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Configurations du plan et trigonométrie
A) Le triangle rectangle.
1. Le théorème de Pythagore et sa réciproque.
Théorème :
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC 2 = AB 2 + AC 2 .
Théorème réciproque :
Si ABC est un triangle tel que BC 2 = AB 2 + AC 2 alors le triangle ABC est rectangle en A.
2. Triangle rectangle et cercle.
Propriétés :
Si MAB est un triangle rectangle en M, alors :
• AMB = 90°
• M est sur le cercle de diamètre [AB].
• Le milieu O de [AB] est le centre du cercle circonscrit au triangle MAB.
1
• O étant le milieu de [AB], OM = AB.
2
Propriétés « réciproque » :
Si un triangle MAB possède l’une quelconque des quatre propriétés ci-dessus alors ce triangle est
rectangle en M.
3. Trigonométrie.
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors :
BA
CA
• cos ABC =
sin ABC =
BC
CB
AC
.
AB
sin x
tan x =
.
cos x
tan ABC =
•
Si x est la mesure d’un angle aigu : cos 2 x + sin 2 x = 1 et
•
Valeurs remarquables :
x en degrés
0
30
45
cos x
1
sin x
0
3
2
1
2
2
2
2
2
tan x
0
3
3
1
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60
1
2
90
3
2
3
1
0
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B) Droite des milieux et Thalès.
1. Théorème des milieux.
Théorème :
Si I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AC], alors :
1
les droites (IJ) et (BC) sont parallèles et IJ = BC.
2
Théorème :
Si I est le milieu de [AB] et si la parallèle à (BC) menée par I coupe (AC) en J, alors :
J est le milieu de [AC].
2. Le théorème de Thalès et sa réciproque.
1. Théorème de Thalès.
Théorème :
Si ABC et AMN sont deux triangles tels que :
• le point M est sur la droite (AB).
• le point N est sur la droite (AC).
• les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
AM AN MN
Alors
=
=
= k.
AB AC BC
• Si 0 < k < 1 le triangle AMN est une réduction du triangle ABC.
• Si k > 1 le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC.
2. Réciproque.
Théorème :
ABC un triangle, M un point de (AB) et N un point de (AC).
A est à la fois à l’extérieur de [BM] et de [CN], ou à la fois à l’intérieur de [BM] et [CN].
AM AN
=
alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Si
AB AC
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C) Les droites remarquables du triangle.
Médianes et centre de gravité :
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes.
Leur point d’intersection G est appelé centre de gravité du triangle ABC.
G est situé aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet correspondant :
2
2
2
AG = AA’ BG = BB’ CG = CC’
3
3
3
où A’ milieu de [BC], B’ milieu de [AC] et C’ milieu de [AB].
Hauteurs et orthocentre :
Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes.
Leur point d’intersection H est appelé orthocentre du triangle.
Médiatrice et le cercle circonscrit :
Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes.
Leur point d’intersection O est équidistant de chacun des sommets du triangle.
O est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Bissectrice et cercle inscrit :
Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes.
Leur point d’intersection I est équidistant de chacun des trois côtés du triangle.
I est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
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D) Les angles.
1. La somme des angles d’un triangle.
Théorème :
Quelque soit le triangle ABC : Aˆ + Bˆ + Cˆ = 180° .
2. Angles opposés par le sommet.
d
Si d et d’ sont deux droites sécantes en O alors :
les angles 1ˆ et 2ˆ sont égaux.
On dit que 1ˆ et 2ˆ sont opposés par le sommet.
O
1ˆ
2ˆ
d’
3. Angles alternes-internes, angles correspondants.
Si d et d’ sont deux droites parallèles alors :
• les angles 1ˆ et 3ˆ sont égaux.
• les angles 1ˆ' et 3ˆ sont égaux.
De manière générale, on dit que :
• 1ˆ et 3ˆ (ou 2ˆ et 4ˆ ) sont alternes-internes.
• 1ˆ' et 3ˆ (ou 2ˆ et 4ˆ' ) sont correspondants.
•
•
2ˆ'
1ˆ 2ˆ
d
3ˆ
4ˆ
d’
3ˆ'
1ˆ'
4ˆ'
Si deux angles alternes-internes sont égaux, alors d et d’ sont parallèles.
Si deux angles correspondants sont égaux, alors d et d’ sont parallèles.
4. Angles inscrits, angles au centre.
Définition :
C est un cercle de centre O.
• On dit qu’un angle AMB est inscrit dans C lorsque A, B et M sont trois points distincts de C.
• On dit que les angles AMB et ANB interceptent le même arc AB .
• L’angle AOB est l’angle au centre associé à l’angle inscrit AMB et aussi à l’angle ANB .
