剛体の運動(重心運動と回転) 角速度、角運動量、慣性モーメント、回転半径、外力のモーメント(トルク) 回転体の運動方程式、エネルギーバランス Copyright (c) 2006 宮田明則技術士事務所 1 剛体の運動は、次の二つの運動の和として扱うことができる (1)重心に全重量を集めた１質点としての運動 (2)重心の周りの回転運動重心(質点)の運動は、 d 2r0 dv F M = = M dt d t2 重心の位置ベクトル r0 = x0 i + y0 j + z0k = ( x0 , y0 , z0 ) 外力のベクトル F = Fx i + Fy j + Fz k = ( Fx , Fy , Fz ) 速度ベクトル v = v x i + v y j + v z k = (v x , v y , v z ) y F G ω,N r0 ω,L,N z o 質量M x 重心の周りの回転運動は、 d 2θ dL I 2 =N=I dt dt 2 d r0 d 2θ 質点 m 2 = F ⇔ 回転体 I 2 = N dt dt Copyright (c) 2006 宮田明則技術士事務所 2 y 2次元剛体の重心の座標(密度 = ρ ) ydm ∫ yρdxdy xdm ∫ xρdxdy ∫ ∫ S S S x= = ,y= = S ∫ dm ∫ ρdxdy ∫ dm ∫ ρdxdy 重心の座標 S S x o S S S 運動方程式 d 2x d2y d 2θ 質点 m 2 = f x , m 2 = f y ⇔ 回転体 I 2 = N dt dt dt 抵抗体、またはダンパー、復元力があるとき、 d 2r dr d 2θ dθ m 2 +b + kr = f , I 2 + B + Kθ = N dt dt dt dt dy dx y x 運動エネルギーKE 2 2 1 2 1 ⎧⎪⎛ d x ⎞ ⎛ d y ⎞ ⎫⎪ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎬ 質点：KEM = mv = m⎨⎜⎜ 2 2 ⎪⎝ dt ⎠ ⎝ dt ⎠ ⎪ ⎩ ⎭ 2 1 2 1 ⎛ dθ ⎞ ⎟⎟ 回転体：KE I = Iω = I ⎜⎜ 2 2 ⎝ dt ⎠ ポテンシャルエネルギーPE PE = mgh など Copyright (c) 2006 宮田明則技術士事務所 3 dθ のときの諸量 dt [質点 iについて], ω ⊥ ri、ri ⊥ fi のとき、速度 vi = riω = (ω × ri ) 運動量 pi = mi vi = mi riω = (mi ω × ri ) 角運動量　li = ri mi vi = mi ri 2ω = (mi ri × (ω × ri )) 外力のモーメントni = ri f i = (ri × f i ) [剛体] 角運動量 L = ∫ r 2ωdm = ω ∫∫ ρr 2 dxdy = Iω 角速度 = ω = 重心の周りの回転運動 y v = rω (= ω × r ) S × r(x, y ) o S ( ) N = ∑ ni 外力のモーメントトルク ω S x ω, L, N I = ∫ r 2 dm = ∫∫ ρr 2 dxdy を慣性モーメント S S 質量をMとして、I = MK 2 としたとき、 K を「回転半径」という。 S 運動方程式 d 2 xi d p x d 2 yi d p y = = f xi , mi = = f yi 質点　mi 2 2 dt dt dt dt ⎛ d pi ⎞ ⎜⎜ = f i ⎟⎟ ⎝ dt ⎠ d li = ri f i 質点の回転 dt dL dω d 2θ =I =I 2 =N 剛体の回転 dt dt dt ⎛dL ⎞ ⎜⎜ = N ⎟⎟ ⎝ dt ⎠ Copyright (c) 2006 宮田明則技術士事務所 4 物体の形状軸の位置円柱重心を通り円柱の軸に垂直な線円柱円柱の軸に一致中空の円柱円柱の軸に一致中空の円柱重心を通り円柱の軸に垂直な線球中心を通る線中空の球中心を通る線直角柱相対する面の中央を通る線環一直径の周り環中心を通り環の面に垂直な線回転半径の二乗K2 l2 r2 + 12 4 r2 2 R2 + r 2 2 R 2 + r 2 h2 + 2 12 2r 2 5 記号 ⎧r = 半径 ⎨ l = 長さ ⎩ r = 半径 ⎧ R = 外の半径 ⎪ ⎨ r = 内の半径 ⎪⎩ h = 長さ r = 半径 2 R5 − r 5 5 R3 − r 3 a2 + b2 12 R = 外の半径 r = 内の半径 a, b = 軸が貫く面の両辺の長さ R 2 5r 2 + 2 8 3r 2 2 R + 4 R = 環の半径 r = 環断面の円の半径出典：守屋富次郎、「力学概論」 Copyright (c) 2006 宮田明則技術士事務所 5 N 例１．円板,円柱、半径 a, 単位面積当り質量ρ a I = ∫ r ρdr × 2πr = 2πρ ∫ 2 0 a 0 a2 = ρπa ⋅ 2 M = ρπa 2 a4 r dr = πρ 2 3 2 r dr 4 2 a a K 2 = I / M = 2πρ / ρπa 2 = 4 2 Copyright (c) 2006 宮田明則技術士事務所 6 N 例2．