TD 5 Mécanique Chap. 5 Théorème du moment cinétique

PTSI
TD 5 Mécanique
Chap. 5 Théorème du moment cinétique
Exercice 1 : Oscillations d’un pendule
Soit un point matériel M (de masse m) relié à un fil inextensible (longueur O1M=L,
masse négligeable) et à un ressort horizontal de raideur k et de longueur l0 au repos.
Le fil est vertical lorsque le point matériel se trouve au repos en O’1.
On suppose des petites oscillations quasi horizontales du point M, telles que
O’1M<<L.
La position du point M est repérée par l’angle d’inclinaison θ(t) du pendule par
rapport à la verticale (angle θ supposé faible).
1. Etablir l’équation du mouvement pendulaire en utilisant le théorème du moment cinétique.
2. En déduire la période T0 des petites oscillations.
Réponses :    g  k   0


 L m
Exercice 2 : Etude du pendule conique
Soit un point matériel M (de masse m) suspendu à un fil inextensible (de masse négligeable, de
longueur L) attaché en un point O1 fixe d’un axe OZ.
Le point matériel M est astreint à tourner autour de l’axe Oz à la vitesse angulaire constante ω,
dans le référentiel galiléen d’étude (Ox,Oy,Oz).
1. Exprimer le moment cinétique calculé en O1 du point M, en utilisant la base cylindrique
U ,U ,U  telle que OM  RU
r

r
z
(R=Lsinα).
2. Appliquer le théorème du moment cinétique en O1 et en déduire l’angle d’inclinaison
constant α du pendule avec l’axe Oz en fonction de L, ω et du champ de pesanteur g.
Réponses :

1) LO  m L2 sin cos  ..Ur  L2 sin2  ..Uz
1

2) cos   g
L 2
Exercice 3 : Etude d’un pendule incliné
Un pendule simple constitué d’un fil inextensible de longueur l et de masse négligeable, a son extrémité O fixé sur un
plan incliné d’un angle θ par rapport à l’horizontale.
A l’autre extrémité se trouve un point matériel M de masse m. Le contact avec
le plan incliné se fait sans frottement.
1. Faire le bilan des forces qui s’exercent sur M et exprimer le moment
MΔ de leur résultante par rapport à l’axe Δ passant par O et
perpendiculaire au mouvement.
2. Pour θ fixé, déterminer la pulsation Ω des petites oscillations, en
fonction de θ, g et l, en appliquant le théorème du moment cinétique.
Réponses :
1) M  mgl.sin .sin
2)   2  0 avec   g sin
l
Exercice 4 : Etude dynamique d'un moteur
On s'intéresse au fonctionnement d'une machine comportant une pièce tournante (par exemple une perceuse). Le rotor, partie
tournante du moteur, entraîne la partie tournante utile de la machine grâce à un arbre de transmission. L'axe de rotation est
noté
U x . La vitesse angulaire de rotation du rotor autour de U x est notée ω, avec ω  0.
La partie fixe du moteur (stator) entraîne le rotor en exerçant sur lui un couple (souvent
de nature électromagnétique) dont la valeur en projection sur
1.
2.
U x est Ms > 0.
En déduire le signe du couple Mu exercé par la partie utile tournante sur le rotor.
Souvent , l'ensemble est plongé dans un fluide visqueux (huile) dont l'action sur
le rotor se ramène à un couple M f   . On suppose que les actions de
contact des différentes pièces entre elles sont parfaites, de telle sorte que leur
moment projeté sur
3.
4.
U x , noté Mc, est nul (c'est ce qu'on appellera une liaison
pivot parfaite). On note J le moment d'inertie du rotor autour de l'axe de
rotation. En déduire l'équation différentielle satisfaite par ω(t).
En supposant que les couples Ms et Mu sont à peu près constant dès la mise en
rotation du rotor, trouver l'évolution de ω(t) sachant qu'on met le moteur en marche à t=0.
En déduire la vitesse angulaire de fonctionnement en régime permanent. Dépend-elle des frottements du fluide? Ces
derniers ont-ils une autre influence? Que dire des valeurs relatives des couples M s et Mu?
Exercice 5 : De quel côté tombent les tartines beurrées ?
Existe-t-il une raison pour laquelle les tartines beurrées tomberaient plus souvent du côté beurré ?
Le but de cet exercice est d'apporter une réponse.
On imagine une tartine (longueur 2a, largeur 2b, épaisseur 2e et masse m)
posée sur une table. Sans faire attention, une personne la pousse vers un
bord très lentement. Quand le milieu de la tartine atteint le bord O, la
tartine amorce une rotation autour de l'arête Oy. L'action de la table sur la
tartine est modélisé par une force
R  TU  NU r appliquée en O. On
note θ l'angle entre la tartine et l'horizontale (cf schéma où la tartine est
agrandie pour des raisons de lisibilité). On donne le moment d'inertie de la
1
tartine selon Oy : J Oy  m a 2  4e2 .
3

1.

A l'aide d'une approche énergétique, exprimer
 , ainsi que 
en fonction de


en fonction de
.
en fonction de  à l'aide d'un théorème de dynamique.
2.
Retrouver l'expression de
3.
Appliquer la loi de la quantité de mouvement à la tartine, projeter sur les vecteurs
U r et U et déterminer T et N.
Simplifier ces expressions vu que a=4 cm et e=0,4 cm. La tartine peut-elle quitter la table sans glisser? On admettra que
l'absence de glissement correspond à la condition :
4.
T f N .
A partir de cet instant pris comme origine du temps, la tartine quitte la table en un temps très bref, conservant
quasiment la même orientation
de
 0 et la même vitesse angulaire. Quelle est, après avoir quitté la table, la loi d'évolution
zG (t ) , où G est le barycentre de la tartine, en supposant que la tartine ne retouche plus la table ?
5.
Déterminer le temps τ pour lequel la tartine touche le sol On considèrera que la hauteur h de la table est évidemment
nettement supérieur aux dimensions de la tartine et que la vitesse initiale de la tartine est très faible devant sa vitesse
finale.
6.
On admet que pendant la phase de vol, la vitesse angulaire de la tartine reste constante, égale à
expression? En déduire
7.
   . Application numérique pour h=70 cm.
De quel côté tombe donc la tartine, si on suppose qu'il n'y a pas de rebond?
0 . Quelle est
son

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