Mouvement dans un champ de force centrale conservatif

Sup PCSI1 - Exercices de physique
Mouvement dans un champ de force centrale conservatif
Mouvement dans un champ de force centrale conservatif
1. Satellite circulaire :
Un satellite suit une orbite circulaire autour de la Terre, d’altitude h.
On donne R = 6370 km pour le rayon terrestre et K = 6,67.10-11 u.s.i. constante universelle de gravitation et la
masse de la Terre M = 5,97.1024 kg.
a) Montrer à l’aide du théorème du moment cinétique que le mouvement est uniforme. Déterminer la
vitesse du satellite à partir de la RFD. Calculer numériquement la vitesse vo et la période To d’un satellite
en orbite basse, soit pour h << R.
b) La terre accomplit une rotation sur son axe en une durée jS nommée jour sidéral, avec jS = 8,61.104s.
Dans quelle condition d’orbite aura-t-on un satellite géostationnaire ?
Réponse : v² = KM/(R+ h). vo = 7920 m/s = 28500 km/h. To = 1h 24 mn 37 s(application directe du cours).
2. Sonde spatiale :
a. Une sonde spatiale de masse m = 200 kg a été placée sur une orbite circulaire d’altitude h = 300 km.
Quelle est l’énergie supplémentaire ∆E à lui communiquer pour que cette sonde puisse explorer le
système solaire, c’est à dire se libérer de l’attraction terrestre ? Quelle est alors sa vitesse v1 dans le
référentiel géocentrique ? On donne K = 6,67.10-11 u.s.i. constante universelle de gravitation et la masse
de la Terre M = 5,97.1024 kg. Le rayon terrestre est de R = 6370 km.
b. Cette vitesse a été communiquée dans une direction tangente à sa trajectoire circulaire autour de la
Terre. Est-ce que cette sonde pourra quitter le système solaire ? On donne le rayon orbital de la Terre
autour du Soleil a = 1,5.1011 m, et l’on connaît la durée d’une année terrestre.
Réponse : a. ∆E > GMm/2(R + h) ; v1 = 1,09.104 m.s-1 ; b. vitesse v2 dans le référentiel héliocentrique : v2 = v1 + vT
où vT est la vitesse de la Terre. MS masse du Soleil à partir de la 3° loi de Newton. vT =(GMS/a)1/2.
v2 = 4,1. 104 m.s-1 . Vitesse pour quitter l’attraction solaire v3 = (2GMS/a)1/2 légèrement supérieure à v2.
3.
Atome de Bohr :
Soit un proton de charge +e, fixe dans le référentiel d’étude, et un électron de charge –e, animé d’un
mouvement circulaire uniforme autour du proton.
1°) Montrer que le mouvement est nécessairement plan. Dans l’hypothèse d’un mouvement circulaire, montrer
à l’aide du TMC que le mouvement sera alors nécessairement uniforme.
2°) L’expérience montre que l’énergie totale du système est quantifiée, c’est à dire qu’elle peut se mettre sous
la forme : E = -K/n² où n est un entier positif et K une constante positive ne dépendant que des caractéristiques
du système.
Montrer que le rayon de la trajectoire est quantifié, selon la loi r = n².ao où ao est le rayon de Bohr, que l’on
exprimera en fonction de e, K et εo = 8,84.10-12 usi.
3°) Montrer que le moment cinétique L de l’électron par rapport au proton est aussi quantifié.
4°) Pour l’hydrogène, K = 13,6 eV. Calculer ao.
Quelles sont les valeurs possibles pour L ?
Réponse : E = Ec + Ep = mv²/2 –e²/4πεor². En écrivant la RFD, on exprime v, et l’on peut tirer
r = e²n²/8πεoK. Le rayon orbital est quantifié.
On a ici : L = mvr, donc L = nL1 avec : L1 = cste. Le moment cinétique est quantifié
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4. Expérience de Rutherford :
Une particule chargée, de charge +2e et de masse m (noyau
d’hélium He2+, dite particule α ), est projetée avec une vitesse
vo et un paramètre d’impact b (voir schéma) en direction
d’une particule de masse M et de charge +Ze (noyau
métallique), à partir d’une position très éloignée de ce noyau.
vo
=
b
a. Exprimer la force d’interaction existant entre ces deux
particules.
Le noyau métallique étant beaucoup plus massique que la particule α, on peut le considérer comme immobile
dans le référentiel d’étude, supposé galiléen.
Montrer que le mouvement étudié est plan. Donner l’expression du moment cinétique du mobile en
coordonnées polaires, et donner sa valeur en fonction de m, b et vo.
b. Une étude plus complète permet de montrer que la particule α va suivre une trajectoire correspondant à une
branche d’hyperbole. Justifier que ce mouvement est conservatif.
