y軸射影スカラー y＝ Asin( ωt ) ma=-kx F=-kx mx =-kx x =

B3 単振動
等速度運動
0
これまで登場した運動は加速度が　である　と、
一定
等加速度運動
加速度が　である　があった。これらは共に
ということで共通している。
Δ a=0 加速度が一定
加速度
時間
ここでは
が　で変化する運動が登場する。
媒質
振動を伝えるのは小さく見ていくと　が連携して運動している。
○　媒質
位相
これらが　を伝え、空間的な波を形成する。
○　角速度
ω [rad/s]
ω＝２πｆ＝２π /T
角振動数ともいい　で表す。周期 T、振動数ｆとすると　・F-t グラフ
Q1　波を伝える媒質１つに働く力（合力 F) はどう変化するか。F-t,F-y グラフにしてみよ。
F
F
F=ky
y=Asin ωｔ
・F-x グラフ
F=-ky
・y-t グラフ
・v-t グラフ
Q2
A y
-A
t
媒質１つの運動を v-t のグラフにしてみよ。運動 E, 位置 E はどうなるか。
赤：運動 E
v
E,U
v=A ω cos ωｔ
F=-ky
t
・E-t グラフ
t
○　円運動と単振動
harmonic oscillation
2
上の Q1,2 のグラフの位相にはどんな関係があるだろうか。
2
2
mA ω cos ωｔ /2
mA2 ω 2sin2 ωｔ /2
y-t π /2 回転→ v-t π /2 回転→ a-t(F-t)
等速円運動をｙ方向の高さのみ考えて時間と高さのグラフにしてみるとこれはきれいな
・振幅と時間
正弦波
単振動
ができる。この運動を　という。
Ａ　ｍ
円運動の半径が　振幅
に相当する。　記号：　単位：
Q. 周期を T として振幅が A/2 から次の A/2 に達する時間を求めよ。
ｙ
・単振動の時間
120 度だから T/3
時間は円運動で考える
振動の中心
周期 T が基準
振幅 A
▽　射影
2 次元の情報を持っている。しかし、単振動で
円運動上の質点の持つ速度ベクトルは本来　影からは厚みはわからない。
表現してしまうと　の情報は消失してしまう。このような操作を動径ベクトルを
ｘ軸
裏か表もわからないので
射影
スカラー
軸に　するという。射影された値は　となる。
ｙ軸
右周り、左周りもわからない。
Ｑ．半径Ａ角速度ωの等速円運動をｙ軸に射影した式を求めよ。t=0 で θ ＝０とする。
θ
○　単振動の式
ｙ＝ Asin( ωｔ )
重力や摩擦抵抗の無視できる環境でバネ定数ｋのバネに質量ｍのおもりをつけて力 F を加え
ておもりを x 軸の正の方向に引く。正の向きに A だけ引いてはなした。
ア）自然の長さからｘだけ伸ばしたとき
物体に働く力を求めよ。
・　式の立て方
１．初期設定
a
・原点
・軸の正の向き
２．運動方程式
F=-kx
イ）位置ｘに物体があるときの運動方程式を求
めなさい。
x
ma=-kx
ウ）上式を微分表現せよ。
・
・
mx=-kx
単振動 -1
・
・
・・
x=-k/m x x=- ω ² x
B3 単振動
○　単振動の式
エ)
k/m
ω２
を
としてこの運動方程式を解きなさい。原点での時刻を０とし、また
一般解（x,v,a）を求めてみなさい。（変数を微分表現せよ）
角速度　・・
▽微分と物理
ｘ＝ーω ² ｘなので　ｘ (t=0) ＝０を満たす解としてｘ＝ ASinωt とすると
B3 単振動
○単振動を解く　Q
単振動の式や周期には最初に引く長さ　は影響しない。しかし、等加速運動の
振幅
・バネが横摩擦なし
S-t,V-t,a-t に対応する式には　が大きく影響する。t=0
初期条件
での　と　位置　速度
・初期条件
を初期条件という。例えば t=0 で位置ｘが０、速度が負に最大であれば式は次になる。
ｘ＝ ASin( ωｔ + θ）としてｔ＝０からθは０か π しかし、微分して
これは方程式を満たす。
＊グラフと式で理解しよう
・
微分の省略形
よってｘ＝ｖ＝ω ACos ω t
dx 
xv
dt
d2 x ..
