●正規分布( 正規分布(ガウス分布ガウス分布) 分布)とばらつき( ばらつき(分散、分散、標準偏差) 標準偏差) Normal distribution Gaussian distribution Standard Deviation 試験の試験の結果、結果、全員が全員が同じ得点であった得点であった場合であった場合、場合、平均値はその平均値はその得点はその得点であり得点であり、であり、各人の各人の間に差が無いので" いので"ばらつき" ばらつき"が 2 なく、なく、従って、って、分散(d 分散(d )＝０、標準偏差(d) 標準偏差(d)＝ (d)＝０となります。となります。 2 2 ここで、ここで、分散(d 分散(d )＝ 1/n * Σ(x(x-u) ：x は個々のデータ値のデータ値、u は平均値、平均値、n はデータ総数はデータ総数、総数、* は乗算の乗算の意味標準偏差(d) 標準偏差(d)＝ (d)＝√分散 2 です。『Σ です。『Σ(x(x-u)=0 u)=0』 =0』となりとなり、分散の分散の様子( 様子(ばらつき) ばらつき)がわからないのでがわからないので、ので、分散では分散では『では『Σ(x(x-u) 』としていとしていますています。ます。精密に精密に物の長さや重さや重さを測さを測るとき、るとき、測る回数を回数を増やし、やし、その平均値その平均値を平均値を求めます。めます。また、また、製品の製品の出来具合の出来具合の平均値とその分散とその分散( 分散(ばらつき) ばらつき)の具合を具合を見て、良品の良品の範囲を範囲を決めたりします。めたりします。ｘ軸に測定値、ｙ測定値、ｙ軸、ｙ軸に測定値を測定値を得た回数、回数、としてグラフを描としてグラフを描くと、くと、下図のような下図のような分布曲線のような分布曲線ができ分布曲線ができ( ができ(不真面目だと不真面目だとてきませんが) てきませんが)、平均値近傍平均値近傍に近傍にデータが集データが集まるようなまるような分布ような分布となり分布となりますとなります。ます。これが左右対称これが左右対称なら左右対称なら正規分布なら正規分布となり正規分布となり、となり、機械で機械で作られた製品られた製品は製品は、この正規分布この正規分布に正規分布に従うものとしてうものとして、して、価格などを価格などを決などを決めます。めます。 2 2 正規分布の正規分布の式は、『 N(u N(u,d ) : u=平均値、平均値、d =分散（分散（d=標準偏差 d=標準偏差）標準偏差）』で表わします。ます。 F(x F(x) = {1/(d*√ {1/(d*√2π)} * ((x-u)^2)/(2*d^2) ^2)/(2*d^2) e-((x 2 (e=自然対数 (e=自然対数の自然対数の底=2.71828･･･ 2.71828･･･、･･･、d^2 = d ) 2 また、また、標準正規分布標準正規分布の正規分布の式は、上式で上式で『 N(0,1) : u=0、 =0、d =1（ =1（d=1） d=1）』として表として表わします。ます。 F(X) = (1/√ (1/√2π) * X^2)/2 e-(X^2)/2 下図に下図に標準正規分布標準正規分布を正規分布を示します。します。この曲線この曲線の曲線の内部面積内部面積(X 面積(X 軸と囲まれる部分まれる部分の部分の面積) 面積)は 1 となりとなり、頂点 A = 1/(d*√ 1/(d*√2π) ≒ 0.399 となりますとなります。ます。つまり、つまり、平均値が平均値が得られる確率られる確率は確率は 39.9 ％ということですということです。です。 X^2)/2 e-(X^2)/2 -(X^2)/2 X^2)/2 F"(X) = -A * (X^2(X^2-1) * e F'(X) = -A * X * F(X)(=確立) A=0.399 -(X^2)/2 X^2)/2 +∞ ∫(e^((e^(-a*X^2))dx = √(π/a) -∞ F(1)=0.242 ･･･変局点 F(X)=(1/ F(X)=(1/√ (1/√2π)*e )*e の[ガウス積分ガウス積分] 積分]より P=0.159(X=<-1) +∞ ∫(A*e^((A*e^(-0.5*(X^2))dx 0.5*(X^2))dx -∞ = A*√ A*√(π/0.5) = A*(√ *(√2π) = (1/(d*√ (1/(d*√2π)*(√ )*(√2π) = 1 ･･･内部面積の内部面積の総和 F(2)=0.054 P=0.023(X>=2) -3 -2 -1 0 1 2 3 X(=d) P:面積 P:面積( 面積(確率) 確率) 標準正規分布曲線 -((x((x-u)^2)/(2*d^2) なお、なお、正規分布上の正規分布上の x 値から標準正規分布から標準正規分布上標準正規分布上の X 値への変換への変換は変換は、e X = (x(x-u)/d = e-(X^2)/2 より 2 : u=平均値 u=平均値、平均値、d =分散、分散、d=標準偏差 d=標準偏差でできます。