メジアン 6．最大・最小（2）

メジアン　６．最大・最小（２）
[四ﾒｼﾞCH6](1)a(a+b)=8.a(b+5)の最大値 (2)領域と最大,最小
(1)　a0 a + b1 =8 が成り立つとき，a0 b +5 1 は a =
ア
，b =
イ
x 2 + y 2 =4 から　y 2 =4- x 2　…… ①
で最大値
2
y ) 0 であるから　4- x ) 0
4x +2y 2
よって　-2 (x( 2　…… ②
ウ
10
また　4x +2y 2 =4x +204 - x 21 =-2x 2 +4x +8
をとる。
1
(2)　x，y が不等式 -x +2y( 8，3x +2y( 24，x) 0，y) 0 を満たすとき，- x + y
4
の最大値と最小値を求めよ。
座標平面上に 4 点 O (0，0)，A (1，0)，B 0 1，t1 ，C 0 0，t1 0 1< t <21 がある。直線
y =2x と線分 BC の交点を P，P を通る傾き -2 の直線と線分 AB の交点を Q，Q を通
=-20 x - 11 2 +10
-2
② の範囲で，4x +2y 2 は
O
x =1 のとき最大値 10，
x
1 2
の t の値を求めよ。
x =-2 のとき　y 2 =0　よって　y =0
(2)　x =4 ，y =6 のとき最大値 5，x =8 ，y =0 のとき最小値 -2
s　t =
したがって　x =1，y = $U 3 のとき最大値 10
解説
直線 BC を表す方程式は　y = t
(1)　(ア)　a0 a + b 1 =8 から　ab =8- a 2 …… ①
f 0 a 1 = ab +5a =-a +5a +8
=- a - 5
2
8
9
2
2
s　x =
5
よって，f 0 a 1 は a = のとき最大値をとる。
2
円 0 x - 1 1 2 + y 2 =1 …… ① の周である。
57
(ウ)　最大値は　4
3
3x +4y = k …… ② とおくと，これは傾きが - ，
4
y
領域 D は右の図の斜線部分のようになる。
ただし，境界線を含む。
1
- x + y = k …… ① とおく。
4
y 切片が
A
6
直線 ① が領域 D と共有点をもつような k の値の
最大値と最小値を求めればよい。
B
8 x
O
直線 ① が A 0 4，6 1 を通るとき k は最大で
k =-
4
1
･ 4+6=5
4
直線 ① が B 0 8，0 1 を通るとき k は最小で
k =-
1
･ 8+0=-2
4
よって　x =4 ，y =6 のとき最大値 5，
② から　y =
実数 x，y が x 2 + y 2 =4 を満たしているとき，4x +2y 2 の最大値と最小値，およびその
ときの x，y の値を求めよ。
s　x =1，y = $U 3 のとき最大値 10；x =-2，y =0 のとき最小値 -8
9
②
8
k - 3x
4
y =0 とすると　x =2- t　ゆえに　R 0 2 - t，01
2
x
①
9
2
=1
ゆえに　0 k +2 10 k -8 1 =0 よって　k=-2 ，8
よって　AQ=2t -2，AR=1- 0 2 - t1 = t -1，BP=1-
t
，
2
t
2
D
= 0 3k+ 16 1 2 -25k 2 =0
4
0 四角形 OPQR の面積1 = 0 長方形 OABC の面積1 - △AQR- △BPQ- △COP
1
1
t
1
t
=1 ･t - 0 2t -21 0 t -11 - 1 - 0 2 - t1 - t･
2
2
2
2 2
8
1
2
4
=　③ から　y = -2-3 ･
4
5
5
8
9
3 ･ 8 + 16
8
=
25
5
1
8
4
=
③ から　y = 8-3 ･
4
5
5
9
9
3
3
4
=- t 2 +4t -2=- t 2
2
3
8
1< t <2 であるから，t =