 x a
dt2
・・
2
ｘ＝ a= ーω ASin ω t
原則θは正で 0 ≦θ≦π
v=-A ω＝ A ω Cos( ωｔ + θ ) からθ = π
・原点正はじまり
ｘ＝ー ASin ωｔ　ｖ＝ｘ＝ー A ω Cos ωｔ　a=x=A ω 2Sin ωｔ
x=Asin ω t
・原点負はじまり
ｘ－ｔ
微分
速さは　グラフの傾きであり、関数の傾きは　で求めることができる。
ある関数を f(x), ある点を x0 、　x0 に非常に近い点を x0 ＋ Δx
f(x0+ Δ x) ＝ f(x ₀ )+f'(x0) Δｘ
f(x ₀ )+f'(x0) Δｘ
f(x0+ Δ x)
x=Acos ω t
ω＝√ (k/m)
ω＝２πｆ
x
T= ２π / ω =1/f
Δx
最大負始まりだから
・
・
ｘ＝ー ACos ωｔ　ｖ＝ A ω Sin ωｔ　a=x=A ω 2Sin ωｔ
Q2 振幅 A, 周期 T とし、初期条件　t=T/4 でｘ＝ -A,　v=V の時のｖの式と振動数ｆを求めよ。
ｘ＝ ASin( ωｔ + θ）として条件から -A=ASin(π/2+θ) から θ=π　微分して
x=-Acos ω t
V ＝ A ω Cos( π /2+ π )=0　これから V=0、f=1/T ω=2π/T　よって
角振動数と周期の積は
ω T= ２π
カ）さらに下に位置、速度、加速度のグラフを描きなさい。
v=Acos(2 π /T・t ＋π )=-Acos(2π/T・t)
Q4 振幅 A, 周期 T とし、t=T/8 でｘ＝√ 3A/2,　v=V の時のｖの式と振動数ｆを求めよ。
ｘ＝ ASin( ωｔ + θ）として条件から√ 3A/2=ASin(π/4+θ) から θ=π/12　微分して
V ＝ A ω Cos( π /3)　これからω =2V/A=2πf f=V/(πA)　よって v=2Vcos(2V/A・t ＋ π/12)
原点は Vmax
端点は aMax
位置
Q1 初期条件　t=0 でｘ＝ -A,v=0 の時の x,v,a の式を求めよ。角速度は ω とする。
・最大負はじまり
オ ) この運動の角速度、周期を求めなさい。
・角速度と周期
・
・
・最大正はじまり
f(x)
とすると f(x0 ＋Δ x) は次のように与えられる。
微分の定義
x=-Asin ω t
・
Q5. 摩擦のない面に 2kg の物体をバネにつけた。自然の長さを x 軸の原点とする。
ア）１ｍ引っ張るのに８N の力が必要であった。このバネのバネ定数を求めよ。
速度
Ｆ＝ｋｘより８＝ｋ×１　ｋ＝８[N/m]
π/２
三角関数の微分は　だけ
正(右)
軸が　にずれる。
加速度
☆ Point 位相と周期
次に自然の長さから２ｍだけｘ軸の正の方向に引っ張って放す。この時を t=0 に決める。
＊単振動の時間
キ）バネが横の場合の振動の中心になる位置はどこか、図示しなさい。さらに、速度、加速
周期と角速度を求めよ。解答にπを用いてよい。
度が最大最小になる位置も図示し、上のグラフにも印をつけなさい。また、端から中点　ma=F =-kx から 2a=-8 ×２
にいく時間、角度変化を図に書きなさい。（周期を T、角速度 ω とする）
速度最大 ( 中心 )
正加速度最大
速度、加速度の最大値は円運動の式からも決まる。
・バネの基準
Vmax ＝ｒω＝ A ω
amax=r ω２＝ A ω 2
フックの法則
F=-kx
正の方向にｘの位置での運動方程式は ma=-kx となるので
ω = √ k/m=2[rad/s] で単振動する。周期は T=2π/ω ＝ π[s]
単振動の最大値と円運動
ク）カと同様にバネが縦の場合ではどうなるか図示しなさい。釣合の位置を原点に自然の長さ
