1.1 Diferencijalne jednaˇcine
Diferencijalne jednaˇcine
Definicija 1.1. Diferencijalna jednaˇcina (n-tog reda) je jednaˇcina oblika
f (x, y, y ′ , y ′′ , . . . , y (n) ) = 0,
gdje je x nezavisna promjenljiva, y nepoznata funkcija, a y ′ , y ′′ , . . . su izvodi nepoznate
funkcije.
Primjer.
2xy ′′ − (x − 3)y ′ − 2y = 6x sin x
y ′′′ − 9y = 0.
Rješenje diferencijalne jednaˇcine je svaka funkcija koja zadovoljava tu diferencijalnu jednaˇcinu.
Primjer. Pokazati da je funkcija y = c1 sin 3x + c2 cos 3x, gdje su c1 , c2 proizvoljne
konstante, rješenje jednaˇcine
y ′′ + 9y = 0.
Ako se u y pojavljuje n proizvoljnih konstanti, onda je ona op´ce rješenje DJ n-tog
reda. Ako nema proizvoljnih konstanti, onda je y partikularno rješenje.
Na primjer, y = sin 3x + 2 cos 3x je partikularno rješenje u gornjem primjeru.
1.1.1 Jednaˇcina sa razdvojenim promjenljivima
Jednaˇcina sa razdvojenim promjenljivima
To je jednaˇcina kod koje se u (??) desna strana može napisati kao proizvod dviju
funkcija od kojih jedna zavisi samo od x, a druga samo od y, tj. jednaˇcina koja ima
formu
y ′ = f (x)g(y) .
(1)
Sljede´cim teoremom dati su uslovi za postojanje i jedinstvenost rješenja jednaˇcine
(1).
Teorem 1.1. Neka je funkcija f (x) neprekidna na intervalu (a, b) i neka je funkcija
g(y) neprekidna i razliˇcita od nule na intervalu (c, d). Tada postoji jedinstveno rješenje
jednaˇcine (1) koje zadovoljava polazni uslov y(x0 ) = y0 (x0 ∈ (a, b) , y0 ∈ (c, d)) i
definisano je u nekoj okolini taˇcke x0 .
y
Primjer. Riješiti jednaˇcinu: xy ′ =
.Jednaˇcinu dovodimo u oblik
y+1
y′ =
y
,
x(y + 1)
1
iz koga uoˇcavamo da je data jednaˇcina sa razdvojenim promenljivima (f (x) =
y
dy
). Razdvajamo promjenljive koriste´ci jednakost y ′ = dx
,
g(y) = y+1
1
x
,
(y + 1)dy
dx
=
.
y
x
Sada integralimo posljednju jednaˇcinu i rješavanjem integrala na lijevoj i desnoj strani
dobijamo rješenje diferencijalne jednaˇcine, y + ln y = ln x + C .
Primjer. Odrediti ono rješenje diferencijalne jednaˇcine y ′ = 6y 2 x koje zadovoljava
1
uslov y(1) = 25
.
Data diferencijalna jednaˇcina je jednaˇcina sa razdvojenim promjenljivima. Zato
prvo razdvojimo promjenljive
y′ =
dy
dy
= 6y 2 x ⇐⇒ 2 = 6xdx .
dx
y
Nakon integriranja posljednje jednakosti
Z
Z
y −2 dy = 6 xdx ,
dobijamo
−
1
= 3x2 + C ,
y
odnosno, rješenje diferencijalne jednaˇcine je
y(x) = −
1
,
3x2 + C
gdje je C proizvoljna realna konstanta. Za razne C imamo razliˇcite funkcije rješenja,
što je prikazano na Slici ??.
Na´ci ono rješenje koje zadovoljava uslov y(1) =
onu za koju je C odredjen ovim uslovom, tj.
1
25 ,
znaˇci od svih funkcija izabrati
1
1
=−
,
25
3+C
odakle nakon kra´ceg raˇcuna dobijamo C = −28, cˇ iji je graf dat na Slici 3.
1.1.2 Primjena u ekonomiji
Koriste´ci se ovim, možemo na´ci funkciju iz njenog koeficijenta elastiˇcnosti!
2
3
C
C
C
C
= −2 —
= −3 —
= −4 —
= −5 —
2
1
−2
−1
1
2
−1
Slika 1: Grafovi rješenja za C < 0
3
C
C
C
C
2
=2—
=3—
=4—
=5—
1
−2
−1
1
2
−1
Slika 2: Grafovi rješenja za C > 0
Primjer. Odrediti funkciju ukupnih prihoda P (Q) ako je
EP,Q =
2Q + 1
,
Q+1
a uz jediniˇcnu potražnju ukupni prihod jednak 10.
