Troisième / La trigonométrie

Troisième / La trigonométrie
A. Définition des relations trigonométriques
:
C
Exercice 3579
On considère le triangle AM N rectangle en M ; les points
B et C appartiennent respectivement aux segments [BC] et
[M N ] ; la droite (BC) est perpendiculaire à la droite (AM ) :
N
B
C
A
B
M
1. A l’aide d’une règle graduée, donner une valeur approchée des mesures des côtés des deux triangles ABC et
AM N .
A
1. Compléter chaque case du tableau ci-dessous par le côté
correspondant du triangle ABC :
Côté
adjacent
Angle considéré
Côté
opposé
Hypothénuse
’
CAB
2. A l’aide de la calculatrice, comparer les valeurs approchées des deux quotients suivants :
BC
MN
;
AC
AM
’
CBA
2.
3.
a. Justifier que les droites (BC) et (M N ) sont parallèles.
b. Justifier l’égalité des deux quotients suivants :
BC
AC
=
MN
AN
c. En déduire l’égalité suivante :
BC
MN
=
AC
AN
d. Comparer cette égalité avec vos résultats de la question 1. . Y avait-il une erreur dans vos calculs ? D’où
pouvait venir cette erreur ?
a. Relativement au triangle ABC, compléter chaque
case du tableau ci-dessous par le quotient définissant
la valeur recherchée, puis par sa valeur approchée au
centième près :
α
cos α
sin α
tan α
’
CAB
≃
≃
≃
’
CBA
≃
≃
≃
b. A l’aide d’une table trigonométrique, déterminer une
’ et
valeur approchée de la mesure des angles CAB
’
ABC.
4. A l’aide de mesures et de valeurs approchées, comparer
les couples de quotients ci-dessous :
a.
AB AM
;
AC
AN
b.
BC M N
;
AC
AM
Exercice 711
On considère le triangle ABC rectangle en C représenté cidessous :
3. A l’aide d’un rapporteur, vérifier l’exactitude des résultats observés à la question 2. b. .
Exercice 708
On considère les deux triangles rectangles ABC et DEF cidessous :
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près :
E
longueur du côté opposé
longueur du côté adjacent
m
4c
βo
D
B
3c
αo
2. En vous servant de la table trigonométrique, déterminer
la valeurs des angles α et β au degré près.
m
4, 5 cm
6c
A
m
Exercice 6213
1.
C
F
’
a. Dans le triangle ABC, relativement à l’angle ABC,
déterminer la valeur du rapport suivant au centième
près :
longueur du côté opposé
longueur de l’hypothénuse
1.
b. En fonction des longueurs des côtés du triangle ABC,
exprimer le rapport trigonométrique du sinus de
’
l’angle ABC.
2.
a. Dessiner un triangle DEF rectangle en E.
b. En fonction des longueurs des côtés du triangle DEF ,
exprimer le rapport trigonométrique de la tangente de
’
l’angle ABC.
’,
b. Dans le triangle DEF , relativement à l’angle DEF
déterminer la valeur du rapport suivant au centième
B. Relation trigonométrique
a. Dessiner un triangle ABC rectangle en C.
:
Dans chaque cas, donner la longueur x du côté indiqué. On
arrondiera le résultat au millimètre près :
Exercice 5670
On considère les deux triangles ci-dessous :
B
D
D
F
37 o
4c
B
5 cm
A
62 o
m
30 o
5c
m
F
x
E
o
5 cm
52
A
x
I
G
E
o
50
3c
C
m
Déterminer les mesures des segments [AC] et [DF ] arrondies
au millimètre près.
C
x
H
Exercice 721
C. Relation trigonométrique inverse
:
Exercice 5669
Exercice 714
’
Calculer l’arrondi au dixième de degrès près des angles ABC
’
et EDF indiqués ci-dessous :
A
4 cm
4, 5
D
cm
E
βo
A
m
B
D
βo
m
m
5c
C
3 cm
C
αo
4c
6c
B
4, 5 cm
m
3c
αo
’
Calculer l’arrondi au dixième de degrès près des angles ABC
’
et EDF indiqués ci-dessous :
E
F
F
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D. Toute relation trigonométrique
:
’ = 90o − HAC
’
b. Justifier l’égalité : BAH
Exercice 719
’ et BAH
’?
c. Que peut-on déduire pour les angles ACH
3
’ =
2. a. Montrer que : tan(ACH)
4
L’unité de longueur est le mètre.
Le dessin n’est pas à l’échelle.