Ecrire la conservation de l’énergie mécanique, et montrer que l’utilisation du théorème du moment cinétique
conduit à construire une fonction énergie potentielle effective Epeff(r) telle que l’énergie mécanique s’explicite
sous la forme : Em = Epeff(r) + ².
c. Tracer une allure du graphe Epeff(r) et visualiser la position correspondant à rmin. A quel niveau le paramètre
d’impact b intervient-il implicitement sur ce graphe ?
d. Déduire une relation entre vo, le rayon rmin correspondant à la distance minimale d’approche et la vitesse vmin
dans cette dernière situation et en tirer l’expression de rmin en fonction des différents paramètres du problème.
Réponse : a. F = 2Ze²/(4πεor²). force centrale, L = cste. (voir cours). L = mr²(dθ/dt) = mbvo. b. voir cours. c. voir
cours. d.
1
²
²
±
+ 4²
= 2 ²
²
5. Vitesse d’un météore.
Un météore de masse m arrive avec une vitesse incidente vo et un paramètre d’impact b (voir schéma) en
direction d’une planète de masse M = 6,0.1024 kg (Terre). Sa position initiale est suffisamment éloignée de la
planète pour négliger alors l’attraction gravitationnelle.
a. Exprimer la force d’interaction existant entre ces deux corps célestes. On donne G = 6,67.10-11 usi.
La planète étant beaucoup plus massique que le météore, on peut la considérer comme immobile dans le
référentiel d’étude, supposé galiléen.
Montrer que le mouvement étudié est plan. Donner l’expression du moment cinétique du mobile en
coordonnées polaires, et donner sa valeur en fonction de m, b et vo.
b. Une étude plus complète permet de montrer que le météore va suivre une trajectoire correspondant à une
branche d’hyperbole. Justifier que ce mouvement est conservatif. A quel niveau sa vitesse sera-t-elle maximale ?
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Par des considérations de symétrie, montrer que le vecteur-vitesse est alors ortho-radial. Montrer que l’on
arrive à la même conclusion en prenant en compte le caractère central de la force d’attraction.
c. En exploitant la conservation de l’énergie, établir une relation entre vo, le rayon rmin correspondant à la
distance minimale d’approche et la vitesse v1 dans cette dernière situation et en tirer l’expression de rmin en
fonction des différents paramètres du problème. Evaluer v1.
Données : vo = 5,0 km.s-1, b = 2,3.107 m.s-1. M = 6,0.1024 kg.
Réponse :
a. F = GMm/(4πεor²). force centrale, L = cste. (voir cours). L = mr²(dθ/dt) = mbvo.
b. mouvement à force centrale, conservation du moment cinétique, vitesse maximale quand le rayon est
minimal. Du point de vue énergétique, même conclusion car au rayon minimal l’énergie potentielle sera
minimale, donc l’énergie cinétique sera maximale.
c. rmin = 1,2.107 m (≈ 2 rayons terrestres). L = mrm.v1 donne v1.
6. Mouvement d’un satellite terrestre :
On assimile la Terre à une sphère de centre O, de rayon R = 6400 km et de masse M et le satellite à un point
matériel(S, m) avec m = 1,0.103 kg. On suppose le référentiel géocentrique galiléen.
ur
1°) Montrer que le moment cinétique L en O du satellite est une constante du mouvement. On utilise les
uur
ur
uur
coordonnées cylindriques (O, r, θ, z) avec ez tel que L = Lez .
Montrer que le mouvement est plan et exprimer la quantité r²dθ/dt en fonction de L et m. Comment nomme-ton cette grandeur ?
2°) On peut montrer que l’équation polaire de la trajectoire peut se mettre sous la forme :
r (θ ) =
p
.
1 − e. cos(θ − θ o )
où p et e sont des paramètres fixés par les conditions initiales déterminant la trajectoire. La quantité θo traduit
le choix d’une origine pour l’angle polaire θ. Tracer l’allure de cette trajectoire elliptique. On notera O la position
du centre de la Terre.
3°) Application : trajectoire du satellite Hipparcos. Ce satellite d’observations astronomiques devait être placé
sur une orbite géostationnaire, à une altitude H = 36000 km. Un problème de mise à feu du moteur d’apogée a
laissé Hipparcos sur son orbite de transfert.
L’utilisation des moteurs de positionnement a permis de le placer finalement sur une orbite elliptique de grande
excentricité, son altitude variant entre h = 500 km (périgée) et H = 36000 km (apogée).
Exprimer et calculer e et p en fonction de h, H et R. Calculer le demi-grand axe a de la trajectoire.
4°) Quelle est la période orbitale du satellite ? On donne G = 6,67.10-11 usi et la masse terrestre M = 5,97.1024 kg.
5°) Quelle serait la quantité d’énergie nécessaire, par unité de masse, pour pouvoir placer le satellite sur l’orbite
géostationnaire prévue, d’altitude H ?