Primjer. Odrediti funkciju prosjeˇcnih troškova T (Q) ako je
ET,Q =
Q
,
(2 − Q)(Q − 1)
a uz proizvodnju Q = 3 ukupni troškovi iznose 4.
1.1.3 Linearna diferencijalna jednaˇcina prvog reda
Linearna diferencijalna jednaˇcina prvog reda
3
3
2
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
Slika 3: Graf funkcije y(x) = − 3x21−28
Linearna diferencijalna jednaˇcina prvog reda je oblika
y ′ + f (x) · y = g(x)
i uvijek je možemo napraviti da izgleda na ovaj naˇcin. Ova jednaˇcina se može riješiti
množenjem cijele jednaˇcine integracijskim faktorom
e
R
f (x)dx
,
kako bismo dobili
y′e
R
f (x)dx
ye
ye
R
R
f (x)dx
f (x)dx
odnosno
y=e
+ f (x) · ye
−
R
′
=
f (x)dx
R
f (x)dx
= g(x)e
Z
Z
g(x)e
R
R
g(x)e
= g(x)e
f (x)dx
f (x)dx
R
R
/
f (x)dx
,
Z
dx + c,
f (x)dx
dx + c
Primjer. Riješiti diferencijalnu jednaˇcinu prvog reda y ′ + xy = x.
Primjer. Riješiti diferencijalnu jednaˇcinu prvog reda y ′ −
1.2 Diferentne jednaˇcine
Diferentne jednaˇcine
4
2y
x
= 0.
(2)
Definicija 1.2. Jednaˇcina oblika
xn+1 = f (xn ),
(n = 0, 1, 2, . . .)
(3)
gdje je f : I 7→ I neka funkcija a I je interval, naziva se diferentna jdnaˇcina prvog
reda.
Definicija 1.3. Jednaˇcina oblika
xn+1 = an xn + bn ,
(n = 0, 1, 2, . . .)
(4)
se naziva linearnom diferentnom jednaˇcinom prvog reda, pri cˇ emu su (an ) i (bn ) unaprijed znani nizovi.
Primjer. xn+1 = 2nxn − n2
Ako je bn = 0, ∀n ∈ {0, 1, 2, . . .}, tj.
xn+1 = an xn ,
(5)
onda se to naziva homogenom linearnom diferentnom jednaˇcinom prvog reda.
Kako je
xn+1 = an xn = an (an−1 xn−1 ) = an an−1 (an−2 xn−2 ) = . . . ,
imamo da je
xn = an−1 an−2 . . . a1 a0 x0 =
n−1
Y
ai x0
i=0
Qn−1
Ovo xn = i=0 ai x0 predstavlja op´ce rješenje homogene diferentne jednaˇcine (5).
Umjesto x0 možemo pisati i c - konstanta.
Primjer.
2. xn −
1. xn+1 = 3xn ;
3n+1
3n+7 xn
= 0.
Ako sada posmatramo jednaˇcinu xn+1 = an xn + bn , možemo to promatranje
razdijeliti na sluˇcajeve u zavisnosti od toga da li su (an ) i bn konstante:
xn+1 = an xn + b
(6)
xn+1 = axn + bn
(7)
xn+1 = axn + b
(8)
Op´ce rješenje diferentne jednaˇcine (4) je
!
n−1
n−1
Y
X
xn =
ai x0 +
r=0
i=0
5
n−1
Y
i=r+1
ai
!
br
Op´ce rješenje jednaˇcine (6) je
n−1
Y
xn =
ai
i=0
!
x0 + b
n−1
X
r=0
n−1
Y
ai
i=r+1
!
Op´ce rješenje jednaˇcine (7) je
n
xn = a x0 +
n−1
X
an−k−1 br
r=0
op´ce rješenje jednaˇcine (8) je
(
xn =
x0 −
x0 +n · b
b
1−a
n
a +
za a = 1
b
1−a
za a 6= 1
1.2.1 Primjena Diferentnih Jednaˇcina u Ekonomiji
Obraˇcun kamate
Ako je sa A0 oznaˇcen ulog novca (zajam), a sa r% oznaˇcena kamatna stopa po
principu složenog ukama´civanja.
An oznaˇcava iznos novca nakon n-tog obraˇcunskog perioda. Kako odrediti An ?