を x0、A だけ引き上げ放した場合の位置ｘ運動方程式を示し、
基準をつりあい
位置 E が
どういう運動になるか答えなさい。最初の引き上げを２A にすると周期 T はどうなるか。
１）位置　２）速さ
t= ０でｘ＝２[m]　ｖ＝０
エ）運動方程式を立て、放してからｔ秒後の物体の位置、速さを表す式をつくれ。
ma=-kx より初期条件から A=2,　x=2Cos(2t）微分して v=-4Sin(2t)
周期は振幅に関係ないので原点より正の方向にｘずらしたとして
運動方程式を立てる。加速度は必ず正（上）向きにとる。
が無視
速度最大 ( つり合い )
x
o
正加速度最大
原点はつりあいの位置で伸びの基準は自然の長さなので
a
運動方程式は ma=-k(x-x0)-mg
x 自然の長さ
₀
釣り合の位置ところが釣合の式 mg=kx0 が常に成り立つので
ma=-kx となりω２＝ k/m で単振動する。
万有引力のエネルギー保存
合力０の位置から正の方向にｘの位置で ma=-kx
・
・
2
バネの場合は ω ＝√ (k/m)
２
または x=- ω ｘ　ｘ =x-x0 でも可よって周期は 2π √ (m/k)
初期条件により解は異なるので微分するやり方をマスターする。t=0 で x=0、v=Vmax
・
オ）放してから速さが最大になるまでの時間とその速さを求めよ。エネルギー保存則から
も速さの最大値を確かめよ。
ｔ＝ T/4 ＝π /4 秒後だから先の式より v=-4Sin(π/2)=-4
単振動のエネルギー保存
カ ) 一般にωを用いて質量ｍ位置ｘでの速さｖとして単振動のエネルギー保存則を示せ。
U=1/2・mv² ＋ 1/2・kx² ＝ 1/2・m(AωCosωt)² ＋ 1/2・mω²(Asinωt)²=1/2・mω²A²
・・
ならｘ＝ Asin ωｔ、ｖ＝ｘ＝ω Acos ωｔ　a=x=- ω 2Asin ωｔ
単振動 -2
Vmax=4[m/s]
エネルギー保存則は 1/2・mv²=1/2・kx² から v ＝ x √ (k/m)=4[m/s]
よって周期は 2 π√ (m/k) これは振幅によらない。
☆単振動の解
a=-8m/s2
ウ）振動の中心を原点にとり、バネを引いた向きをｘ軸の正とする。次の初期値を求めよ
バネが縦
☆単振動の式
イ ) 放した瞬間の物体の加速度を求めよ。その後この物体はどういう運動をするか。
単振動 -3
B3 単振動
○単振動を解く　Q
図のようにバネ定数ｋのバネに質量ｍのおもりをつなげると x ₀だけ伸びた。
・バネが縦
次に板で a(<x ₀ ) だけ伸びるように支えた。重力加速度は g とする。
B3 単振動
○運動方程式の
・時間積分
ア）バネ定数ｋを求めよ。
○ F-t グラフの面積は　を表すことから
ma をｔで積分せよ。
力積
Q y=Asin ω t として F-t グラフも描けつり合いの式から
F
kx ₀ =mg ①　k=mg/x ₀
a
x₀
A
t
0
m x¨dt = mv2 − mv1
= p2 − p1 = ∆p
ウ）この位置から板を急に取り去った時の最下点の位置は
F-t グラフから周期的に見れば運動量は一定
外にした仕事
○ F- ｘグラフの面積は　を表すことから ma をｘで積分せよ。
ｖｄｔ
閉じて
ただし、dx ＝　とする。単振動の軌道は　いる。
つり合いの位置よりどれだけ下か。以後この長さを A
Q y=Asin ωｔとして F-x グラフも描け、グラフ上に一定時間変化を●で示せ。
おもりについてつり合いの式より
・空間積分
mg ＝ N+ ka N=mg-ka
x=0
Fdt =
t
イ）板がおもりを支える力を求めよ。
自然の長さ
つり合いの位置
F=ma