’ en
b. En utilisant le triangle BAH, exprimer tan(BAH)
fonction de BH
J
1. Roméo (R) veut rejoindre
Juliette (J) à sa fenêtre.
Pour cela, il place une
échelle [JR] contre le mur
[JH]. Le mur et le sol
sont perpendiculaires. On
donne :
HR = 3 ; JH = 4.
3. Déduire des questions 1. et 2. que :
BH = 3,6 cm
4. Calculer la mesure en degré, arrondie au degré, de l’angle
’
ACH.
Exercice 725
a. Calculer JR.
H
R
2. L’échelle glisse : elle change de position.
o
’
On donne : JR=5 et HJR=40
.
a. Calculer HR (donner la valeur arrondie au dixième)
’ puis calculer JH
b. Ecrire l’expression de tan HJR
((donner la valeur arrondie au dixième).
La figure ci-contre est composée
des triangles ABC et BDC rectangle respectivement en B et D.
Donner la valeur de l’angle α au
dixième près.
A
2 cm
’ puis la
b. Calculer cos HJR
’
valeur de l’angle HJR
arrondie au degré.
B
o
α
C
30o
3 cm
Exercice 723
La figure n’est pas faite en vraie grandeur. Elle n’est pas à
reproduire
AHC est un triangle rectangle en H.
La droite passant par A est perpendiculaire à la droite (AC)
coupe la droite (HC) en B.
On sait que :
AH = 4,8 cm ; HC = 6,4 cm
D
Exercice 5192
Le triangle ABC est un triangle rectangle en B vérifiant :
’ = 34o
AC = 6 cm ; BAC
C
A
o
34
A
B
C
’ = 90o − HAC
’
a. Justifier l’égalité : ACH
E. Trigonométrie et pythagore
2. Donner, au centimètre carré, l’aire du triangle ABC.
:
Sur cette figure, on a les longueurs suivantes :
Exercice 722
AB = 5,4 cm ; BC = 7,2 cm ; AC = 9 cm ; AD = 2,6 cm
1. Tracer le triangle REC tel que :
RE = 7,5cm ;
B
1. Déterminer, au millimètre près, la mesure du segment
[BC].
H
1.
5 cm
RC = 10cm ;
EC = 12,5cm
2. Montrer que le triangle REC est rectangle en R.
3. Donner les valeurs arrondies au degré près des angles de
ce triangle.
Exercice 2280
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Les droites (AE) et (BC) sont parallèles.
la figure n’est pas à refaire. Elle n’est pas donnée en vraie
grandeur.
D
1. Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle
en B.
E
A
’ puis en déduire la
2. Calculer la tangente de l’angle ACB,
’ (valeur arrondie au degré près).
mesure de l’angle ACB
B
C
3. Calculer AE.
F. Trigonométrie et théorème de Thalès
Exercice 712
Les questions sont indépendantes les unes des autres
:
ment [CE].
On donne :
ED = 9
EA = 7,2
M N P est un triangle rectangle en P tel que :
; EB = 5,4 ;
;
EC = 12
CD = 15
E
M P = 5 cm ; M N = 7 cm
÷
1. Calculer la mesure, arrondie au degré, de l’angle M
NP.
2. Calculer la valeur exacte de N P ; Donner sa valeur arrondie au mm.
B
A
3. Soit I le point du segment [M P ] tel que P I = 2 cm. La
parallèle à (M N ) passant par I coupe [P N ] en J.
Calculer IJ.
D
Exercice 713
1. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
L’unité de longueur est le mètre
Le dessin ci-contre représente la coupe d’une maison.
Le triangle M AI est isocèle, de sommet principal M .
La droite perpendiculaire à la droite (AI), passant par M ,
coupe (AI) en S.
On sait que : M S = 2,5 et AI = 11
N
A
C
O
M
S
I
2. Calculer la longueur du segment [AB].
3. Montrer que les droites (CE) et (DE) sont perpendiculaires.
4.
a. Calculer la valeur arrondie au degré près de l’angle
’
ECD.
’
b. En déduire, sans faire de calcul, celle de l’angle EAB.
Justifier.
Exercice 3672
On considère la figure ci-dessous :
C
1.
F
a. Calculer AS. (justifier)
b. Calculer la valeur arrondie à 0,1 degré près de la me’S.
sure de l’angle AM
2. Dans le toit, il y a une fuite en N qui fait une tache en
O, sur le plafond.
La droite (N O) est perpendiculaire à la droite (AI).
AO = 4,5
’ = 24o .