-20 3k + 16 1
3k + 16
をもつ。
=
25
2 ･ 25
3 ･ 0 -2 1 + 16
2
=
25
5
8
x
したがって
直線 ② が円 ① に接するとき，④ の判別式を D とすると　k =8 のとき　x =
1
A
更に，直線 QR を表す方程式は　y - 0 2t -21 =20 x -11 すなわち　y =2x +2t -4
k
4
分母を払って整理すると　25x 2 -20 3k +16 1x + k 2 =0 …… ④
このとき，④ は重解 x =-
R
x =1 とすると　y =2t -2
O 1
③ を ① に代入して　0 x - 1 1 2 +
O
よって　Q 0 1，2t -21
k - 3x
…… ③
4
k =-2 のとき　x =
[四ﾒｼﾞ問37]x^2+y^2=4のとき,4x+2y^2の最大値,最小値"四メジアンⅠⅡＡＢ受神戸学院大#
t
2
BQ= t - 0 2t -21 =2- t，CO= t，CP=
x =8 ，y =0 のとき最小値 -2
解説
8
になる。
D
Q
y - t =-2 x -
y
図から，直線 ② が円 ① に接するとき，k は最大! 最小
4
t
すなわち　y =-2x +2t
k
の直線を表す。
4
B
また，直線 PQ を表す方程式は
8
4
2
4
，y = のとき最大値 8；x = ，y =- のとき最小値 -2
5
5
5
5
等式 x 2 + y 2 =2x を満たす点 0 x，y 1 の存在範囲は，
P
C t
8 2 ，t9
解説
5
25
7
(イ)　このとき，① から　b =8　ゆえに　b =
2
4
10
(2)　与えられた連立不等式の表す領域を D とすると，
2
実数 x，y が x + y =2x を満たしながら動くとき，3x +4y の最大値と最小値を求めよ｡したがって　P
57
+
4
y
t
y =2x において，y = t とすると　x =
2
[四ﾒｼﾞ問38]x^2+y^2=2xを満たす3x+4yの最大,最小" 四メジアンⅠⅡＡＢ受学習院大#
2
4
2
のとき最大値
3
3
解説
x =-2，y =0 のとき最小値 -8
f 0 a 1 = a0 b +5 1 とする。① を代入して
る傾き 2 の直線と x 軸との交点を R とする。四角形 OPQR の面積の最大値とそのとき
-8
① から，x =1 のとき　y 2 =3　よって　y = $U 3
5
7
57
(イ)　(ウ)　2
10
4
[四ﾒｼﾞ問39]座標平面上の四角形の面積の最大値"四メジアンⅠⅡＡＢ受滋賀大#
8
x =-2 のとき最小値 -8　をとる。
s　(1)　(ア)　8
4
2
4
，y = のとき最大値 8；x = ，y =- のとき最小値 -2
5
5
5
5
したがって　x =
2
2
2
9 +3
4
2
のとき最大値
をとる。
3
3
[四ﾒｼﾞ問40]2食品の栄養素含有量に関する線形計画法"四メジアンⅠⅡＡＢ受自治医科大#
2 種類の食品 A，B の 100 g あたりの栄養素含有量は
右の表の通りである。食品 A と B を組み合わせて糖
質を 40 g 以上，蛋白質を 20 g 以上とる必要がある。
一方，脂質摂取量は最小に抑えたい。このような条件
下で脂質は何グラムとることになるか。
s　8 g
糖　質
蛋白質
脂　質
A
20 g
5g
3g
B
10 g
10 g
3g
小値を求めよ。
解説
2
食品 A，B を，それぞれ x g，y g とすると
20
10
5
10
x+
y) 40，
x+
y) 20，x) 0，y) 0
100
100
100
100
s　(1)　u 2 - v =1 ，u の最大値
よって，点 0 x，y1 の存在範囲は図の斜線部分。
ただし，境界線を含む。
y
400
3
3
x+
y が最小となる
このとき，脂質摂取量 k =
100
100