運動方程式は　という形になった。
kx F
とする。
振動の中心がつり合いの位置だから
A=X ₀－ a
A
○摩擦がある場合
t2
m x¨dx =
m x¨ x˙dt
0
t1
t2
1
( x˙)2
1
d
dt = mv22 − mv21
m
=
dt t1
2
2
2
Fdx =
直線に射影された円運動　運動エネルギーの差
どういう運動をするかを示せ。また角振動数ω , 周期 T を求めよ。以後この ω,T を用いてよい。
下向きに加速度をとり、　ma=mg-k(x+x ₀）　①より ma=-kx ω² ＝ k/m で単振動する。
０
-kx -A
エ）以後つり合いの位置を原点にして下向きにｘ軸をとる。位置 x(0<x<A) で運動方程式を立て
ｘ
d ( x˙)2
x¨ x˙ =
dt 2 を利用して
x
動摩擦係数μ ' の水平面にｍ kg の物体をバネ定数ｋのバネにつけた。
自然の長さを x 軸の原点とする。はじめｘ＝５L( 点 P) まで引きｔ＝０で手を放した。この時
ω＝√ (k/m) T ＝ 2 π / ω =2 π√ (m/k)
物体はｘの負の向きに運動し、ｘ＝－３L で運動の向きを換えた ( 点 Q）とする。その後物体
オ）この運動の速さ、加速度の最大値の位置を図示し、その値を A,ω で表せ。
はｔ = ２π√ (m/ ｋ )、ｘ＝ L で ( 点 R) 静止した。答えに L を用いてよい。
ア）摩擦が無視できるとしてこの運動の周期と振動の中心
Vmax=A ω（中心）
aMax=A ω ²（端点）
Q
0
3L
R
P
を求めよ。摩擦がなければ振動の中心は自然の長さ
ｘ＝０
5L
カ）t=0 で、x=A とする。この時の位置ｘ、速度ｖを表す式を求めよ。
単振動の公式から T=2 π√ {m/k}
イ）μ’ を求めよ。
PQ 間ではエネルギー保存側から水平面での摩擦の仕事は W=F'S=μ’ ｍｇ S
最大正始まりだからｘ＝ ACos( ωｔ）微分してｖ＝ー AωSin(ωt)　1/2 ｋｘ２＝μ’ ｍｇ S より 1/2・k25L² ＝ μ’ ８Lmg ＋ 1/2・k9L²
よって 8kL²=8Lmg μ’　μ’ ＝ｋ L/(mg) ①
キ）この単振動のエネルギー保存則を示せ。
伸びの基準をつり合いの位置にとると位置エネルギーが無視できたから
U=1/2・mv² ＋ 1/2・kx² ＝ 1/2・m(AωCosωt)² ＋ 1/2・mω²(Asinωt)²=1/2・mω²A²
☆中心がずれた
ウ）物体がはじめにＰからＱに向かう場合、位置ｘでの運動方程式を立てよ。
単振動の式
また、上の区間で速さが最大になる位置とその速さを求めよ。
a=- ω ²(x ∓ x0)
☆三角関数は多価
a= μ’ ｍｇーｋ x ①より kL= μ’ mg から ma= ーｋ (x-L) ②
ク）おもりがｘ＝－ A/2 からｘ＝ A に達するまでの時間ｔを求めよ。
・・
また、ｘ＝－ A/2 での速さを求めよ。( エネルギー保存でも確かめてみよ )
これはＸ＝ｘ－Ｌで置き換えればＸ＝ーω２Ｘ③よって x=L を中心に単振動
図のように 2 π / ３だけ回転する円運動に相当するから　t=2T/3, ただし、単振動は逆回転もあるので t=T/3 も解
t=T/3 の時、ωｔ = ω T/3 ＝ 2 π /3 だから
t=T/3 の時、v ＝ -A ω Sin(2 π /3)=-AωSin(-π/3)= √３Aω/2
t=2T/3 の時、v ＝ -A ω Sin(4 π /3)=AωSin(π/3)= √３Aω/2
A/2
120
＊単振動の式を立てる時は正の位置ｘで式を立てる。
A
t=0
ケ）このバネを鉛直上向きにαで加速するエレベータの中にもっていき、質量ｍのおもりを
