実践格子QCD 準備篇中村純 (なかむらあつし) nakamura at an-pan.org サマースクール「クオークから超新星爆発まで」 QCDパート 2014年7月22日（火）∼26日（土） ! 第一章格子QCDの基礎 Introduction Notation Gauge Transformation Monte Carlo Actions Some Basic Quantities Fermions Hadron Propagators 2 1 Introduction 3 格子場は何がうれしいのか？場の量子論のカットオフを与える強結合展開ができる朝永先生やPolyakovも気がついていた？ゲージ変換が自然に定義できるゲージ固定がいらない数値計算ができる（Asymptotic freeな理論なら）連続理論に自 4 然につながる格子場格子化 紫外切断 (Cut-Off)! 場の量子論=量子化規則+Cut-Off a pmax = 量子化規則：正準量子化, 経路積分、確率過程量子化 etc. π a 5 格子場登場以前摂動によらないカットオフは無い？もしそうなら場の量子論は摂動的にしか定義できない？ Wilsonの格子ゲージ理論の登場で それは杞憂だと分かった Wilson, “Confinement of quarks”, Phys.Rev. D10 (1974) 6 クォーク束縛状態を研究する道具としての格子QCD Parisi 1982頃「格子ゲージ理論の中にはクォークも入っている。どうしてそれも計算機で計算してはいけないのか？」（Creutz, Conﬁnement and the critical dimensionality of space-time , Phys. Rev. Lett. 43 (1979)) 「アメリカに行って聞いたが、出来ないという漠然とした答え」大規模線形方程式のStochasticな解法を開発 7 していた「相対論的束縛状態」は非常に難しい格子QCDではそれを計算できる！ただし、クォークモデルのように「束縛状態」を作っているわけではないターゲットのハドロンと同じ量子数を持ったオペレータを作ってその（虚時間での）減衰を見る J P t J P 8 Introduction 2 Notation Notation Gauge Transformation Monte Carlo Actions Some Basic Quantities Fermions Hadron Propagators 9 格子QCD ユークリッド化（虚時間）経路積分 – U:グルーオン場、ψ：クォーク場 ゲージ場（グルーオン場）の量子論的揺らぎ モンテカルロ計算 フェルミオン（クォーク）のプロパゲータ 線形計算（フェルミオン行列Δの逆行列） µ=x,y,z,t or 1,2,3,4 x1 = 1, 2, · · · , Nx x2 = 1, 2, · · · , Ny x3 = 1, 2, · · · , Nz x4 = 1, 2, · · · , Nt x µ リンク変数連続理論 ¯(x) (x) ¯(x) (y) ¯(x)ei Ry x ゲージ不変ゲージ不変 (x 6= y) Aµ dxµ (y) ゲージ不変 12 e i Ry x x Aµ dxµ y eiaA⌫ a 格子間隔 eiaAµ Uµ (x)U⌫ (x0 ) · · · U⌫ (y) 13 UU · · · U P ei Ry x Aµ dxµ 14 微分を差分にするとみんな当たり前になる時間を格子に tでのx,vを与えるとt+Δ でのx,vが決まる初期条件が必要みなという形ウイルソンの格子ゲージ理論ただし向きが逆の時は x 3 Gauge Transformation Introduction Notation Gauge Transformation Monte Carlo Actions Some Basic Quantities Fermions Hadron Propagators 18 19 （格子上の）ゲージ変換 U(1)の場合ｙ x † ! !(x) Uj (x)!(y) ただし !(x) = e ie✓(x) 格子上のゲージ変換（一般） Uµ (x) ¯(x) (x) (x) Uµ (x) (x + µ ˆ) † ¯(x) (x) (x) (x) ¯(x) (x) ¯(x)Uµ (x) (x + µ ˆ) 不変 Tr Uij Ujk Ukl Uli 不変ゲージ変換（連続極限） U(1)ケース SU(N)ケース 4 Monte Carlo Introduction Notation Gauge Transformation Monte Carlo Actions Some Basic Quantities Fermions Hadron Propagators 25 非常に多次元の積分多次元空間での積分とモンテカルロ I= Z f (x)dx1 dx2 dx3 · · · dxn x2 x1 １次元２次元数値積分の誤差 N: 点の（総）数計算時間はNに比例 N=1000でもn=10の時格子QCDでは通常の数値積分は非現実的モンテカルロ法での誤差次元ｎによらない！ Importance Sampling 被積分関数が平らなら数値積分は容易 dx 1 ' dt f を満たすような変数変換 x t ほぼ平ら Importance Sampling (2) Metropolisアルゴリズム Importance Sampling + Random Sampling 多次元でも通用するモンテカルロ法そんなことができる？！ N.Metropolis et al. J. Chem. Phys. 21, 1087 (1953) 米国化学会のWebで公開されています http://jcp.aip.org/resource/1/jcpsa6/v21/i6/ p1087_s1?bypassSSO=1 Start DO S(x) x End Metropolis Algorithm s s Prs : 全アンサンブルのうち状態 s であるものの数 exp( Es /kT ) を証明する Nicholas Metropolis Νικόλαος Μητρόπουλος 1915 – 1999 状態が r から s に移動するアプリオリな確率 Prs = Psr Ergodicであると仮定 (どの状態も実現される) 歴史的論文だ！ s (となるようにアルゴリズムを作る) Er > Es r の場合 r から s に移動する状態の数： sから r に移動する状態の数： r Prs s Psr exp( (Er Es )/kT ) 35 平衡状態では、s-->r, r-->sは等しい r Prs = s Psr Prs = Psr exp( (Er Es )/kT ) なので r exp( Er /kT ) = s exp( Es /kT ) 左辺は s によらない、右辺は r によらない。それで終わり！つまりconstant s = C exp( Es /kT ) Er < Es の場合も同様原論文通りの証明です証明終わり 36 １次元量子力学 M. Creutz and B. Freedman, Ann. Phys. 132 427, t tf ··· xn-1 x2 x1 ti x ユークリッド化（虚時間化） t! L! Z! i⌧ Z 1 m 2 ✓ dx d⌧ i h R Dxe Z = Dxe ◆2 V (x) = H ( id⌧ )( H) 1 h R d⌧ H = Z Dxe 1 hS 離散化 Z= S= Z X j dx1 dx2 · · · dxn " m a 2 ✓ xj+1 xj a 1e ◆2 S/h + V (xj ) # シミュレーション結果 τ τf xn-1 x2 x1 τi x V(x) x 非調和振動子 V(x) ｘフローチャート （１）MAIN DO isweep=1, Nthermal CALL update DO isweep=1, Nsweep CALL update CALL measurement フローチャート （２）update DO i = 1, N x_old = x(i) x_new = x_old + α*(r1-0.5) dS=S(new)-S(old)を計算 Metropolis check: x(i) = x_old or x_new 境界条件の処理周期的境界条件： x（N+1）=x(1), x(０）＝ｘ（N) （反周期的： x（N+1）=-x(1), x(０）＝-ｘ（N) ） DO i = 1, N ia = i + 1 ib = i - 1 IF( i==N ) ia = 1 IF( i==1 ) ib = N xa = x(ia) xb = x(ib) ... REAL, DIMENSION(0:N+1) :: x x(0) = x(N) x(N+1) = x(1) DO i = 1, N xa = x(i+1) xb = x(i -1) ... 境界条件の処理（２） INTEGER, DIMENSION(N,2) :: inn SUBROUTINE MakeTable ! ! DO i = 1, N DO i = 1, N xa = x(inn(i,1)) ia = i + 1; ib = i – 1 xb = x(inn(i,2)) IF( i==N ) ia = 1 ... IF( i==1 ) ib = N inn(i,1) = ia inn(I,2) = ib ENDDO RETURN END 境界：固定、自由、周期、反周期＋：周期 ! ー：反周期あるいは（反）周期境界条件（周期）（反周期） 5 Actions Introduction Notation Gauge Transformation Monte Carlo Actions Some Basic Quantities Fermions Hadron Propagators 49 格子QCDのラグランジアン (準備) a:格子間隔格子QCDのラグランジアン K.G.Wilson Phys. Rev. D10, 2445 (1974) Erice Lecture Note 1977 問題：サイズNxNyNzNtの格子にプラケットはいくつあるか？スピン型相互作用とゲージ相互作用スピン型というタイプの相互作用から 現れるゲージ型ループ型のため、斜め横の点に属するものとも相互作用。並列化の時に注意を要するフェルミオン（クォーク）作用 ¯i (i, j) SF = i,j (i, j) ab (i, j) : hopping parameter j （古典）連続極限ウォーミングアップ U(1)の場合 =e ia2 gFµ⌫ (x) X P laquette 2 = 1 + ia gFµ⌫ Pµ⌫ (x) = X x (1 1 4 2 2 a g Fµ⌫ + · · · 2 1 4 2 2 a g Fµ⌫ + ··) 2 必要な関係式作用はユニークではない古典連続極限(naïve classical limit)がQCD作用になるゲージ不変な はみなOK O(a)の高次項の効果を減少するもの：Improved action よく使われるものゲージ：Iwasaki 作用、Syzmanzik作用、(DBW2作用） 6 Some Basic Qunatities Introduction Notation Gauge Transformation Monte Carlo Actions Some Basic Quantities Fermions Hadron Propagators 60 Wilson LoopとPolyakov Line ··· ··· ゲージ場のexternal source 系のエネルギーの増加 = eigaAn eigaAn or 1 · · · eigaA1 e SG T L Polyakov Line Polyakov line:クォークラインが１本あるときのエネルギー増加 Confinement ： Z3対称性 i 23 i 43 SU(3)の要素のうち、 1, e , e は他と可換 Ut (i), Ut (j), · · · , Ut (k), ··· は不変 Z3対称性の（クエンチ近似で自発的破れ重クォークポテンシャルゲージ結合定数と格子間隔 M.Creutz, Phys.Rev.D21, 2308 (1980) SU(2) 格子：ｍ：質量次元をもった量 dg 3+ g 0 1 1 = dg 5 3 g g 1 + 1 g2 1 0 dg 3+ g 0 = = da = 5 a 1g 0 a0 + a1 g + a2 g b0 + b1 g + 3 1 + 10 g 2 0g 2 1 1 g 0 0 g3 2 1 + g 0 1+ 1 2 g 0 dg 70 dg 1 3 g 0 = = 1 2 = g 1 2 0 2 0 1 2 g 0 1 2g 0 2 + 2 1 3 0 1+ log g 2 1 2 0 log 2 1 2 0 0g g 1 2 g 0 dg log(1 + 1 2 g ) 0 2 + Const 71 Strong Coupling Expansion 必要な公式 dU Ua,b U b c a d † c,d 1 = 3 a,d b,c 72 Strong Coupling Expansion e 2Nc g2 P laq 2Nc 1+ 2 g 73 7 Fermions Introduction Notation Gauge Transformation Monte Carlo Actions Some Basic Quantities Fermions Hadron Propagators 75 KS (Kogut-Susskind)フェルミオン Wilson fermions r: Wilson項。連続極限では効いていないｒ＝０、c=2maにするとカイラル対称性 ¯ (1) という相互作用 i A ¯ (2) ¯ µ e ¯e+i という変換に対して不変という相互作用 +i B ¯ 5 e ¯e+i という変換に対して不変 5 （ (1)はBに対して不変ではないだから）のときであればカイラル対称性を持つウイルソンフェルミオンはウイルソン項のために、質量ゼロでも駄目カイラル対称性を持つフェルミオン作用の探求はみな失敗に終わるニールセン・二宮のＮｏＧｏ定理 (1981) カイラルフェルミオンの発見 Ginsparg-Wilson (1982) であればいい Neuberger (1998) 8 Hadron Propagators Introduction Notation Gauge Transformation Monte Carlo Actions Some Basic Quantities Fermions Hadron Propagators 80 クォークプロパゲータクォークプロパゲータ =フェルミオン行列の逆 Gaussの消去法？ N^3の演算（N：行列のランク）が疎行列(Sparse行列）であることを利用できない多くの場合 X=b が解ければ十分 b= 0 0 . . 1 . . 0 i X= 1 b= ( i 1 82 ) 共役勾配法（Conjugate Gradient Method, CG法） Ax = b A:対称、正定値とする。 (x, Ax) 0 for そうでない場合は t AAx 1 f (x) = (x, Ax) 2 (b, x) =t Ab f (x) を最小化解はもちろん底の所で f (x) = Ax b=0 x とする。 CG法 p (0) =r (0) =b Ar DO i (0) r (i) =b (i) Ax Residue,残差 (p , r ) = (i) (1) (2) (3) (i) p ,p ,p ,··· (p , Ar ) (1) (2) (3) (i+1) (i) (i) (i) r ,r ,r ,··· x =x + p 線形独立 (i+1) (i) (i) (i) r =r Ap (i+1) (i) (r , Ap ) (i) 最大でもN回で収束 = 計算は (p(i) , Ap(i) ) (i) p (i+1) (i) =r (i) (i+1) + (i) (i) (Matrix) (Vector) p ベクトルの内積グラスマン変数 0 Berezin (1966) Matthews-Salam公式 Exercise " ψ 1 #" A11 A12 # (ψ 1 ψ 2 ) For ψ Aψ = $ %$ % &ψ 2 '& A21 A22 ' −ψ Aψ = det A Show that ∫ dψ 1dψ 1dψ 2dψ 2e e −ψ Aψ = 1 + (ψ 1 A11ψ 1 + ψ 1 A12ψ 2 + ψ 2 A21ψ 2 + ψ 2 A22ψ 2 ) 1 + (ψ 1 A11ψ 1 + ψ 1 A12ψ 2 + ψ 2 A21ψ 2 + ψ 2 A22ψ 2 ) 2 + .. 2 Only these terms contribute 86 メソンのプロパゲータ例：パイ中間子 1 Z ¯ e DU D¯ uDuDdDd 1 = Z DU e SG det SG u ¯ u d¯ d (u) det (d) (x) (y) † 1 Z DU e SG det (u) x G (u) det (d) y ( (u) ) 1 G (d) ( (d) ) 1 例２ sigma メソン 1 Z ¯ e DU D¯ uDuDdDd SG u ¯ u d¯ d 1 Z DU e SG det (u) det (d) の時ー x y x y