dosyayı indir - 11.sınıf mat çözüm videoları

LİMİT − 10
( FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ )
LİMİT SÜREKLİLİK BÖLÜM 10
FONKSİYONLARDA SÜREKLİLİK
BİR NOKTADA SÜREKLİLİK
f : A  R o l m a k ü ze r e f : A → R b i r f o n k s i yo n
olsun.
a  A o l m a k ü ze r e , lim f (x)= f(a ) o l u yo r s a
Örnek...4 :
41
f (x)= √
x→a
f f on k s i yo n u a n ok t a s ı n d a s ü r e k l i d i r
d e n i r. B i r n ok t a d a s ü r e k l i o l m a ya n
f on k s i yo n a o n ok t a d a s ü r e k s i z b i r
f on k s i yo n d e n i r.
x3−x
f on k s i yo n u h a n g i n o k t a l a r d a s ü r ek s i zd i r ?
TANIM KÜMESİNDE SÜREKLİLİK
Ta n ım a g ö r e f a d a s ü r e k l i i s e :
1 ) f f o nk s i yo n u a d a t a n ım l ı ,
2)
A  R v e f : A → R b i r f o n k s i yo n o l s u n .
H e r x  A i ç i n f f o n k s i yo n u s ü r e k l i i s e f
t a n ım k ü m e s i n d e s ü r e k l i b i r f o nk s i yo n d u r
d e n i r. Ö r n e ğ i n p o l i n om f o n k s i yo n l a r
t a n ım k ü m e s i n d e s ü r e k l i o l a n
f o nk s i yo n l a r d a n d ır.
lim f (x) v a r v e
x→a
lim f (x)= f(a )
x→a
k oş u l l a r ı n ı n ü ç ü d e g e r ç e k l e ş m e l i d i r.
Örnek...1 :
G r af i ğ i a ş a ğ ı d ak i g i b i o l a n f o nk s i yo n l a r x = a
n ok t a s ı n d a s ü r e k l i m i d i r ?
y
y
y=f(x)
y=f(x)
x
a
0
x
a
0
www.matbaz.com
3)
{
x
a .e ;
x=0
sinx
;
x≠0
x
f on k s i yo n u x= 0 n o k t a s ın d a s ü r ek l i i s e a
k aç t ır ?
f (x)=
SAĞDAN VE SOLDAN SÜREKLİLİK
1.
lim f (x)=f (a ) i s e f s o l d a n s ü r ek l i
x→a−
2.
lim f (x)=f (a )
ise f sağdan
x→a +
s ü r ek l i d i r d e n i r.
B i r f o nk s i yo n u n b i r n o k t a d a s ü r ek l i
o lm a s ı i ç i n s a ğ d a n v e s o l d a n s ü r ek l i
o lm a s ı g e r ek i r.
Örnek...5 :
y
y=f(x)
y
y=f(x)
x
0
x
0
a
{
x 2−a
ax +4
(b−3 )x+4 a
f on k s i yo n u 5 n ok t a s ı n d a
a − b k aç t ır ?
f (x)=
x<5
x=5
x>5
s a ğ d a n s ü r ek l i i s e
a
SÜREKSİZLİK
Örnek...2 :
{
2
x +a ; x⩾3
f (x)= x2−x
; x<3
x2−4
f o nk s i yo n u x = 3 n ok t a s ı n d a s ü r e k l i i s e a
kaçtır?
Örnek...3 :
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
I  R v e f : I → R f o nk s i yo n u a  R o l m a k
ü ze r e x = a n ok t a s ı n d a s ü r e k l i d e ğ i l i s e f
f o nk s i yo n u x = a n ok t a s ın d a s ü r e k s i zd i r
d e n i r.
BAZI FONKSİYONLARIN SÜREKSİZ OLDUĞU
NOKTALARI BULMA
1/4
LİMİT − 10
( FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ )
1.