振幅が４L だから x=L で Vmax=A ω＝４L √ (k/m)
エ）点Ｑで反転する時刻ｔを求めよ。
単振動の周期で考えれば T/2 ＝ 1/2・２π√ (m/k)=π √ (m/k)
オ）物体がＱからＲに向かう時、位置ｘでの運動方程式を立てよ。
この時、摩擦力は反対向きになる。　正の向きは図右だから
つけて振動させた場合、密度ρの液体の中で振動させた場合について周期を求めよ。
ma= ー kx ーμ’ mgL　①より　ma= ー k(x+L) この式も②と同様に置き換え X=x+L を
ただし、おもりの体積は V, 液体の抵抗は無視する。
すれば③式と同じ、中心はｘ＝ー L、振幅２L の単振動である。
バネの周期の公式はｋとｍのみで表されている。また、上の問題のように重力や慣性力
カ）上の区間で速さが最大になる位置とその速さを求めよ。この運動のｘ－ｔグラフを描け。
や浮力が働いていても最初のつり合いの位置は変化するが、周期には無関係である。
この性質からバネは質量を感知する装置に使われる。
バネが横
5L
振幅２L だからｖの最大は
L
ｖ＝ A ω＝２L √ (k/m)
バネが縦　-3L
単振動 -4
ｘ
単振動 -5
T/2
T
ｔ
B3 単振動
○　単ふりこ
単振動の運動方程式はいたるところで目にする。例えば単純な振り子についてみてみよう。
B3 単振動
Q2
Q．次のような質量ｍの小さなおもりを長さ L のロープにつけ振り子を鉛直より θ ₀をなす角
図のように摩擦のない角度θの斜面に質量ｍのおもりを置き、バネ定数ｋ１とｋ２のバネを
つける。はじめ物体は釣り合いの長さの位置にあった。まさつはない。
で静かにおもりを放す。
☆数学
ア）自然の長さよりどれだけ下がって釣り合うか。
斜面方向のつり合いから
１） θが小さいとして、位置ｘで運動方程式を立てよ。
δが小さい近似
図のように接線方向にｘ’ 軸をつくり考えれば遠心力は無視できる。
展開
図から ma'=-mgSin θ≒ -mgx'/L　a=a'Cosθ、x=x'Cosθ として
・sin( δ )
x 軸上で　ma/Cos θ =-mgx/Cos θ
δ - δ ³/3!+ δ⁵ /5!
L
T θ
mgSin θ
O
θ
1- δ ²/2!+ δ⁴ /4!
ｘ’
つりあい位置を原点としてｘ軸を作り斜面右上を正とする。正方向にｘ０だけずらして放す。
T= ２π / ω＝２π√ (L/g)
θが大きいと円運動、ωは一定とは限らない。
ウ）原点から - ｘ０までいくのにかかる時間を求めよ。
X
mg
２）振り子の周期を求めよ。θが大きいとどういう運動になるか。
周期 T=2 π√ (m/(k1+k2)) だから t=T/4==π/2 √ (m/(k1+k2))
・sin( θ + δ）
Sin θ＋δ Cos θ
３）次の場合の周期を求めよ。1. 振り子全体を上向きに a で加速したとき、
2. 質量を 2 倍にした時、　3. 密度ρの液体の中に入れたとき ( おもりの体積 V) の周期を求めよ。
・cos( θ + δ）
Cos θ - δ Sin θ
エ）放した時刻を t= ０にとり、時刻ｔでのｘ、ｖを表す式を作れ。
t=0 で位置ｘ = ｘ₀が最大、速度は０だから単振動の公式から
1．みかけの重力ｇ’ ＝ g+a T’ = ２π√ (L/(g+a))
x=x ₀ Cos( √ ((k ₁＋ k ₂ )/m・ｔ ))　速度はこれを微分して
2. 質量は関係ないので T のまま
v=-(k ₁＋ k ₂ )/m・x ₀ Sin( √ ((k ₁＋ k ₂ )/m・ｔ ))　3. g'=g- ρ Vg/m=g(1- ρ V/m) として　T'= ２π √ (L/g’ )