のは，直線 y =-x +
100
400 400
k が点
，
を通ると
3
3
3
8
9
400
3
3
400
3
400
+
=8
きで，最小値は　･
･
100
3
100
3
したがって，最小脂質摂取量は　8 g
400
3
400
200
[四ﾒｼﾞ問41]x>0,y>0,x+y=1のとき,1/xy,(1+1/x)(1+1/y)の最小値"四メジアンⅠⅡＡＢ受神戸薬科大#
x，y が x >0，y >0，x + y =1 を満たすとき
1
(1)　がとりうる値の最小値を求めよ。
xy
8
1
x
98
1+
2U 3
2 3
2
，最小値 - U (2)　最大値 2，最小値
3
3
3
1
がとりうる値の最小値を求めよ。
y
9
1
1
1
1
s　(1)　x = ，y = のとき最小値 4　(2)　x = ，y = のとき最小値 9
2
2
2
2
解説
(1)　x >0 ，y =1- x >0 から　0< x <1
8
9
1
+
4
1
1
よって，xy は x = のとき最大値
をとる。
2
4
このとき　y =1　したがって，
1
(2)　1 +
x
8
98
1
1
=
2
2
1
1
1
は x = ，y = のとき，最小値 4 をとる。
2
2
xy
1
1
1
1
x+y
1
2
1+
=1+ + +
=1+
+
=1+
y
x
y
xy
xy
xy
xy
9
1
1
したがって，x = ，y = のとき最小値 1+2 % 4=9 をとる。
2
2
t　(1)　x >0，y >0 であるから，相加平均と相乗平均の関係により
点 0 x，y 1 と点 0 0，1 1 との距離の 2 乗が
1
最小 (最大)
点 0 x，y 1 は，右の図の正方形の内部および周上を
(1)　x 2 + xy + y 2 =1 から　0 x + y 1 2 - xy =1
動くから
よって，u，v の満たす関係式は　u 2 - v =1　…… ①
0 x，y 1 = 0 0，1 1 のとき最小値 0，
また，x，y を 2 解にもつ 2 次方程式は t 2 - ut + v =0 であり，x，y は実数であるから,
0 x，y 1 = 0 1，0 1 のとき最大値 2 % 0U 2 1 2 =4
O
x
1
① から　v = u 2 -1
[四ﾒｼﾞ例6(1)]x^2+y^2=1のときy^2+6xの最大値,最小値"四メジアンⅠⅡＡＢ受名古屋学院大#
これを ② に代入すると　u 2 -40 u 2 -11 ) 0
実数 x，y の間に x 2 + y 2 =1 の関係があるとき，y 2 +6x の最大値と最小値を求めよ。
2 3
2 3
整理して　3u 2 -4 ( 0　ゆえに　- U (u( U …… ③
3
3
s　x =1 ，y =0 のとき最大値 6，x =-1 ，y =0 のとき最小値 -6
よって，u の最大値は
2U 3
2 3
，最小値は - U
3
3
解説
x 2 + y 2 =1 から　y 2 =1- x 2 …… ①
(2)　x 2 + xy + y 2 =1 から　x 2 + y 2 =1- xy =1- v
2
y 2 ) 0 であるから　1- x 2 ) 0
2
=1- 0 u -11 =-u +2
よって　-1 (x( 1 …… ②
2 3
2
③ において，x 2 + y 2 は u =0 のとき最大値 2，u = $ U のとき最小値をとる。
3
3
ここで　y 2 +6x = 01 - x 21 +6x
u　u =0 のとき　v = 0 -1=-1
2
x 2 + 0 y - 1 1 2 が最小 (最大)
解説
2
1
xy = x0 1 - x 1 =-x 2 + x =- x 2
判別式を D とすると　D) 0 すなわち　u 2 -4v) 0 …… ②
x
O
y
26x 2 + 0 y - 1 1 27 が最小 (最大)
(2)　x + y の最大値と最小値を求めよ。