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Réponse : 1°) 2°) voir cours. 3°) h + R = p/(1+e) et H + R = p/(1-e) ; on tire p = 1,2.104 km et e = 0,72.4°) 3° loi de
Kepler. 5°) ∆E = -GMm/2rgéo – GMm/2a
7. Masse de la Terre :
a. La valeur du champ de gravitation à la surface de la Terre est g = 9,81 m/s², le rayon terrestre R = 6,40.106 m,
la constante de gravitation universelle G = 6,672.10-11 u.s.i. On sait que le champ de gravitation terrestre varie
en raison inverse du carré de la distance r au centre de la Terre.En déduire la masse M de la Terre supposée
sphérique et homogène.
b. Comparer le résultat obtenu avec celui déduit de l'étude du mouvement de la Lune : celle-ci, située à la
distance a = 3,86.108 m du centre de la Terre effectue un tour complet autour de la Terre en environ 2,36.106 s
(27 jours et 7 heures). On admet que le centre de la Terre peut être considéré comme l'origine d'un référentiel
galiléen.
Réponse : a. Le module du champ de gravitation terrestre répond à G(r) = GM/r², avec à la surface de la Terre :
G(r = R) = GM/R² = g valeur du champ de pesanteur. D’où M = gR²/G.
b. Par l'étude du mouvement de la Lune : M = 4π²a3/kT². D'où m = 6,02.1024 kg.
8. Vitesses de périhélie et d'aphélie :
La trajectoire de la Terre autour du Soleil est une ellipse d'excentricité e = 0,0167 et de demi-grand axe
a = 1,50.1011 m. La surface S circonscrite par l’orbite elliptique s’exprime par S = π.a.b où b est le demi-petit
axe. On montre géométriquement que : = 1 − ². La durée de révolution est de T = 365,25 jours
terrestres.
Calculer les valeurs maximales et minimales de la vitesse de la Terre sur son orbite.
Réponse : L’étude de la trajectoire en utilisant l'équation polaire d'une ellipse donne les rayons des périhélie et
aphélie ra = a(1 + e) et rp = a(1 - e). Par la loi des aires : σ/m = va.ra = vp.rp = C = dS= dt = cste = 2(πab)/T.
Les valeurs a, b et e caractérisant l'ellipse sont liées par : = 1 − ². D'où va et vp. A.N.: va = 29,4.103 m/s et
vp = 30,4.103 m/s.
9. Durée d’une saison :
La Terre suit une orbite légèrement elliptique autour du
Soleil, d’excentricité e = 0,0167. Sa vitesse de périhélie
vaut vp = 30,4.103 m.s-1 et le paramètre p de sa
trajectoire vaut p = 1,49.1011 m.
On définit la saison « été » comme la durée séparant le
passage de la Terre par la position de Solstice d’été SE
et par la position d’équinoxe d’automne EA.
Calculer précisément la durée de l’été. Comparer à la
EP
SE
SH
EA
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durée de l’hiver, défini de façon analogue comme la durée séparant le passage de la Terre par la position de
Solstice d’hiver SH et par la position d’équinoxe de printemps EP.
θ2
Réponse : C = r².(dθ/dt) permet de tirer par intégration : ∆t =
r²
∫ dθ . C = r .v
θ C
p
p
avec rp = p / (1+ e).
1
L’intégrale peut se calculer avec un développement limité (compte tenu de e << 1).
Δtété = 7,66.106 s et Δthiver = 7,99.106 s.
10. Energie sur une orbite elliptique ; retour d'un satellite :
1°) Un satellite artificiel de la Terre de masse m est placé sur une orbite elliptique. Ecrire l'expression de son
énergie mécanique en fonction de sa vitesse v et de sa coordonnée radiale r. Montrer que les coordonnées
radiales ra et rp de l'apogée et du périgée sont racines d'une équation du second degré dont les coefficients
s'expriment en fonction de l'énergie mécanique et de la constante des aires. En déduire l'expression de l'énergie
mécanique en fonction du demi-grand axe a de l'ellipse et établir la relation :
v² = go R².[(2/r) - (1/a)],
où go est le champ de gravitation terrestre au sol et R le rayon terrestre.
2°) Le satellite est initialement situé sur une orbite circulaire de rayon ro ; déterminer sa vitesse vo. A son
passage par un point A de l'orbite, on exerce sur le satellite dans la direction de son vecteur vitesse et de façon
quasi instantanée une force qui le ralentit (rétro-fusées) ; déterminer la vitesse v1 qu'il doit prendre pour
atteindre l’entrée dans l’atmosphère terrestre en un point B tel que l'angle (AOB) vaille π/2 (on négligera
l’épaisseur de l’atmosphère devant le rayon terrestre).
Calculer la variation d'énergie cinétique subie par le satellite.
