] aralığına düşen kritik noktalar x = 0, 1/4 ve 1 dir. Ayrıca aralığın
uç noktalarını hesaba katarsak;
f (−1) = 4, f (1) = 0 = f (0), f (1/4) =
9
√
32 3 2
olacağından mutlak maksimum değer 4, mutlak minimum değer ise 0’dır.
Soru 3.
(a) Tanım kümesini,
(b) asimptotlarını,
(c) artan-azalan olduğu aralıkları ve yerel ekstremum noktalarını,
(d) konkavlığını ve dönüm noktalarını
2
x
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
inceleyerek, f (x) =
x−1
Çözüm. f (x) in tanım kümesi R − {1} kümesidir. Buna göre f (x) fonksiyonunun
x = 1 noktasında bir düşey asimptota sahip olma ihtimali vardır. Gerçekten de
x
lim
x→1 x − 1
2
=∞
olacağından y = f (x) eğrisi tek düşey asimptotu x = 1 doğrusudur. Ayrıca
lim
x→±∞
1
x
x−1
2
=1
EKO161 İktisatçılar için Matematik I - Final Sınavı Çözümleri
olduğundan y = f (x) eğrisinin tek yatay asimptotu y = 1 doğrusu olur. Şimdi f 0 (x)’i
hesaplayalım:
#
"
−2x
x
x−1−x
0
=
f (x) = 2
.
2
x−1
(x − 1)3
(x − 1)
Dolayısıyla kritik noktalar x = 0 ve x = 1 noktalarıdır. Ayrıca
0
f
0
−
&
1
+
%
−
&
olduğundan y = f (x) eğrisi (−∞, 0) ve (1, ∞) aralıklarında azalır iken (0, 1) aralığında
artar.
(x − 1)3 − 3(x − 1)2 x
x − 1 − 3x
2(2x + 1)
f 00 (x) = −2
= −2
=
6
4
(x − 1)
(x − 1)
(x − 1)4
bulunur. Buna göre
−1/2
–
+
f 00
olduğundan grafik, −1/2 den önce aşağı konkav, −1/2 den sonra yukarı konkavdır.
Buna göre (− 12 , 19 ) noktası dönüm noktasıdır. Elde edilenleri kullanarak aşağıdaki grafiği elde edebiliriz.
2
EKO161 İktisatçılar için Matematik I - Final Sınavı Çözümleri
Soru 4. Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
(a) limx→∞ x2 e−x
(b) limx→1+ x1/1−x
Çözüm. (a)
2x
2
x2
=
lim
=
lim
= 0.
x→∞ ex
x→∞ ex
x→∞ ex
lim x2 e−x = lim
x→∞
(b) 1∞ belirsizliği vardır. Buna göre önce limx→1+ ln(x1/1−x ) limitini hesaplayalım:
lim+ ln(x1/1−x ) = lim+
x→1
x→1
ln x
1
1
ln x = lim+
= lim+ − = −1.
x→1 1 − x
x→1
1−x
x
Böylece
lim+ x1/1−x = e−1 =
x→1
1
e
bulunur.
Soru 5. Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
√
π42
cos x
dx
√ dx
(b)
(a)
2
x
x + 6x + 10
0
√
Çözüm. (a) u = x dönüşümü yapılırsa, du =
ve x =
π2
4
için u =
π2
4
0
π
2
1
√
dx
2 x
olur. Ayrıca x = 0 için u = 0
olur. Dolayısıyla
2
√
π2
π
cos x
√ dx =
2 cos udu = 2 sin u = 2(sin − sin 0) = 2
x
2
0
π
0
bulunur.
(b) x2 + 6x + 10 = (x + 3)2 + 1 şeklinde yazabiliriz. u = x + 3 dersek, dx = du olur.
Böylece
dx
=
2
x + 6x + 10
du
= arctan u + C = arctan(x + 3) + C
+1
u2
bulunur.
3

Download Report