A0
A1
A2
=
=
A0 + rA0 = A0 (1 + r)
A1 + rA1 = A1 (1 + r) = A0 (1 + r)(1 + r) = A0 (1 + r)2
An
···
=
(1 + r)n A0
Ako se kamata izražava u procentima, onda de facto imamo
An = (1 +
p n
) A0
100
Primjer. Pretpostavimo da se konstantna suma novca R deponuje na kraju svakog
obraˇcunskog perioda u nekoj banci, pri cˇ emu se na taj novac primjenjuje složeni kamatni raˇcun sa stopom r po svakom obraˇcunskom periodu. Izvesti formulu koliˇcine
novca na kraju n-tog obraˇcunskog perioda. Poseban sluˇcaj R = 1000KM , r = 5%.
Primjer. Odrediti broj godina potrebnih da se odredena
suma novca uloženog u banku
¯
udvostruˇci ako se na nju primjenjuje složeno ukama´civanje sa r = 2%.
6
Amortizacija
Amortizacija je u osnovi plan otplate zajma. Ona omogu´cava uklanjanje zajmovno
optere´cenje tokom odredenog
fiksnog perioda vremena tako što se naprave mjeseˇcne
¯
ili periodiˇcne isplate.
Ove isplate koje se cˇ ine u regularnim periodiˇcnim ratama su saˇcinjene od mjeseˇcne
kamatne stope i dijela principalnog balansa, tj. dijela koji smanjuje ukupni dio stvarnog
duga. Visina mjeseˇcnih (periodiˇcnih) isplata ostaje ista tokom cijelog trajanja zajma.
U ranom periodu života zajma otpla´civanje stvarnog duga je mali, dok je kamata
veoma visoka. U kasnijem dijelu zajma, situacija se obr´ce. Neka je stoga p0 iznos
zajma, dok je r kamatna stopa u procentima.
Onda se amortizacioni plan zasniva na diferentnog jednaˇcini prvog reda
pn+1 = pn + rpn − gn ,
gdje je gn iznos rate otplate. Sjetimo se da je rješenje ovog tipa diferentne jednaˇcine
pn
=
=
(1 + r)n p0 −
(1 + r)n p0 −
n−1
X
(1 + r)n−k−1 gk
k=0
n−1
X
k=0
=
(1 + r)n
gk
(1 + r)k+1
(1 + r)n p0 − (1 + r)n
n−1
X
k=0
1
gk
(1 + r)k+1
No po konstrukciji znamo da je gk odnosno iznos rate otplate fiksan, odnosno konstantan! Dakle gk = G. Stoga
pn = (1 + r)n p0 − (1 + r)n G
n−1
X
k=0
1
(1 + r)k+1
Po klasiˇcnom geometrijskom nizu, imamo da je
n−1
X
k=0
1
1 − (1+r)
n
1
=
k+1
(1 + r)
r
Stoga je
pn = (1 + r)n p0 − (1 + r)n G
1−
1
(1+r)n
r
,
G
r
Sada, znamo da ako je n broj perioda otplate zajma, pn = 0, jer više otplata ne´ce biti!
Dakle
G
0 = (1 + r)n p0 − [1 − (1 + r)n ] ·
r
pn = (1 + r)n p0 − [1 − (1 + r)n ] ·
7
G
= (1 + r)n p0
r
(1 + r)n p0
·r
G=
(1 + r)n − 1
Tako da imamo da je mjeseˇcna (periodiˇcna) otplata
p0 r
G=
1
1 − (1+r)
n
[1 − (1 + r)n ] ·
(9)
Primjer. Napraviti amortizacioni plan ako je poˇcetni zajam 100$, broj obraˇcunskih
perioda n = 5 a kamatna stopa iznosi 5%.
Mjesec
1
2
3
4
5
ukupno
Napla´ceni dug
100 $
81,90 $
62,90 $
42,95 $
22,00 $
Anuitet
23,10 $
23,10 $
23,10 $
23,10 $
23,10 $
115,50 $
Kamata
5,00 $
4,10 $
3,15 $
2,15 $
1,10 $
15,50 $
Otplata glavnice
18,10 $
19,00 $
19,95 $
20,95 $
22,00 $
100,00 $
Model nacionalnog dohotka
Model nacionalnog dohotka je model koji se koristi slijede´cim promjenljivim:
Yt − nacionalni dohodak
Ct − potrošnja
It − investicije
Nacionalni dohodat je zbir potrošnje i investicija, tj.
Yt = Ct + It
Sa druge strane, potrošnja je i funkcija nacionalnog dohotka na slijede´ci naˇcin
Ct = c + mYt
(c > 0, 0 < m < 1).
Promjena nacionalnog dohotka se može mjeriti investicijom:
∆Yt = rIt
∆Y = Yt+1 − Yt = rIt = r(Yt − Ct ) = r(Yt − c − mYt ).