Théorème :
• Dans un cercle, un angle inscrit est égal à la moitié de l’angle au centre associé :
1
AMB = AOB
2
• Dans un cercle, deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux :
1
AMB = AOB = ANB
2
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Exercice n°1 :
On considère la figure suivante. Calculer l’aire du triangle ABC.
Exercice n°2 :
Soit un triangle ABC rectangle en A.
On désigne par I le milieu de [AB], J le milieu de [AC].
H le projeté orthogonal de A sur la droite (BC).
1)
2)
3)
4)
Montrer que la droite (IJ) est la médiatrice du segment [AH].
Déterminer l’image de la droite (HI) par la symétrie axiale d’axe (IJ).
Déterminer l’image de la droite (HJ) par la symétrie axiale d’axe (IJ).
En déduire que les droites (HI) et (HJ) sont perpendiculaires.
Exercice n°3 :
Soit deux triangles BAH et HAC rectangles en H avec H un point du segment [BC].
On a : BAH = 45° et HAC = 30° et AH = 3cm.
Démontrer que BC = 3 + 3 cm.
Exercice n°4 :
ABC est un triangle équilatéral de côté 6cm et H est le projeté orthogonal de A sur [BC].
M est le point de [AC] tel que AM = 4cm et P est le projeté orthogonal de M sur [AH].
Calculer AP.
Exercice n°5 :
ABCD est un parallélogramme de centre O.
I est le milieu de [AB] et J le point de [DI] tel que DJ = 2 IJ.
2
1) Construire le point J et démontrer que DJ = DI.
3
2) En déduire que J est le centre de gravité de ADB.
3) Démontrer que les points A, J et C sont alignés.
Exercice n°6 :
AOB est un triangle rectangle isocèle en O.
C1 est le demi-cercle de diamètre [AB] contenant O.
C est le cercle de centre O passant par A et B.
M est un point de C sur le grand arc AB distinct de A et B.
La droite (AM) recoupe le cercle C1 en N.
1) Calculer en degrés la mesure de BMA .
2) En déduire que le triangle BMN est rectangle isocèle.
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Exercice n°7 :
On considère la figure ci-contre :
1) Montrer que le triangle ABO est rectangle.
2) Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
3) Le triangle OCD est-il rectangle ? Justifier.
Exercice n°8 :
A l’intérieur de la maison, un menuisier étudie une plaque de
bois dessinée ci-dessous :
La figure n’est pas aux bonnes dimensions.
Le menuisier a tracé la perpendiculaire à [EC] passant par A, il a nommé D le point
d’intersection de cette perpendiculaire avec [EC]. Il a également tracé [AC].
Il a mesuré AB = 115cm, BC = 80cm, DC = 100cm, ED =20cm, AC = 140cm et AF = 28cm.
1) Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.
2) Déterminer la mesure de l’angle ACD.
3) Les droites (AD) et (FE) sont-elles parallèles ?
Exercice n°9 :
On considère un cercle C de diamètre [IJ].
A et B sont deux points du cercle.
[AJ] et [BI] se coupent en un point H.
Les droites (IA) et (JB) se coupent au point K.
Démontrer que les droites (KH) et (IJ) sont perpendiculaires.
Exercice n°10 :
Dans la figure ci-contre, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
O est le centre du cercle (C). Les points A, B, C, et D sont sur (C).
Les droites (AD) et (BC) se coupent en E.
1) Démontrer que le triangle AEB est isocèle.
2) En déduire que : BOD = BED .
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E) Cosinus et sinus d’un nombre réel.
1. Enroulement de la droite des réels.
→
→
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O ; OI ; OJ ).
On considère le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
A tout réel x , on peut associer un point M unique du cercle trigonométrique.
Le nombre x est une mesure en radians de l’arc d’origine O et d’extrémité M.
On a alors x = IM = IOM exprimé en radians.
Définition :
Soit un nombre x réel et M le point du cercle trigonométrique associé
par l’enroulement de l’axe des nombres réels autour du cercle trigonométrique.
• L’abscisse du point M s’appelle le cosinus du nombre réel x et se note cos x .
• L’ordonnée du point M s’appelle le sinus du nombre réel x et se note sin x .
2. Propriétés et valeurs remarquables.
Propriétés :
Les égalités suivantes sont vraies pour tout réel x :
• − 1 ≤ cos x ≤ 1 et − 1 ≤ sin x ≤ 1
•
cos 2 x + sin 2 x = 1
Valeurs remarquables :
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Pour tous les exercices suivants, on pourra utiliser le cercle donné à la fin de ce fascicule.
Exercice n°11 :
On considère le cercle trigonométrique ci-dessous. . Les segments rouges partagent le cercle en
huit angles de 45°et les bleus partagent le cercle en douze angles de 30°.