・・
○　単振動まとめ
＊ω
２
を何でおくかで物
体の運動が決まる！　x ₀ =mgSin θ /(k ₁ +k ₂ )
θ
合のバネ
イ）位置ｘでの運動方程式をたてよ。位置ｘでの運動方程式は
自然
ma ＝ -mgSin θー (k ₁ + ｋ₂ )(x-x ₀ )
つりあい
ｘ₀
①より ma=-(k ₁＋ｋ₂）x　よってω ²=(k ₁＋ k ₂ )/m
a
ｘ
で単振動する。
mg
よって　ma=-mgx/L　a=-g/L・x ＝－ ω²x
角速度　ω＝√ (g/L) ωは一定
・cos( δ）
mgSin θ＝ (k ₁ + ｋ₂ )x ₀①
＊まさつなしの場
θ
Ｘ＝ーω２Ｘ
どんな物体にしろ運動方程式が　となれば　角速度ω
・・
Ｘ＝ーω （X － x ₀）
で単振動する。振動の中心が x ₀の時は　Q3
置に質量ｍのおもりを置き、静かに放した。
２
一定
単振動の周期 T は振れ幅に関係なく　で
＊運動方程式は一般的に
θ
な場所で！
バネ：　振り子：　である。
図のように摩擦のない半径ｒの半球のボールがある。最下点からの鉛直線と角度 θ ０の位
最下点を原点にとり、θ
０の位置方向にｘ軸の正の向きを決める。
r
ア）位置θの時の運動方程式をつくれただし、速さは小さく、
θ０
θも小さいとしてよい。
位置θで、まず接線方向の加速度と変位 a',x' として運動方程式は
Q1
ｘ、ｖ、a は一般公式と　から完全に決まる。時間は　から求まる
初期条件
周期
θが小さいとして ma'=-mgSin θ≒ -mgx'/r a'=acosθ、x'=xCosθ だから
長さ２ｍの糸に質量 2kg のおもりをつけ鉛直より 30 度なす角から静かにおもりを放した。
ma=-mgx/r a=-g/r・x よって ω²=g/r で単振動する。
ア）最下点でのおもりの速さを求めよ。
★数学　三角関数近似
２
最下点で速さｖとするとエネルギー保存側より 1/2 ｍｖ＝ mgL(1-Cosθ)
θ
√３＝１．
７とするので９．８＝０．２×７２を利用して
イ）最下点での物体の速さを求めよ。
（エネルギーと単振動の式両方から求めてみよ）
単振動の式からは最下点で V 最大だから V=A ω＝ x ₀√ (g/r)、エネルギー保存則からは
L
v ＝２×７/ １０・√３＝１．４×１．７＝２．４[m/s]
イ）この振り子の周期を求めよ。
mgr(1-Cos θ）=1/2mv² からｖ＝√ {2ℊr(1-Cosθ ₀）} ≒√ {2gr(1-1+θ ₀ ²/2)｝
＝√ {gr² θ₀ ²/r} と近似すれば、さらにｘ₀＝ｒ θ ₀だから x ₀√ (g/r) になる。
ウ）最下点を過ぎてから次に最下点にくるまでの時間を求めよ。
T=2 π√ (L/g) より T= ２× 3.14/7・√ 10 ＝２．８[s]
半周期までの時間ｔ＝ T/2= π / ２・√ (r/g)
ウ）振り子長さを 2 倍にし、質量を半分にした。最下点から最上点までの時間を求めよ。
T=2 π√ (L/g) より質量は関係ない L →２L だから T'= √２T
エ）加速度が正の向きに最大になるのはどの位置でその大きさを求めよ。
最下点から最上点までは周期 / ４だから T'/4 ＝√ 2T/4 ＝ 3.14/7・√ 5=0.99[s]
aMax=r ω ² ＝ｇ
Vmax=r ω＝√ (ℊr)
2
エ）さらに振り子全体を上方に６．２ｍ /s で加速した。振り子の周期はいくつか。
aMax
aMax
見かけの重力加速度ｇ’ ＝ 9.8 ＋ 6.2=16　Vmax
オ）はじめの位置が水平（θ₀＝ 90 度）にする。位置 θ での運動方程式をたてよ。
よって T''= ２π√ (2L/g')= π＝ 3.14[s]