Dakle,
Yt+1 = Yt + rYt − rc − rmYt = [1 + r(1 − m)]Yt − rc
Iz ovoga onda možemo izvesti Yt , pa Yt−1 pa sve do Y0 , tj- u pitanju je diferentna
jednaˇcina.
Ravnotežno stanje nastupa kada je zadovoljen uslov
Y∗ =
b
−rc
c
=
=
1−a
1 − 1 − r(1 − m)
1−m
8
1.3 Diferentne jednaˇcine višeg reda sa konstantnim koeficijentima
Diferentne jednaˇcine višeg reda sa konstantnim koeficijentima
Diferentna jednaˇcina k-tog reda ima oblik:
xn+k + p1 xn+k−1 + p2 xn+k−2 + . . . + pk xn = rn
(10)
gdje je rn neki zadani niz brojeva. Ako je rn = 0, ∀n onda se jednaˇcina (10) naziva
homogenom. Ukoliko je rn 6= 0 za bilo koje n, (10) se naziva nehomogenom.
xn+k + p1 xn+k−1 + p2 xn+k−2 + . . . + pk xn = 0
(11)
Pretpostavimo da je rješenje oblika xn = λn . Dakle
λn+k + p1 λn+k−1 + p2 λn+k−2 + . . . + pk λn = 0/ : λn
λk + p1 λk−1 + p2 λk−2 + . . . + pk−1 λ + pk = 0.
(12)
Jednaˇcina (12) je karakteristiˇcna jednaˇcina diferentne jednaˇcine (11).
Imamo slijede´ce sluˇcajeve:
1) λ1 , λ2 , . . . , λk su rješenja (12) i sva su medusobno
razliˇcita i realni brojevi. Tada
¯
je fundamentalni skup (FS) rješenja (11)
{λn1 , λn2 , . . . , λnk }.
Op´ce rješenje diferentne jednaˇcine (11) je
xn = c1 λn1 + c2 λn2 + . . . + ck λnk =
k
X
ci λni ,
i=1
gdje su c1 , c2 , . . . , ck su proizvoljne konstante.
Primjer. xn+2 − 5xn+1 + 6x1 = 0.
Primjer. xn+2 − 5xn+1 + 4xn = 0 (n = 0, 1, . . .) uz poˇcetni uvjet x0 = 1x1 = 0.
2) drugi sluˇcaj je ukoliko imamo rješenja karakteristiˇcne jednaˇcine λi ∈ R sa višestukoš´cu mi > 1. Tada dio fundamentalnog skupa koji se odnosi na λi ima oblik
{λni , nλni , . . . , nm1 −1 λni }.
Primjer. xn+3 − 5xn+2 + 8xn+1 − 4xn = 0.
3) Ukoliko λ nije realan broj, tada sluˇcaj ne promatramo, jer smo samo zainteresovani za realni sluˇcaj.
9
1.3.1 Nehomogena linearna diferentna jednaˇcina višeg reda
Nehomogena linearna diferentna jednaˇcina višeg reda
Posmatramo ponovno jednaˇcinu (10), tj.
xn+k + p1 xn+k−1 + p2 xn+k−2 + . . . + pk xn = rn .
Neka je rn = P( n)an , gdje je Pm (n) polinom po n stepena m.
xn+k + p1 xn+k−1 + p2 xn+k−2 + . . . + pk xn = P( n)an .
Op´ce rješenje ovoga je xn = xk + xp , gdje je xk rješenje koje odgovara homogenom
dijelu jednaˇcine, a xp neko konkretno (partikularno) rješenje diferentne jednaˇcine (10).
Postoje dvije situacije kako se odreduje
¯ xp :
1. Ako a nije rješenje odgovaraju´ce karakteristiˇcne jednaˇcine, tada se partikularno
rješenje traži kao xp = Qm (n)an , gdje je Qm (n) polinom s nepoznatim koeficijentima koje treba odrediti a odreduje
se tako što se to rješenje xp uvrsti u
¯
jednaˇcinu (10).
2. Ako je a rješenje odgovaraju´ce karakteristiˇcne jednaˇcine s višestukoš´cu mi , tada
se partikularno rješenje traži u obliku
xp = nmi Qm (n)an ,
gdje je postupak za odredivanje
nepoznatih koeficijenata u polinomu Qm (n) pot¯
puno isti kao u prethodnom sluˇcaju.
Primjer.
xn+2 + 3xn+1 − 4xn = n3n .
1.3.2 Primjena u ekonomiji
Pregovori izmedu
¯ radnika i uprave
Ovo nam se ne svida
¯ dok smo još uvijek živimo od sopstvenog rada :)
10
© Copyright 2024 Paperzz