でできます。偏差値とは差値とは、とは、平均値を平均値を 50 とし、とし、標準偏差の標準偏差の単位が単位が 10 となるようにしたもので、となるようにしたもので、上図で上図で、X 軸上で軸上で 0 を 50、 50、 1 を 60、正規分布に沿うとき、うとき、偏差 60、2 を 60、 60、... と置き換えたものとなります。えたものとなります。あるテスト結果あるテスト結果が結果が上図の上図の標準正規分布標準正規分布に値が 60 以上の以上の人は全体の全体の 15.9 ％であるということになります。であるということになります。 1 【問題１問題１】 2 ある工場ある工場で工場で製造される製造される製品される製品の製品の重量分布 x が正規分布 N(0,1 )に従うとき、とき、期待値( 期待値(平均値) 平均値)に対し、標準偏差が 2 以上狂った以上狂った製品った製品が製品が製造される製造される確率される確率はいくらか確率はいくらか。はいくらか。【問題問題１問題１の答】標準正規分布と標準正規分布と同じとみなし、じとみなし、『-2 以下と以下と +2 以上の以上の占める面積める面積が面積が全体の全体の何パーセントか』パーセントか』を読み取ることができればよとができればよいのですがのですが、あらかじめ計算あらかじめ計算された計算された『された『標準正規分布表』標準正規分布表』が公表されている公表されているのでそこからされているのでそこから読のでそこから読み取ります。ります。 <公表例> 公表例> x 0 P(確率 P(確率= 確率=面積) 面積) ... 0.500 0.5 ... 0.309 1.0 ... 0.159 2.0 ... 0.023 2.5 ... 0.006 3.0 ... 0.001 1.5 ... 0.067 ・(x,P)=(0,0.5)： (x,P)=(0,0.5)：0=<x=<∞ 0=<x=<∞ または -∞=<x=<0 の範囲の範囲の面積(= 面積(=確立 (=確立) 確立)が 0.5 になるということ。になるということ。・(x,P)=(1,0.159)： (x,P)=(1,0.159)：1=<x=<∞ 1=<x=<∞ または -∞=<x=<=<x=<-1 の範囲の範囲の面積(= 面積(=確立 (=確立) 確立)が 0.159 になるということ。になるということ。公表より公表より答より答えは 4.6_% (= 0.023 * 2 = 0.046) 。参考までに参考までに、までに、0±1 以下の以下の範囲に範囲に X が含まれる確率まれる確率は確率は 0.682 ( = 1-2*0.159) と計算できます計算できます。できます。【問題２問題２】ある工場ある工場で工場で製造される製造される製品される製品の製品の重量分布 x が、正規分布 N(2,9 N(2,9) に従うとき、とき、4=<x<=5 となる確率となる確率 P を求めよ。めよ。【問題問題２問題２の答】標準正規分布 N(0,1) 上に対応する対応する X 値を求めればよく、めればよく、X = (x(x-u)/d で変換する変換する。する。 2 u=2、 u=2、d=3 (d =9) だから、だから、 X(x=4) = (4(4-2)/3 = 2/3 X(x=5) = (5(5-2)/3 = 1 となり、となり、結局、結局、標準正規分布表から標準正規分布表から『から『2/3=<X<=1』 2/3=<X<=1』の範囲の範囲の面積を面積を求めれば良めれば良い。【問題３問題３】ある試験ある試験で試験では、平均点が平均点が 60 点、標準偏差が標準偏差が 10 点の正規分布に正規分布に従った。った。 70 点以上、点以上、80 点以下である点以下である生徒である生徒の生徒の確率はいくらか確率はいくらか。はいくらか。【問題問題３問題３の答】 2 2 正規分布 N(u=60 となり、これを標準これを標準正規分布標準正規分布 N(0,1) 上に対応する対応する X 値を求めればよめればよい。 N(u=60, u=60,d =10 ) となり、 X = (x(x-u)/d で変換し変換し、u=60 u=60、 60、d=10 d=10 だから、から、 X(x=70 X(x=70) 70) = (70 (7070-60)/ 60)/10 )/10 = 1 X(x=80 X(x=80) 80) = (80 (8080-60)/ 60)/10 )/10 = 2 となり、となり、結局、結局、標準正規分布表から標準正規分布表から『から『1=<X<=2 =<X<=2』の範囲の範囲の面積を面積を求めれば良めれば良い。 2