金融派生商品論補足 — Black の公式について — 2003 年 11 月 18 日，高岡浩一郎∗ M. Baxter & A. Rennie 著 Financial Calculus (Cambridge University Press, 1996) の記述に基づき，リスク中立確率 Q の下で原資産価格 S(T ) が対数正規分布に従っているようなモデルにおいて（ほとんどいつもと言って良いくらい）しばしば成立する Black の公式について解説します． • 配当がない株式のオプション価格に関する通常の Black-Scholes 式は，この Black の公式に書き換えることができます． • 外国為替オプション（上記の Baxter-Rennie の本 §4.1） • 配当付き株式のオプション（同 §4.2．連続配当のケースでも，定期的に配当が支払われるケースでも．） • クオント・オプション（同 §4.5） • マルチファクターモデルでのオプション価格（同 §6.2） • 割引債オプションに関しても，Ho-Lee モデルや Vasicek モデルという（同金利モデルの下では，e−rT を割引債価格に置き換えたものが成立． p. 169, 訳書では p. 218．有名な CIR モデルでは，残念ながら不成立です．） • 先物オプションについても成り立ちます（Hull の本の第 12 章を参照のこと）．歴史的には，まず Black が先物オプションについてこの公式を示し，その後，汎用性の高さが明らかになってきたようです．本稿の概要. まず第１節で，多少限定された設定下ではありますが定理の主張を述べます．そこで定義された F という量がなぜ先渡し価格とみなせるかなどについてのコメントや注が第２節です．第３節では定理を証明するための補題を示し，第４節で定理を証明します． ∗ 一橋大学大学院商学研究科．Email: [email protected] 1 1 Black の公式仮定. 以下の２点を仮定する． • ニュメレールは B(t) = ert と，確定的に変動する．（この仮定はある程度緩めることができますが，本稿ではこの設定下で解説します．） • リスク中立確率 Q の下で，満期における原資産価格 S(T ) の分布が対数正規分布である．（この仮定は落とせない．）記号の準備. log S(T ) の分散を 1 T 倍して平方根をとったものを σ̄ と記すことにします．σ̄ は期間ボラティリティ (term volatility) と呼ばれています．【つまり， log S(T ) の分散が σ̄ 2 T であるということ．例えば，Q の下で S(t) = exp σ W (t) + η t ならば log S(T ) = σ W (T ) + η T なので，分散は σ 2 T となり，期間ボラティリティは通常のボラティリティ σ と一致します．】定理. 上記の設定下で， + S(T ) − K Q = e−rT F Φ(d+ ) − K Φ(d− ) E B(T ) が成立する．ただし d± F 2 注１ F ± 1 σ̄ 2 T √ 2 , σ̄ T def log def E Q S(T ) . = = K コメント，注ニュメールが確率的に変動するケースも含め一般的な設定下での解説は，本稿冒頭に挙げた Baxter-Rennie の本の §6.2 を参照して下さい．注２上で定義した F がなぜ「先渡し価格」とみなせるかを説明します．満期 T において原資産１単位を k 円で買うことを，ゼロ時点で契約することを考えます（受け渡し価格 k の先渡し）．ゼロ時点での契約価値は Q S(T ) − k E = e−rT E Q S(T ) − k B(T ) となりますが，実際の市場ではゼロ時点で予約するだけでお金のやりとりはしない，つまりこの契約価値が 0 になるような k = E Q S(T ) が先渡し価格として選ばれる訳です．注３金利の CIR モデルにおいては，割引債価格の分布は対数正規分布ではありません．この定理の適用範囲外です． 2 3 定理の証明に用いる補題補題. 確率変数 Z の分布は標準正規分布であるとする．このとき任意の実数 x と y に対し E exp yZ − y2 2 = Φ(x + y) I{Z>−x} が成立する．ただし一般に IA とは，事象 A が起これば 1 という値，事象 A が起こらなければ 0 という値を取る関数で，A の定義関数 (indicator function) と呼ばれています．1A と記すこともあります．また，上式の左辺を 2 E exp yZ − y2 ; Z > −x と記すこともあります（セミコロンで分ける）．注. y = 0 の時に補題が成立することはすぐ分かると思います．また，x = ±∞ の時も成り立ちます．補題の証明. 左辺 ∞ = −x ∞ = −x eyz− ∞ −x−y x+y = −∞ z2 1 √ exp − dz 2 2π （変数変換） z2 1 √ dz exp − 2 2π 2 = 右辺. 4 z2 1 · √ e− 2 dz 2π (z − y)2 1 √ dz exp − 2 2π = y2 2 定理の証明見やすくするため，２つのステップに分けて証明します． Step 1. S(T ) を S(T ) = F exp yZ − y2 2 (∗) の形に書き表せることを示します．ただし，確率変数 Z は確率 Q の下で標準正規分布に従うものとし，また def y = σ̄ 3 √ T. なぜなら，log S(T ) （確率 Q の下で正規分布になる）の期待値を m と記すことにすると，標準偏差は仮定より y だから log S(T ) = m + y Z の形に書け， S(T ) = em eyZ となるが，確率 Q の下でこの両辺の期待値を取ると F = em e y2 2 . 最後の２式から em を消去すると，(∗) を得ます． Step 2. 本題の証明． + S(T ) − K Q E = e−rT E Q S(T ) − K I{S(T )>K} B(T ) = e−rT = e−rT E Q S(T ) I{S(T )>K} − E Q K I{S(T )>K} 2 F · E Q exp yZ − y2 I{S(T )>K} − K · E Q I{S(T )>K} . 最後の等号は，Step 1 の議論から成立します．ここで S(T ) > K ⇐⇒ exp yZ − ⇐⇒ Z > −d− y2 2 > K F が成り立つので， (∗∗) = e−rT = e−rT = e−rT 2 F · E Q exp yZ − y2 I{Z>−d− } − K · E Q I{Z>−d− } F Φ( d− + y ) − K Φ(d− ) F Φ(d+ ) − K Φ(d− ) 4 . （補題より） 2 (∗∗)