どういう運動をするか、また、位置θでの垂直抗力 N を求めよ。
・・
位置θでの運動方程式は動径方向には、この時の接線方向の速さをｖとして
Ｘ＝ーω Ｘ
T= ２π√ (L/g)
θが小さい時
☆ふりこ　周期：　留意点：
質量に関係ない、みかけの重力依存
２
単振動 -6
・
mv²/r ＝ N-mgCos θ①　接線方向には ma=mgSInθ　この時、a=v の関係がある
エネルギー保存から 1/2・mv²=mgr-mgr(1-cosθ)=mgrCosθ
よって①は N=3mgCos θ　向心力が一定ではない、等速ではない円運動をする。
単振動 -7
断面積 S, 高さ L の円柱状の木片を水槽に入れる。水の密度は ρ、木片 A の密度は ρ/4、
B3 単振動
○円錐ふりこ周期
Q ４バネ定数はｋ [N/m] のバネにｍ [kg] のおもりをつけて図のように頂角２θ の円すい状に
B3 単振動
Q3
一定の角速度で振る。この時のおもりの接線方向の速度はｖ、ふりこの長さは L であった。
・浮力と単振動
ア）物体に働く遠心力ｆの大きさとその向きを図示せよ。
浮力は
遠心力はｍｒω２＝ｍｖ２/ ｒ、ｒ＝ LSinθ だから
ｆ：遠心力
θ
２
ｆ = ｍｖ /LSin θ　①
ア）図のように水面下ｘ０だけ沈み、静止した。ｘ０を求めよ。
浮力：液体の重心
釣り合いの式から　浮力 F= ρ S ｘ０ｇ＝ρ /4・SL ｇ重力①　より
ｘ０＝Ｌ /4
同じ深さ、同じ圧力
V 液は液中の
体積
ｍｇ
イ）バネの伸びと速さｖを求めよ。
圧力は
鉛直方向）F= ｋｘ　FCos θ＝ｍｇ　よってｘ＝ｍｇ /(kCosθ)
２
水平方向）FSin θ＝ｆ　よってｆ＝ｍｇ tanθ　②①、②よりｖ＝√ (LgSinθ /Cosθ)
P= ρ外 h ｇ
ｈは深さ単位は
[Pa]=[N/m²]
ウ）この運動の周期 T を求めよ。
重力は
一周の長さが２πｒだから１周にかかる時間が T。これを速さｖで割ればよい。
ｘ０
重力：物体の重心
イ）木片 A をわずかに下方に押し放す。木片が単振動をした、周期 T を求めよ。
鉛直下向きにｘだけ下げたとして運動方程式を立てる。
単振動の形にはまればあとは公式で周期も速さも位置も出る！
ρ /4・SLa= ρ /4・SL ｇ－ρ S(x0+x)g　①から
ｘ
＝－ρ Sgx　よって a ＝－ 4g/L・ｘ　これは ω ＝√ (4g/L) の単振動である。
ｘ０
ｘ
従って周期 T は T ＝２π / ω＝π√ L/ ｇ
F= ρ内 V 全ｇ
ウ）次に木片 A の上面が水面になるまで沈めて放した水面から飛び出し、高さｈまで上がった。
図のように質量、体積の無視できるバネ ( バネ定数ｋ ) に質量ｍ [kg] のおもりを乗せた。
V 全は全体の
ｈを求めよ。
バネは秤 (kg 計 ) の上で安定して立っている。
体積
単振動はバネの振動とみなしてバネ定数を出す。するとバネのエネルギー　T= ２π LSin θ / ｖ＝２π√ (LCos θ / ｇ )
Q5
F= ρ外 V 液ｇ
重力加速度をｇとする。水の抵抗、粘性は考えない。
H
の公式が使えてしまう！
ア）バネは自然の長さからどれだけ縮んでいるか。
ｈ
水面が浮力の基準
ω＝√ k/ ｍ、さらにｍ＝ρ /4・SL だからバネ定数ｋ＝ ρgS のバネと
L/2
みなせるからエネルギー保存則は、のびｘは自然の長さを基準にするから　釣合の式から mg= ｋｘ０　ｘ０＝ mg/k ①
・T が使えない場合
２
アの解をｘ０として、以下ではこの位置を原点に鉛直上方にｘ軸をとる。
高さＨとし、1/2・ｋ・Ｌ＝ｍｇＨから 1/2・ρgS Ｌ＝ ρ/4・SLg Ｈ
