ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ & ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ : Α’ ΕΠΑΛ Ορισμός ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 : Αριθμητική Πρόοδος Μια ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενο του με πρόσθεση πάντα του ίδιου αριθμού . Δηλ. Μια ακολουθία (αν) είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω αν και μόνο αν : αν+1 = αν + ω, ν  N * ή αν+1 - αν = ω, ν  N * ν-ιοστός όρος Ο νος όρος μίας αριθμητικής προόδου (αν) με πρώτο όρο α1 και διαφορά ω είναι : αν = α1 + (ν-1)ω, για κάθε ν  N * Αριθμητική Πρόοδος Αριθμητικός μέσος Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, αν και μόνο αν ισχύει η σχέση : α+γ ή β= 2β = α + γ 2 Ο αριθμός β λέγεται αριθμητικός μέσος των α και γ. Άθροισμα ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου Το άθροισμα των ν πρώτων όρων μίας αριθμητικής προόδου (αν) με πρώτο όρο α1 και διαφορά ω είναι :  S  1    2 ή  S   21    1   2 Γραμματικόπουλος Χρήστος - Παπαδόπουλος Γιώργος ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Παράδειγμα 1ο  Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν) : 5, 8, 11, …… Να βρεθούν : i) Ο πρώτος όρος και η διαφορά δηλ. α1, ω ii) Ο νος όρος της αριθμητικής προόδου iii) Ο 20ος όρος δηλ. α20 iv) Το άθροισμα των 20 πρώτων όρων δηλ. S20 Απάντηση : i) Πρώτος όρος : α1 = 5, διαφορά : ω = 3 ( 8 - 5 = 3 ) ii) νος όρος : αν = α1 + ( ν – 1)ω = 5 + ( ν – 1)3 = 5+3ν –3 = 3ν+2 ν  N * iii) 20ος όρος : α20 = α1 + ( 20 – 1)ω = 5 + ( 19 – 1)3 = 5+57 = 62 iv) S20 = 20  21   20  1    10   2  5  19  3  10  10  57   10  67  670 2 Άσκηση 1η  Δίνεται η αριθμητική πρόοδος (αν) : -3, 2, 7, …… Να βρεθούν : i) Ο πρώτος όρος και η διαφορά δηλ. α1, ω ii) Ο νος όρος της αριθμητικής προόδου iii) Ο 30ος όρος δηλ. α30 iv) Το άθροισμα των 100 πρώτων όρων δηλ. S100 Απάντηση : …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… Γραμματικόπουλος Χρήστος - Παπαδόπουλος Γιώργος ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Παράδειγμα 2ο  Οι αριθμοί 3x-2, x+1, 2x-5 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου (αν) i) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός x ii) Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς και την διαφορά ω iii) Αν ο αριθμός 3x-2 είναι ο 5ος όρος της προόδου να βρείτε : α) τον πρώτο όρο α1 β) το άθροισμα των 50 πρώτων όρων S50 Απάντηση : i) Επειδή 3x-2, x+1, 2x-5 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ισχύει : 2   x  1   3 x  2    2 x  5   2 x  2  3 x  2  2 x  5  2 x  3 x  2 x  2  5  2  3 x 9   x3 3 3 Οι αριθμοί είναι : για x =3  3  3  2  7,  3 x   9  ii) 3  1  4, 23 5  1 Δηλ. 7, 4, 1 άρα η διαφορά ω = 4-7 = -3 iii) α) α5 = 3x-2 = 7 άρα 1  4  7  1  4   3  7  1  12  7  1  12  7  1  19 β) S50 = 50  2   50  1    25   2 19  49   3   25   38  147   25   109   2725 1  2  Άσκηση 2η  Οι αριθμοί 2x-1, 3x-1, 3x+4 είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου (αν) i) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός x ii) Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς και την διαφορά ω iii) Αν ο αριθμός 2x-1 είναι ο 4ος όρος της προόδου να βρείτε : α) τον πρώτο όρο α1 β) το άθροισμα των 20 πρώτων όρων S20 Απάντηση : …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… Γραμματικόπουλος Χρήστος - Παπαδόπουλος Γιώργος ΕΠΑΛ ΚΑΛΑΜΑΡΙΑΣ Παράδειγμα 3ο  Αν ο 5ος όρος μίας αριθμητικής πρόοδος είναι 14 και ο 12ος όρος είναι 42 Να βρεθούν : i) Ο πρώτος όρος και η διαφορά δηλ. α1, ω ii) Το άθροισμα των 30 πρώτων όρων δηλ. S30 Απάντηση : i)   1  4  14   1   5  14    4  14   1  1  11  42 1 1  11  42 12  42     7  28    28  4 7 και από την 1η εξίσωση : 1  4  4  14  1  16  14  1  14  16  1  2 ii) S30 = 30  21   30  1    15   2   2   29  4   15   4  116   15 112  1680 2  Άσκηση 3η  Αν ο 6ος όρος μίας αριθμητικής πρόοδος είναι 12 και ο 10ος όρος είναι 16 Να βρεθούν : i) Ο πρώτος όρος και η διαφορά δηλ. α1, ω ii) Το άθροισμα των 20 πρώτων όρων δηλ. S20 Απάντηση : …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… …………………………………………………………………………………………………………………………..… Γραμματικόπουλος Χρήστος - Παπαδόπουλος Γιώργος