1
すなわち　y) -2x +400，y) - x +200，x) 0，y) 0
2
(2)　1 +
t　(与式)=26x 2 + 0 y - 1 1 27
2
x+y
1
) U xy x + y =1 であるから　) U xy
2
2
1
1
よって　) 4　等号は x = y = のとき成り立つ。
2
xy
1
1
1
したがって，
は x = ，y = のとき最小値 4 をとる。
2
2
xy
② の範囲において，y 2 +6x は x =1 で最大値 6，
x =-1 で最小値 -6 をとる。
x =1，y =-1　または　x =-1，y =1
① から　x = $1 のとき y =0
8
9
2
-1=
実数 x，y が x 2 + xy + y 2 =1 を満たすとき，次の問いに答えよ。
(1)　x + y = u，xy = v とする。u，v の満たす関係式を求めよ。また，u の最大値と最
-1
1
O
x
3
-6
p　x =1 ，y =0 のとき最大値 6
1
3
x =-1 ，y =0 のとき最小値 -6
u
3
このとき D =0 であるから　x = y = = $ U
3
2
[四ﾒｼﾞ例6(2)]領域(円,直線)とx+yの最大値,最小値"四メジアンⅠⅡＡＢ受近畿大#
連立不等式 x 2 + y 2 ( 4 ，y( U 3 x，y) 0 の表す領域を D とする。点 (x，y) が領域 D を
[四ﾒｼﾞ問43](x+y-1)^2+(x-y+1)^2の最小値と最大値"四メジアンⅠⅡＡＢ受岐阜聖徳学園大#
0 (x( 1 ，0 (y( 1 のとき，0 x + y - 1 1 2 + 0 x - y + 1 1 2 の最小値は
イ
ア
動くとき，x + y の最大値と最小値を求めよ。
，最大値は
s　x = U 2 ，y = U 2 のとき最大値 2U 2 ，x =0 ，y =0 のとき最小値 0
である。
解説
領域 D は図の斜線部分 (境界線も含む)。
s　(ア)　0　(イ)　4
x + y = k とおくと　y =-x + k　…… ①
解説
x + y のとる値は，直線 ① が領域 D と共有点をもつときの k の値である。
2
2
2
2
0 与式 1 = 6 x + 0 y - 1 1 7 + 6 x - 0 y - 1 1 7 =26 x + 0 y - 1 1 7
2
2
0 (x( 1 の範囲において　0 ( x ( 1
2
2
2
0 (y( 1 の範囲において　0 ( 0 y - 1 1 ( 0 -1 1
k の直線 ① の y 切片であるから，直線 ① が円 x 2 + y 2 =4 に y) 0 の範囲で接するとき
最大値をとり，原点を通るとき最小値をとる。
x =0 のとき　x 2 =0 ，　x =1 のとき　x 2 =1
2
y =1 のとき　0 y - 1 1 2 =0 ，　y =0 のとき　0 y - 1 1 2 =1
よって，与式は　x =0 ，y =1 のとき最小値 20 0 +01 = ア 0,　x =1 ，y =0 のとき最大値 20 1 +11 = イ 4
[四ﾒｼﾞ問42]x^2+xy+y^2=1のときx^2+y^2の最大,最小"四メジアンⅠⅡＡＢ受同志社大#
6
=-0 x - 3 1 2 +10
このとき，x，y は t 2 -1=0 の 2 解であるから
2 3
2 3
u = $ U のとき　v = $ U
3
3
y 2 +6x
10
y
円 x 2 + y 2 =4 と直線 ① が接するとき
-k
U 12+12
2U 2
=2 よって　k = $2U 2
2U 2
D
y) 0 の範囲であるから　k =2U 2
直線 ① が原点を通るとき　k =0
-2
O
p　x = U 2 ，y = U 2 のとき最大値 2U 2
x =0 ，y =0 のとき最小値 0
y= U 3 x
2
-2
2
x

Download Report