基礎統計 2015 年 4 月 17 日例１：A クラスの採点方針：全員 75 点 ttp://mcobaya.web.fc2.com/kisotokei/index_ut.htm B クラスの採点方針：50%は 85 点、50%は 65 点石井俊全『まずはこの一冊からどちらも平均点は 75 点でも、B クラスにはリスクがある。第一章意味がわかる統計学』ベレ出版相対度数分布グラフ変量（調査、計測した資料の値）この講義では、サンプルサイズを N とし、 x1 , , x N N を資料の個数（サンプルサイズ）、n を階級の数とすると 1) 原データから平均を計算する方法階級：データ分類する区間「０点以上１０点未満」等 x サイズ：資料に含まれるデータの個数（資料の個数）階級値：階級の範囲の中央（平均, 代表）値。これで階級内の値を代表させる。この講義では、階級の数を n とし、 x1, , xn ヒストグラム相対度数分布グラフの書き方 x1    x N N 2)度数分布表から平均を計算する方法： n を階級の数、 i 番目の階級の度数 fi、階級の代表値を対度数 g1  f f1 , , g n  n N N と定義すると x xi とし、相 f1 x1    f n xn N はルール 1：各階級の柱の底辺の長さは階級幅に比例させる。（一つのグラフに異なる階級幅が混在するときに重要） x  x1 f f1    xn n N N ルール 2：相対度数分布グラフの柱（長方形）の面積は相対度数(全体の度数に対する比率）に比例させる。（最重要）したがって、相対度数が同じで、階級幅が c(2)倍なら高さを 1/c(半分)とする。（方とも書ける。よく見ると g1  f f1 , , g n  n N N x  x1g n    xn g n 眼紙の１マスあたりの相対度数を決め、共通にしておくとよい。）と平均が相対度数と階級値で表現できた。おまけ：階級の数決定にはスタージェスの公式同様にして、分散=偏差の二乗の平均が便利な目安(N=64 なら log2N=6 なので k=7) は相対度数なので、 s2  階級の幅を c, 相対度数=fi/N のとき、高さ=fi/(cN)とする。 ( x1  x ) 2    ( xN  x ) 2 f f は相対度数 g1  1 , , g n  n N N N と階級の代表値 x1, , xn を使い第 2 節(p.26) 平均、分散・標準偏差 s 2  ( x1  x ) 2 f f1    ( xn  x ) 2 n  ( x1  x ) 2 g1    ( xn  x ) 2 g n N N 平均＝変量の総和÷資料の個数データの変換と平均、平均偏差=変量の平均からの差例 2-1：X が次のような分布をしていた。分散=偏差の二乗の総和÷資料の個数(サンプルサイズ) 注意：不偏分散(サンプルサイズから１を引いた数が分母の分散)を使うこともある。N がある程度大きいときは分散とほとんど差がない。標準偏差=√分散。分散を「分布の中心からの距離の二乗」の平均的値と考えれば、標準偏差は分布の中心からの距離の平均的値とほぼみなせる(誤差はあるが)だから、標準偏差がわかれば、ばらつきの大きさはほぼ検討がつく。分散も標準偏差もバラツキの尺度。 x1 , , xn が N 回の計測値なら計測の精度を表し、投資の収益率ならば投資のリスク（不確実性）を値 -2 -1 0 1 2 相対度数 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 平均＝０分散=0.1×(-2)2+0.2×(-1)2+0.4×02+0.2×12+0.1×22 =0.4+0.2+0.2+0.4=1.2 標準偏差≒1.1 例 2-2 W=X+2 が次のような分布をしていた。値 0 1 2 3 4 相対度数 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 示す。ハイリスク・ハイリターンというときのリスク。（日常用語の平均＝2 リスクは下がるときだけだが、金融でのリスクはバラツキの大きさを分散=0.1×(0-2)2+0.2×(1-2)2+0.4×(2-2)2+0.2×(3- 指す）だから金融用語では「下振れリスク」という妙な表現が存在。 2)2+0.1×(4-2)2 むしろ波瀾万丈度の尺度 =0.4+0.2+0.2+0.4=1.2 標準偏差≒1.1 換をうけ、90×0.5＋20=____となる。「例 2-3 Y が次のような分布をしていた。い。」といってよ値 -20 -10 0 10 20 2)知能指数は平均が１００、標準偏差を１５（もしくは１６）。相対度数 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 練習問題：某大学の期末試験において 3 つのクラスで次のよ平均＝０うな点数分布を得た。相互に比較しやすいように相対度数分分散=0.1×(-20) +0.2×(-10) +0.4×0 +0.2×10 +0.1×20 2 2 2 2 2 布グラフを描け。小さな正方形の面積を 0.1 とせよ。 =40+20+20+40=120..X の分散の 100=10 倍 A 組（点数）度数相対度数標準偏差≒11 10 以上 20 未満 20 0.2 20 以上 30 未満 40 0.4 30 以上 50 以下 40 0.4 合計 100 1 B 組（点数）度数相対度数 10 以上 20 未満 20 0.2 20 以上 30 未満 40 0.4 30 以上 40 未満 20 0.2 40 以上 50 以下 20 0.2 合計 100 2 X の標準偏差の 10 倍より直感的分散と標準偏差の使い分け Y の標準偏差は「中心からの平均距離だから１ぐらいかな」絶対値の平均でないのは、絶対値は数学的に扱いにくいことと、偏差の自乗の平均で定義したほうが、性質がよいため（詳細は省略）教科書 p.49 もとの資料の平均を資料の平均を x 2 ,分散を s とし、変換後の x  、分散 s 2 をとする。ア)もとの資料の変量に一律に a を加えると、 x  x  a, s 2  s 2 と平均は a 増加するが、分散は変わらず。（位置がかわるだけなので、バラツキは不変）イ)もとの資料の変量を一律に b 倍すると、 x  bx , s 2  b 2 s 2 2 と平均は b 倍になり、分散 b 倍、標準偏差は b 倍。 A 偏差値：すべての得点に同じ数を加えたり、かけたりして、平均＿＿、標準偏差＿＿になるように変換したもの。例：あるクラスの期末試験の得点分布は、平均点６０、標準偏差 20 であった（ x1  80, x2  40 ）考え方１。まず標準偏差を揃えよう。素点に 0.5 を一律にかけると、平均は 0.5 倍、分散は 0.25 倍、標準偏差は 0.5 倍になるので、（ x1  40, x2  20 ） 0 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 A 変換後の得点の標準偏差は 10（成功）。ここで平均は半分の３０点なので、２０をくわえれば、（ x1  60, x2  40 ）分散は不変であり、平均だけが２０増加する。練習問題３平均５０点、標準偏差１０の模擬試験で、６０点の A 君と、平均点６０点、標準偏差２０の模擬試験で９０点の B 君ではどちらが成績上位に位置するか。 0 考え方：B 君のうけた模擬試験を平均得点５０点、標準偏差１０に変換してみよう。すべての得点に０．５をかけ、２０を加えると平均が５０、標準偏差１０に変換される。これは A 君の受けた試験と同一の平均と標準偏差。一律に得点が変換されるのだから、B 君の得点も変