角棒、丸棒長さ L 、　単位長さ当り質量ρ L L I = ∫ x ρdx = ρ ∫ ρ o x 2 0 0 M = ρL 2 例3．球半径 r ,単位体積当り質量ρ I = 2∫ r dφ φ r π /2 πr 4 cos 4 φ 0 = πρr r cos φ L3 L2 x dx = ρ = ρL ⋅ 3 3 2 L3 L2 K = I / M = ρ / ρL = 3 3 dx r d φ cos φ L π /2 5 ∫ 0 × ρ r dφ cos φ 2 cos 5 φ dφ π ⎤2 ⎡ cos φ sin φ 4 2 = πρr ⎢ + sin φ cos φ + 2 ⎥ 5 15 ⎦0 ⎣ 8πρr 5 4 ρπr 3 2r 2 4 ρπr 3 = = ,M= , 15 3 5 3 8πρr 5 4 ρπr 3 2 2 2 = r K = I /M = / 15 3 5 4 5 Copyright (c) 2006 宮田明則技術士事務所 ( ) 7 ρ (R + l )2 dl ⋅ 2π (R + l )(rd φ cos φ ) 3 = ρ (R + l ) 2πr cos φd φdl 例3　環 π /2 R r 全体積 = 2πR × πr 2 r cos φ 3 ⎛ ( I = 4πr ρ ∫ ⎜ ∫ R + l ) dl ⎞⎟ cos φd φ 0 ⎠ ⎝ − r cos φ 4 r cos φ π / 2 ⎡ (R + l ) ⎤ = 4π r ρ ∫ ⎢ cos φd φ ⎥ 0 ⎣ 4 ⎦ − r cos φ = 4π r ρ ∫ π /2 0 = 8π Rr ρ ∫ 2 π /2 0 R l dl rd φ r cos φ φ ( ) φ )d φ 2 Rr cos φ R 2 + r 2 cos 2 φ cos φd φ (R 2 cos 2 φ + r 2 cos 4 3π 2 ⎞ ⎛π = 8π Rr 2 ρ ⎜ R 2 + r ⎟ 16 ⎠ ⎝4 3 ⎞ ⎛ = 2π 2 Rr 2 ρ ⎜ R 2 + r 2 ⎟ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎞ ⎛ = 2π R ⋅ π r 2 ⋅ ρ ⎜ R 2 + r 2 ⎟ 4 ⎠ ⎝ 3 ⎞ ⎛ = M ⎜ R2 + r2 ⎟ 4 ⎠ ⎝ Copyright (c) 2006 宮田明則技術士事務所 8 例題１　機械H17-Ⅳ-12　T θ T I h+r r mg まず、滑車の重心の運動は： d 2x 横方向の力は 0 → m 2 = 0 dt 垂直方向では、固定点の抗力を T として d 2h m 2 = mg − T L (1) dt が成り立つ。回転については、 d 2θ I = Tr L ( 2) d t2 また、次式が成り立つ。 h = rθ LL (3) この後は、式の計算である。 (1), (2 ), (3) から、 T , θ を消去する。 d 2h d 2 h I d 2θ m 2 + T = mg = m 2 + dt dt r d t2 d 2h I d 2h =m 2 + 2 dt r d t2 d 2h ⎛ I ⎞ ∴ 2 ⎜ m + 2 ⎟ = mg dt ⎝ r ⎠ d 2h mgr 2 = 2 dt I + mr 2 2度積分して、(t = 0 で h = 0, dh / dt = 0 ) dh mgr 2 mgr 2 t 2 = t, h = dt I + mr 2 I + mr 2 2 1 2 h I + mr 2 ∴t = r mg また、 2 mgh dθ 1 dh mgr t = = = d t r dt I + mr 2 I + mr 2 ( Copyright (c) 2006 宮田明則技術士事務所 ) 9 前問で、m を滑車の質量とし、滑車を均質な円板とすれば、Iが容易に求められる。それを用いて、落下時の加速度及び抗力Tを求めよ。 [参考 ] 2 t d h t 2 dh 2 落下速度 : v = dt gdt gt =∫ = = 2 ∫0 3 0 dt dt 3 t t 2 1 落下高さ : h = ∫ vdt = ∫ gt = gt 2 0 0 3 3 回転の角速度と回転角 d φ 1 d h 2 gt h ω= = = ,φ = dt r dt r 3r 円板の慣性モーメント I は、運動エネルギー r2 I = m であるから、重心の運動による KE M と、回転による KE I 2 2 1 1 ⎛2 ⎞ 2 2 d 2h ⎛ I ⎞ KE = mv = m gt = mg 2 t 2 ⎜ ⎟ + = は、 m mg M ⎟ ⎜ 2 2 ⎝3 ⎠ 9 d t2 ⎝ r2 ⎠ 2 1 2 1 mr 2 ⎛ 2 gt ⎞ 1 d 2h ⎛ m ⎞ d 2 h 3m KE I = Iω = = mg 2 t 2 ⎜ ⎟ + = = m mg ⎜ ⎟ 2 2 2 ⎝ 3r ⎠ 9 d t2 ⎝ 2 ⎠ d t2 2 失った位置エネルギー − PE d 2h 2 ∴ 2 = g 1 1 dt 3 − PE = mgh = mg ⋅ gt 2 = mg 2 t 2 3 3 すなわち重力の加速度の 2 / 3 となる。 − PE = KE M + KE I が成り立つ。滑車のない単純な落下では、 (1)式から、また、 − PE = KE M 2 d h 2g 1 であるから、滑車の挿入により、滑車の T = mg − m 2 = mg − m = mg dt 3 3 回転エネルギー分速度エネルギーが減少したことになる。 Copyright (c) 2006 宮田明則技術士事務所 10 例題2　斜面を転がる円板 d 2φ I = Fr L (3) 2 dt また、次式が成り立つ。 x = r φ LL ( 4 ) r2 2 I = MK = M L (5 ) 2 y B o R φ α G F A Mg α まず、滑車の重心の運動は： x方向 : 斜面の摩擦力を F として、 d 2x M = Mg sin α − F L (1) d t2 y方向 : 斜面の抗力を Rとして d2y M = Mg cos φ − R L ( 2) d t2 が成り立つ。回転については、 x 斜面の存在により、 y 方向には運動がないので, (2 )式は 0 になる。 ∴ R = Mg cos α I 1 d 2 x MK 2 d 2 x (2 )(4 )(5 )から、 F = = 2 r r d t2 r d t2 (1)に代入して、 ⎛ K 2 ⎞ d 2x M ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2 = Mg sin α , (5 )を利用。 r ⎠dt ⎝ d 2x r2 1 = g α = g sin α sin d t2 r2 + K 2 1+1/ 2 2 = g sin α 3 Copyright (c) 2006 宮田明則技術士事務所 11 x方向の加速度 d 2x r2 2 A= 2 = 2 g α g sin α = sin 2 dt r +K 3 x方向の速度 2 t d x dx r2 V = dt = 2 g sin α ⋅ t = d t ∫0 d t 2 r + K2 2 = g sin α ⋅ t 3 x方向の位置 t d x 1 r2 g sin α ⋅ t 2 x=∫ dt = 2 2 0 dt 2r +K 1 = g sin α ⋅ t 2 3 角速度 d ⎛ x⎞ 1 ω= ⎜ ⎟= V dt⎝r⎠ r エネルギーバランス 1 PE = − Mgx sin α = − Mg 2 sin 2 α ⋅ t 2 3 2 1 1 ⎛2 ⎞ 2 KE M = MV = M ⎜ g sin α ⋅ t ⎟ 2 2 ⎝3 ⎠ 2 = Mg 2 sin 2 α ⋅ t 2 9 2 1 2 1 1 r2 ⎛V ⎞ 2 KE I = Iω = M ⎜ ⎟ = MV 2 2 2 ⎝r⎠ 4 1 = Mg 2 sin 2 α ⋅ t 2 9 − PE = KE M + KE I もし、斜面に摩擦がないときは、 F = 0 となり、回転はなく、加速度 A = g sin α 速度 V = g sin α ⋅ t 1 位置 x = g sin α ⋅ t 2 2 位置エネルギー PE の減分 1 PE = − Mgx sin α = − Mg 2 sin 2 α ⋅ t 2 2 運動エネルギー KE 1 1 2 KE = MV 2 = M ( g sin α ⋅ t ) 2 2 1 = Mg 2 sin 2 α ⋅ t 2 2 − PE = KE が成り立つ。 Copyright (c) 2006 宮田明則技術士事務所 12 追加　基準点を変えたときのI 重心の周りの慣性モーメントを I g とする。任意の点 A の周りの慣性モーメントを I A とする。 I g = ∑ (ri − rg )•(ri − rg )mi y i = ∑ (ri • ri )mi + ∑ (rg • rg )mi − 2∑ (ri • rg )mi i S ri − rg G× rg o ω, L, N A m i i ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ∑ ri 2 mi + ⎜ ∑ mi ⎟ rg2 − 2⎜ ∑ ri mi ⎟ • rg i ⎝ i ⎠ ⎝ i ⎠ 2 = I A + Mrg − 2 Mrg • rg = I A − Mrg2 ∴ I A = I g + Mrg2 i ri x すなわち、任意の点 A の周りの慣性モーメントは、重心の周りのモーメントに、重心に全重量が集まったと見なした A 点の周りのモーメントを加えた値に等しい。 Copyright (c) 2006 宮田明則技術士事務所 13 応用　基準点を変えたときのI 剛体振子 r = l sin θ O θ l 運動方程式は、θ を減少させる向きのトルクが働くから、 2 2 d θ = −l sin θ × Mg ≈ − Mgl θ I +Ml d t2 d 2θ Mgl g ≈ − = − θ θ 2 2 2 2 2 dt MK + M l K +l /l L = K 2 + l 2 / l の単振子に相当することがわかる。 l ( G ) ( I=MK2 ) ( ) f = Mg Copyright (c) 2006 宮田明則技術士事務所 14