R a s yo n e l F o n k s i yo n l a r :
f (x ) = P ( x ) / Q ( x ) v e P ( x ) v e Q ( x ) p o l i n o m
f on k s i yo n l a r i s e Q ( x )= 0 o l d u ğ u
noktalarda f de tanımsız olacağından
b u n o k t a l a r d a f o n k s i yo n s ü r e k s i zd i r.
e ) t (x)=
{
x 2−x ;
x 2−x ;
x 2−4
x⩽0
x>0
Örnek...6 :
5x−3
f on k s i yo n u n s ü r ek s i z o l d u ğ u
x2−5x +6
n ok t a l a r ı b u l u n u z.
f (x)=
İ r r a s yo n e l F o n k s i yo n l a r :
f (x)=2n√ g(x)
f on k s i yo n u g(x)⩾0 i ç i n
s ü r e k l i d i r.
Örnek...7 :
2
x
f o nk s i yo n l a r ı
x −x 4
h a n g i n o k t a l a r d a s ü r ek l i d i r ?
f (x)=12√ 2x−3
3.
{
x 2−9 ;
x≠3
t (x)= x−3
m. cos(x−3)
, ; x=3
x 2+9
f on k s i yo n u r e e l s a yıl a r d a s ü r e k l i i s e m d e ğ e r i
k aç t ır ?
v e g(x)=
BİR NOKTADA SÜREKLİ FONKSİYONLARIN
ÖZELLİKLERİ
2
P a r ç a l ı F o n k s i yo n l a r : D a l l a r ı
o l u ş t u r a n f o nk s i yo n l a r l a b e r a b e r k r i t ik
n o k t a l a r d a ( ya n i f o n k s i yo n u n k u r a l
d e ğ i ş t i r d i ğ i n ok t a l a r d a ) s ü r e k l i l i k o l u p
o l m a d ı ğ ı a r a ş t ı r ı l m a l ı d ı r.
A  R o lm ak ü z e r e f :A → R v e g : A → R
x= a  A d a s ü r e k l i ik i f o nk s i yo n i s e f  g ,
f . g , f / g v e k .f ( k  R ) f on k s i yo n l a r ı d a
s ü r ek l i o l u r.
KAPALI BİR ARALIKTA SÜREKLİ FONKSİYONLARIN
ÖZELLİKLERİ
f : [ a , b ] → R t a n ım k ü m e s i n d e s ü r e k l i b i r
f o nk s i yo n i s e
1 ) f f o n k s i yo n u b u a r a l ık t a s ın ır l ıd ır. Ya n i
 x  R i ç i n |f ( x ) | < B o l a c a k ş ek i l d e B  R
v a r d ır.
Örnek...8 :
{
sinx ;
x<0
x
f (x)=
ln(x+1) ;
x=0
x
;
x>0
x 2−1
k a ç n ok t a d a s ü r e k s i zd i r ?
2 ) f f o nk s i yo n u [ a , b ] a r a l ığ ın d a
m ak s im um v e m in i m u m d e ğ e r l e r i n e
s a h i p t i r.
3 ) a< x 1 < x 2 < b i ç i n f ( x 1 )  f (x 2 ) i s e
 c  ( x 1 , x 2 ) ö yl e k i f ( c )  ( (f ( x 1 ) , f ( x 2 ) )
Örnek...11 :
Örnek...9 :
F o nk s i yo n l a r ı n s ü r e k l i o l d u k l a r ı a r a l ı k l a r ı
ya z ı n ı z?
a ) f (x)=3 x2 −5 x+2
b ) h(x)=
c ) u(x)= √ x 2−x−12
d)
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
www.matbaz.com
2.
Örnek...10 :
f :[ − 2 , 1 ] → R f (x ) = x ²+ 3 x f o nk s i yo n u x
eksenini keser mi?
sinx
2−cosx
v (x)= √3 x−12
2/4
LİMİT − 10
( FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ )
2
DEĞERLENDİRME
5)
1)
x −4x−12
x2
fonksiyonunu süreksiz yapan x değerleri nedir?