Réponse : 1°) voir cours. ra et rp sont les racines de l'équation : Er² + G.m.Mterre.r - m.C²/2 = 0. 2°) orbite
circulaire on a : r = ro = a, d'où vo par la relation précédente. En utilisant l'équation polaire de l'ellipse, avec p = R
et e = 1 - R/ro ainsi que la relation précédente, on tire v1 = (go R3/ro2)1/2.
11. Rentrée d’un satellite dans l’atmosphère :
Un satellite de masse m = 1 tonne, décrit une orbite circulaire autour de la Terre de masse M = 6.1024kg, de
rayon 6400 km.
2°) Les couches raréfiées de l’atmosphère induisent une force de frottement =-k. où k = cste et . est le
vecteur-vitesse du satellite.
a) donner l’équation différentielle du premier ordre d’évolution du moment cinétique.
b) En déduire que la trajectoire est plane.
c) Le frottement étant faible, montrer que σ = σo(1 – t/τ) pour une approximation au premier ordre, en
précisant la valeur de la constante de temps τ.
d) τ étant grand devant la période T, on admettra que la trajectoire est un cercle dont le rayon varie lentement
avec le temps. Montrer que r = ro (1 – 2t/τ) pour une approximation au premier ordre.
e) Lors de la mission Skylab, l’altitude du satellite diminuait de 14 km par jour. En déduire l’ordre de grandeur de
la durée caractéristique τ. Donner la relation d’évolution de la vitesse en fonction de vo , τ et t.
1°) La période du satellite est de 1h 30 mn. Calculer son altitude.
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f) Rappeler l’expression de l’énergie mécanique d’un satellite en orbite circulaire. Evaluer la perte d’énergie sur
un tour au début de la chute.
g) En admettant que cette énergie calorifique échauffe le nez du satellite, recouvert d’une protection thermique
en surface constituée d’une couche de céramique de masse 20 kg, de capacité thermique massique c = 5 kJ / kg,
déterminer l’augmentation de la température sur une période.
Réponse : H = 260 km. Par le TMC : dσ / dt = -kσ / m. D’où σ = σoexp(-t/τ) et faire un DL1. τ = 22000 h = 2,5 ans.
E = -GMm/2r = (-GMm/2ro) (1 + 2t/τ) par un DL1. Sur la durée d’un tour ∆t = T : ∆E = 4260 kJ et donc ∆T ≈ 40 °C.
12. Lancement raté d'un satellite.
Le lancement d'un satellite terrestre de masse m sur une orbite circulaire de rayon ro a été manqué : au point de
mise en orbite, le vecteur-vitesse a bien le module vo correspondant à une orbite circulaire de rayon ro, mais il
fait l'angle α avec la direction ortho-radiale prévue.
L’orbite effective est alors une ellipse d’équation polaire : r = p / (1 + e.cosθ)
Applications numériques : G = 6,67.10-11 usi ; M=5,97.1024 kg ; ro = 4,21.107 m ; α = 10°.
1°) a) Calculer la vitesse vo en fonction de la constante de gravitation G et de la masse terrestre M et du rayon
orbital ro.
b)
 d ²u
r
+ u er avec
 dθ ²

On donne la deuxième formule de Binet, exprimant l’accélération du satellite : a = −C ²u ²
la variable u = 1/r. C est la constante des aires. Calculer le paramètre p de l’orbite elliptique obtenue.
2°) L’énergie d’une orbite elliptique vaut E = -GMm / 2a où a est le demi grand axe de l’ellipse. On précise que le
demi grand axe a = p / (1- e²), où e est l’excentricité de la trajectoire. Calculer e, et déterminer ainsi les
coordonnées radiales du périgée et de l'apogée de la trajectoire en fonction de ro et α. Calculer les vitesses de
périgée et d’apogée. On prendra la demi-droite (OA) comme origine des angles polaires.
3°) Calculer la période To attendue si la mise en orbite circulaire avait réussi. Comparer à la période T
effectivement obtenue.
Réponse : 1°) par la RFD : Vo = (GM/ro)1/2.
p = C²/GM (par la 2° formule de Binet) soit comme C = σ / m = roVocosα, p = rocos²α.
2°) Calculer E vues les conditions initiales. On déduit a = ro d’où e = |sinα|.
autre méthode : En dérivant l'équation polaire par rapport au temps, et compte tenu des conditions initiales et
de C = r² : e.sinθo/p = -tanα/ro . Par ailleurs l'équation polaire donne : e.cosθo = (1/p) - (1/ro) = tan²α/ro. D'où
e = | sinα |.
En utilisant l'équation polaire de l'ellipse : ra = p/(1 - e) et rp = p/(1 + e). C = ra.va = rpvp = roVo.cosα d’où va et vp.
3°) 3° Loi de Kepler. T et To identiques. T = 8,61.104s
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