Pour effectuer les calculs, on prendra : OAN
Calculer AN . On donnera la valeur arrondie à 0,1 près.
Exercice 3584
A
B
O
G
D
E
Données de la figure ci-dessus :
CDE est un triangle rectangle en C.
A appartient au segment [CD], B appartient au segment
[CE] et la droite (AB) est parallèle à la droite (DE).
la figure qui suit n’est pas en vraie grandeur. Il n’est pas
demandé de la reproduire. L’unité est le centimètre.
Le point F est le milieu du segment [AC] et le point O
est le milieu de [AB].
Le point B appartient au segment [DE] et le point A au seg-
Le point G est le symétrique de F par rapport à O.
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DE=12 cm ;
AB=4,5 cm ;
AC=1,8 cm
Les questions suivantes sont indépendantes les unes des
autres :
1. Quelle est la nature du quadrilatère AF BG ? Justifier.
2. Montrer que la droite (F O) est parallèle à la droite (CB).
3. Calculer la longueur CD.
4. Calculer une valeur approchée au degré près de l’angle
’
BAC.
G. Trigonométrie, triangle rectangle et cercle circonscrit
Exercice 710
:
M
C
1. Tracer sur la copie un segment [EF ] de longueur 7 cm et
de milieu O.
Tracer le cercle de diamètre [EF ] puis placer un point G
’
sur le cercle tel que : F
EG=26o .
R
C2
S
C1
2. Démontrer que le triangle EF G est un triangle rectangle
en G.
B
3. Calculer une valeur approchée de la longueur F G, arrondie au millimètre.
’ (justifier votre ré4. Déterminer la mesure de l’angle GOF
ponse)
C
Les résultats seront donnés au degré près ou au millimètre
près.
1.
÷
a. Déterminer la mesure de l’angle M
BA.
b. Déterminer la mesure du segment [AB].
Exercice 724
L’unité de longueur est le centimètre.
C est un cercle de 2,6 cm de rayon.
Le segment [M N ] est un diamètre de ce cercle.
P est un point du cercle tel que M P = 2.
2.
a. Justifier que le triangle BCR est rectangle en R.
b. Déterminer la mesure du segment [BR].
3.
a. Justifier que les droites (BM ) et (CS) sont parallèles.
1. Construire la figure
b. Déterminer la mesure de SA.
2. Démontrer que le triangle M N P est rectangle en P .
Exercice 4053
Toutes les questions sont indépendantes.
3. Calculer la longueur P N .
4.
A
÷
a. Calculer le cosinus de l’angle N
M P . Arrondir le résultat au millième.
÷
b. En déduire la mesure de l’angle N
MP
Soit un triangle ABC tel que :
AB = 7,5 cm ; AC = 4,5 cm ; BC = 6 cm
1. Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure.
2. Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
Exercice 3586
On considère un cercle de C de diamètre [AB] ; soit C un
point appartenant au segment [AB]. On considère les deux
cercles C1 et C2 de diamètre respectif [AC] et [BC].
Le point M est un point du cercle C ; on note :
Le point R est le point d’intersection du cercle C2 avec
le segment [M B] ;
le point S est le point d’intersection du cercle C1 et du
segment [AM ].
On donne les mesures suivantes :
BM = 3,64 cm ; AM = 7,13 cm ; BC = 5,28 cm
H. Modélisation
3.
a. Placer le point E du segment [AB] tel que :
BE = 5 cm.
Le cercle de diamètre [BE] coupe le côté [BC] en F .
b. Montrer que le triangle BF E est rectangle.
4.
a. Montrer que les droites (F E) et (AC) sont parallèles.
b. Calculer F B et F E.
5.
’
a. Calculer sin ABC.
’
b. Donner une valeur approchée au degré près de ABC.
:
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SC de la pyramide de Kheops.
Exercice 4940
Exercice 720
Un explorateur arrive devant la pyramide de Kheops.
S
1. Reproduire, sous la forme d’un schéma simplifié, la figure
ci-dessous sur votre feuille.
2. Calculer la distance AB qui sépare les deux maisons.
15o
C
324 m
Il pose ses instruments de mesure (le théodolite) au point H.
En étudiant la pyramide, il observe que c’est une pyramide
régulière : le pied C de la hauteur issue du sommet S est également le centre de la base. Il estime également la distance
HC à 511 m.