2)
f (x)= √ 9−∣4x−12∣
fonksiyonunu sürekli yapan x değerleri nedir?
3)
4)
f (x)=
√
x−1
x2−1
fonksiyonunun sürekli olduğu en büyük küme
nedir?
v (x)= 3
f (x)=2
fonksiyonunu süreksiz yapan x değerleri nedir?
6)
www.matbaz.com
√
2
x
3
x −5
7)
{
x2−a ;
x<3
ax +b ;
x=3
bx +2 ;
x>3
sürekli bir fonksiyonsa a ve b yi bulunuz?
f (x)=
{
a
; x<3
x 2−7
f (x)=
ax
;
x=3
x+2
bx−2 ;
x>3
fonksiyonu tam olarak 2 noktada süreksiz bir
fonksiyonsa a ve b yi bulunuz?
g(x)=logx−2 (lnx)
fonksiyonunun sürekli olduğu en büyük küme
nedir?
8)
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
sinx
1∗2cosx
fonksiyonunu [ 0,2 π ) aralığında süreksiz yapan x
değerleri kaç tanedir?
g(x)=
3/4
LİMİT − 10
( FONKSİYONLARIN SÜREKLİLİĞİ )
y
9)
13) Şekilde y=f(x) fonksiyonun
f (x)= √ x 2−7x−m
fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli ise m nasıl
seçilmelidir?
y=f(x)
grafiği veriliyor f(x)+g(x)
süreklidir.
Buna göre g(x) fonksiyonu
nasıl bir grafiğe sahip
olabilir, çiziniz?
4
3
2
0
x
3
y
10) Grafiğe göre f(x) fonksiyonu
(−2,6) aralığında sürekli
olduğu x tam sayı değerleri
toplamı kaçtır?
y=f(x)
5
4
3
2
x
6
−2 0
3
Genel Kültür
11) Grafiğe göre
1
g(x)=
1+f (x)
fonksiyonu
(−8,9)
−8 −7
aralığında kaç x
reel sayı değeri
için
süreksizdir?
5
y=f(x)
3
4
x
8
0
−4
9
−5
www.matbaz.com
LİMİTİN FORMEL TANIMI (EPSİLON-DELTA) TEKNİĞİ
y
A  R f : A → R b i r f o n k s i yo n v e a  R v e
LR olsun.
  > 0 i ç i n | x − a | <   |f ( x ) − L | <  k o ş u l u n u
s a ğ l a ya n  > 0 s a yıs ı b u l u n a b i l i yo r s a
x → a i ç i n f f o n k s i yo n u n l i m i t i L o l u r . B u
t a n ım g e om e t r i k o l a r a k v e r i lm i ş t i r
i n c e l e yi n i z .
y
L
ε
f(x) bu aralıkta
ε
x bu aralıkta
δ
0
12) Grafiğe göre
y=f(x)
fonksiyonu reel
saylarda kaç x
reel sayı değeri
için
süreksizdir?
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
y
δ
x
a
B u r a d a a n af ik i r, v e r i l e n h e r d e l t a s a yıs ı i ç i n
a s a yı s ı n ı i ç e r e n r e e l s a yı a r a l ığ ı n e k a d a r
d a r a l t ıl ır s a d a r a l t ıl s ın , f ( x ) d e ğ e r l e r i n i n d e L
yi i ç i n e a l a c a k b i r a r a l ı ğ a h a p s e d e b i l i yo r s a k
l i m i t L d i r d e r i z.
İ n c e l e yi n i z ( G E O G E B R A B A Ğ L A N T I S I )
y=f(x)
Örnek...12 :
f (x ) = x+ 2 f o nk s i yo n u i ç i n
x
lim f (x)=7
x→5
o l d u ğ u n u ε − δ t e k n i ğ i i l e g ö s t e r i n i z.
4/4

Download Report