イ）静止している時、秤の指示値はどれだけか。
H ＝２Ｌを得る。重心が中点にあることを考慮し、
ｈ＝２ＬーＬ＝Ｌを得る。
x
明らかに m[kg]
L
２
さらに原点より２ｘ０だけ下方に押して放す。
h
ウ）物体がバネから離れる位置を求めよ。
N= ｋｘなので弾性力の無くなる自然の長さの時　ｘ＝ｘ０
エ）この運動について上面が水面にある時、ｘ軸の原点を木片Ａの下面にとり、上向きを正
x0
x ＝０
とする。木片に働く合力Ｆとｘのグラフを描け。
2x0
エ）物体の最高点の高さと放してからその高さに達するまで
の時間を求めよ。
浮力ｆ = ρ S(L －ｘ ) ｇ
図のようにｘ＝ｘ０の自然の長さからは物体が離　れて投上げになる。
重力ｆ’ ＝ーρ /4・SL ｇ　それまで単振動なので振幅が２ｘ０からｘ０になる時間は
図の円運動との対比か　ら 120 °回転する時間に等しく
120
単振動の式（又はエネルギー保存則）から
3 tSgL
4
1
- 4 tSgL
x0
t1=T/ ３=2 π /3・√ m/k またこの時の速さｖ０は　ｘ
合力は上向の浮力と下向の重力である。浮力はｘの関数で
Ｆ
L/4 Ｌ
Ｘ
3L
4
ｘ
合力 F= ｆ＋ｆ’　であるからグラフは下図のようになる。この面積
2x0
いいかえれば上の式をｘで積分するとエネルギー保存則が得られる。
ｖ０=A ω Sin ωｔ =A ω SIn120°＝ Aω・√３/ ２
オ）原点から物体が最上点にいくまでに F のした仕事を求めよ。また浮力の仕事と重力の仕事
A=2 ｘ０，ω＝√ k/m から v0=x0 √ (3k/m)　①から v0=g √ (3m/k) ②
が等しくなる位置 X を求めよ。
よって最高点の高さはこの v0 を用いてエネルギー保存側から mgh ＝ 1/2 ｍ v02、
最上点までの合力の仕事は図の上面積＝ 9 ρ SgL²/32
ｈ＝ v02/2g　②より原点を合わせ①から H ＝ｈ＋ x0 ＝３mg/2k ＋ mg/k=5mg/2k[m] ③
また、ｈだけ上がって最高点に達するので　②とｖ =v0 － gt から
浮力の位置Ｅ
t2 ＝√ (3m/k) よって時間ｔ＝ｔ１＋ｔ２
ρ外 V 液ｇｈ
ｔ＝ ( √ 3 ＋ 2 π /3) √ (m/k) [s]
h は水面から
オ）物体を放してから最高点に達するまでの秤の指示値をグラフに示せ。
浮力の作用点
指示値－時間のグラフにせよ。ｋ、x0、ｇを用いよ。（１周期分）
までの距離
浮力の作用点は
t=0 でバネの力は F' ＝３kx0 からスタートす
指示値 [kg]
る。秤の指示値は N ではなく kg なので目盛は 3kx0/g
3kx0/g となる。T/3 以降は０
T/3
単振動 -8
面積は仕事なのでグラフの上の面積と下の面積の等しくなる位置 X では　答えは太線
V 液の重心
点線は補助
T
t[s]
合力 F の仕事が０になる。つまりここが最上点である。
よってＸ＝２Ｌ、これは実際に面積を計算しても求まる。
カ）物体が最下点にある時を重力の位置 E の基準、水面を浮力の位置 E の基準として
物体の速さが最高速の半分になったところでの物体の力学的エネルギー U を求めよ。
物体の体積を V を用いて表せ。ただし、物体は一様であるとする。
力学的エネルギーは不変だからはじめか、最高点でのエネルギーを求めれ　ばよい。はじめは浮力の位置 E だけだから浮力が重心に作用するので
U= ρ SLgL/2 ＝ρ V ｇ L/2　となる。
これは最高点の位置エネルギー　高さｈ＝２L と考えて
ρ /4・SLg・２L と等しい。
単振動 -9

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