1) Associer chacun des nombres à un point du cercle
a)
b)
c)
d)
2)
a)
b)
3)
a)
b)
π
2
π
3
π
4
π
.
e)
−
.
f)
−
.
g)
−
.
h)
−
π
2
π
3
π
4
.
.
.
π
.
6
6
Déterminer le réel associé aux points suivants compris dans l’intervalle [0 ; 2π [ :
A.
c) H .
R.
d) L .
Déterminer le réel associé aux points suivants compris dans l’intervalle ]− π ; π ] :
K.
c) G .
N.
d) I .
Exercice n°12 :
1) Associer chacun des nombres ci-dessous à un point du cercle de l’exercice n°11.
17π
29π
13π
17π
−
−
.
4
6
4
3
2) Quels sont les nombres de [0 ; 2π [ qui ont M, N, P et Q comme point associé ?
Exercice n°13 :
En vous aidant d’un cercle trigonométrique, donnez le signe de cos x et sin x dans chacun des
π
 π
 3π


cas suivants : x ∈  0 ;  , x ∈ 
; 2π  et x ∈  − π ; −  .
2
2

 2


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Exercice n°14 :
Sur le cercle trigonométrique ci-dessous on a placé M associé au nombre x .
1) Placez les points N, P et Q associés respectivement à x + π , − x et x − π .
2) Exprimer le cosinus et le sinus de ces trois angles en fonction de cos x et sin x .
Exercice n°15 :
Donner, sans utiliser la calculatrice, les valeurs exactes de :
3π
−π
a) cos
.
c) sin
.
4
6
− 2π
b) sin
.
3
Exercice n°16 :
1) Colorier sur un cercle trigonométrique l’ensemble des points M associés aux nombres x de
l’intervalle I = [− π ; 0] .
1
2) Placer le point M 0 associé au nombre x0 de I tel que cos x0 = .
2
3) Quelle est la valeur exacte de x0 ?
4) Reprenez cet exercice avec I = [− π ; π [ et cos x0 = −
3
.
2
Exercice n°17 :
1) Colorier sur un cercle trigonométrique l’ensemble des points M associés aux nombres x de
l’intervalle I = [0 ; π ] .
1
2) Placer le point M 0 associé au nombre x0 de I tel que cos x0 = − .
2
3) Quelle est la valeur exacte de x0 ?
4) Reprenez cet exercice avec I = [− π ; π [ et sin x0 =
2
.
2
Exercice n°18 :
Dans chacun des cas suivants, trouvez la valeur exacte de x :
1
2
1) x ∈ [0 ; 2π [ et cos x = − .
3) x ∈ [− π ; 0] et cos x =
.
2
2
3
2) x ∈ [− π ; 0[ et sin x = −
.
2
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Exercice n°19 :
(C) est le cercle trigonométrique d’origine A et de centre O.
1) Nommer les points de (C) associés aux nombres :
13π
9π
.
c) x3 = −
.
a) x1 =
4
4
17π
15π
b) x 2 =
.
d) x 4 = −
.
6
3
2) Quels sont les nombres de [− π ; π [ qui ont ces points comme points associés.
Exercice n°20 :
On considère ci-dessous, dans le repère (O; I, J), le cercle trigonométrique de rayon 1.
Déterminer les valeurs approchées des sinus et cosinus des angles suivants.
1) α .
5) ε .
2) β .
6) 30° .
7) 45° .
3) γ .
8)
60° .
4) δ .
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Exercice n°21 :
Donner un réel associé à chaque point du cercle.
1er Cas :
2ème Cas :
3ème Cas :
Les droites de la même couleur sont parallèles.
Exercice n°22 :
Jean Saigne, conservateur à Mathyville, a en charge les monuments historiques. Il souhaite
installer un luminaire dans la voûte en ogive de la Cathédrale. Le schéma ci-dessous présente les
mesures prises sur place. La voûte est formée par deux arcs de cercle. Calculer :
1) la longueur de l’arc de cercle du sol au sommet de la voûte ; (pour la longueur de fils
électriques).
2) la hauteur de la voûte. (pour choisir le bon échafaudage)
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Exercice n°23 : Lignes trigonométriques
La médiatrice de [OA] coupe le cercle trigonométrique C en M et N.
Ainsi AOM et OMP sont équilatéraux et AOM = MOP = 60°.
5π
2π
et
.
3
3
3
2π
5π
2) Déterminer, en justifiant votre réponse, le sinus et le cosinus de
et
.
3
3
3) En déduire les coordonnées des points M, N et P.
1) Prouvez que M, N et P sont associés respectivement à
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π
;
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