Du point H au sommet S, ses instruments de mesure révèle
un angle de 15o .
o
Déterminer la mesure, arrondie au mètre près, de la hauteur
I. Propriétés
:
1. Exprimer les rapports trigonométriques :
cos αo ; sin αo ; tan αo
Exercice 5671
On considère le triangle ABC rectangle en C représenté cidessous :
C
A
45
o
30
12 m
H
2.
a. Etablir l’égalité suivante :
(
)2 (
)2
cos α + sin α = 1
αo
B
J. Angles particuliers
b. Etablir l’égalité suivante :
sin α
tan α =
cos α
:
Exercice 709
1. Construisez un triangle ABC équilatéral de côté 4 cm.
Soit H le pied de la hauteur issue de A.
x
0o
cos x
1
sin x
0
tan x
0
2. Donnez la valeur exacte de la longueur AH.
3. Déterminez la valeur exacte de sin(60o ) dans le triangle
ACH
Exercice 715
L’unité de longueur est le centimètre
1. Construire un triangle DOS tel que :
’ = 120o
DS = DO = 6 ; ODS
Quelle est la nature du triangle DOS ? Justifier.
2. Dans le triangle DOS, tracer la hauteur issue de D. Elle
coupe [OS] en H.
On donne le tableau suivant :
30o
√
3
2
1
2
√
3
3
45o
√
2
2
√
2
2
1
60o
1
2
√
3
2
√
3
90o
0
1
×
a. Calculer la valeur exacte de OH.
√
b. En déduire que : OS = 6 3
3. Placer le point M de [DS] tel que SM =5. Tracer la parallèle à (OS) passant par M ; elle coupe [DO] en N .
Calculer la valeur exacte de M N .
Exercice 707
Soit C un cercle de centre O et de rayon 4 cm.
Soit B et C deux points diamétralement opposés et A un
troisième point du cercle tel que AC=4 cm.
1. Faire le dessin.
2. Montrer que le triangle ABC est rectangle.
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√
Le triangle ABC a une aire égale à 8 2.
Soit A′ le symétrique de A relativement à l’axe (BC). On
note H le point d’intersection de [AA′ ] et (BC).
3. En déduire la longueur de [AB].
5. Montrer que :
÷′ = 60o
ABA
6. Montrer que ABA′ est un triangle équilatéral.
’
4. Calculer la mesure de ABC
Z. Exercices non-classés :
Exercice 5721
Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète,
ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte
dans l’évaluation.
Demandes des habitués du skatepark :
Longueur du plan incliné (c’est à dire la longueur AD) comprise entre 2,20 m et 2,50 m.
’
Angle formé par le plan incliné avec le sol (ici l’angle BDA)
o
o
compris entre 20 et 30 .
1. Les normes de construction de l’escalier sont-elles respectées ?
12 cm
10 cm
Au billard, un joueur veut toucher la boule noire avec la boule
blanche en faisant une bande (en touchant un seul bord du
billard). Le schéma indique la situation dans laquelle se retrouve le joueur :
Normes de construction de l’escalier :
60 ⩽ 2h + p ⩽ 65 où h est la hauteur d’une marche et p la
profondeur d’une marche en cm.
2. Les demandes des habitués du skatepark pour le plan
incliné sont-elles satisfaites ?
Exercice 5988
20 cm
Le cercle C a pour centre O et
pour rayon 4 cm. On note [P Q]
un diamètre du cercle C .
Exercice 5924
On souhaite construire une structure pour un skatepark,
constitué d’un escalier de six marches identiques permettant
d’accéder à un plan incliné dont la hauteur est égale à 96 cm.
Le projet de cette structure est présenté ci-dessous :
96 cm
m
P
O
A
Q
4 cm
Le but de l’exercice est de déterminer une valeur approchée
de l’aire de la partie grisée.
2.
hauteur
d’une
marche
55 cm
C
1. Déterminer l’aire du disque C ′ .
profondeur
d’une marche
Schéma
A
B
On construit le cercle C ′ de
centre P et de rayon 6 cm. On
note A le point d’intersection
du cercle C ′ et du segment [P Q]
et B l’un des points d’intersection des deux cercles C et C ′ .
B
6c
Le billard étant tout neuf, la boule blanche repart de la bande
avec le même angle avec lequelle elle est arrivée. Quel doit être
son angle d’arrivée pour toucher la boule noire.
C′
D
C150 cm
a. Déterminer la mesure, arrondie au dixième de degré,
’
de l’angle AP
B.
b. En déduire l’aire, arrondie au dixième de cm2 , du sec˜
teur angulaire du cercle C ′ définie par l’arc AB.
3. En déduire une mesure, arrondie au dixième de cm2 , de
la partie grisée.
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