教職セミナー数学第2回図形（解答編）

教職セミナー数学第２回図形（解答編）
1.
2.
A
一辺の長さが 12cm
正方形 ABCD がある。B A
の正三角形の中に
D
を中心に AB を半径とする
半径の等しい 3 つの
E
円が図のように外
円をかき、対角線 BD との
接し、また、正三角
交点を E として、点 A と
形に内接している。
点 E を結ぶ。この図で、角
円の半径を求めよ。
AED の大きさは何度か？
B
解答）問題１と同様、円を
解答）A と E を結べと書いてあるんだから、すなおに
みつめていても答えには
結びましょう。さて、円についての注意。円を円と考え
至らない。円の性質をつか
るからむつかしいのだ。なんてったってあんな丸いも
のをそのまま考えようとすると難しいに決まっている。
じゃぁどうすればいいか？円って何だったっけ？と考
うのだ。ここで使うことは
「接する」ということに関
する性質だ。
えてみる。そう、円とは「中心からの距離が一定の点を
集めたもの」だ。逆に言え A
中心と接点を結んだ線が接
?
E
周上の点は中心からの距
図 2: 問題 2
円と直線が接するときは
D
ば、円が出て来たら「円
C
B
C
線と垂直だということ。
離が等しい」ことを使うの
それから円と円が接するときは中心と中心の距離が半径の
は当り前なのだ。何を当
和や差になるということ。
（図２参照）
り前なことを、と思うかも
知れないが、当り前なこと
45
B
C
を思い出すのが難しい。
さて、話をもどして、いま
そうとわかれば早速問題の図に書きこんでみる。
（図
図 1: 問題 1
３）図３には直角の記号を書き込んでいないが、直角っ
円の中心はどこかというと、点 B だ。円周上の点とい
ぽいところは直角である。図の中に長方形が３つあるこ
うと A と E と C だから、AB と EB（それと BC も）が
とに気づくだろう。
等しいということだな。
A
もとめる半径を x
ところで、３つの点 A,B,E があって AB と EB が等しいん
とおこう。すると図
だから「２等辺三角形」という言葉を思い出そう。角の問題
３にあるように長
のときは案外「２等辺三角形」を見落としがちだ。頭の片
方形の横の長さが
隅にいれておこう。
2x となる。さて灰
さて２等辺三角形では底角が等しい。これまた当り前だが
色の三角形だがよ
わすれがちだ。長さが等しいことから角度が等しいことが
くみるとこれは三
分かるという性質だし、見落としがちなので、出題者の気持
角定規とおなじ形。 B
x
C
2x
3x
つまり、30 °、60 °、
ちになってみると、出したくてしょうがないのだ。
（笑）
図 3: 問題 2
90 °の三角形だ。と
√
いうことは図に示した部分が 3x となることはすぐ分
んでみた。もう求める角度（ ?のところ）は分かったも同然
かる。
であろう。
√
ここまで分かればもう答えはすぐで、(2+2 3)x = 12 を
√
えーと答えは 180 − (180 − 45) ÷ 2 = 112.5 °だ。
解けばいい。答えは 3( 3 − 1)。
それはさておき、図１を見て欲しい。分かったことを書きこ
1
3.
ここで重要な
のは展開図の
扇型の部分の
A
三角形 ABC で 6 B = 90 °
、AB = 4cm 、
t
中心角 x がい
BC = 3cm とする。AC を軸として、回
r
くつかという
転したときにできる立体の、体積と表面
こと。それが
積を求めよ。円周率は π とする。
t
分かれば扇型
H
B
x
の面積がわか
るのだから表
C
面積は簡単だ。
r
中心角を考え
解答）とりあえず何はともあ
るには展開図
A
がくっつくのか考えるとよい。そうすれば 2πr =
のか、想像できますか？想像
x
2πt × 360
であることに気づくだろう。
（敢えて x はラジ
できないと困ってしまうのだけ
ど、結論からいうと右のよう
なモノができます。
図 6: 問題３
のどことどこ
れ、回転させたら何ができる
アンじゃなくって小学生風の度で表すことにする。ひ
B
r
H
要するに円錐が２つくっつい
とまわりが３６０度だ。）
C
つまり円錐の展開図で重要なこと：
たものなので体積は円錐の体積
図 4: 問題３
の求め方を知っていればよいの
中心角 x
半径 r
=
母線の長さ t
360
だが、そのためには底面の半径
r が必要だ。
r を求めるためには平面図に戻って考えよう。立体の問題は
立体と思って考えるから難しいのであって、断面等を考える
ことによってなるべく平面の問題に区切って考える事が肝
要だ。
なのだ。
もうわかるよね。答えを求めよう。上側の円錐の側面の
面積が
42 π ×
さて、平面図の図５を見て頂こう。今回は角 B が直角
なので簡単だ。AC を底辺として、三角形の面積を考
下側の円錐の側面の面積が
えればよい。4 × 3 ÷ 2 = 5r ÷ 2 で r = 12/5。
32 π ×
A
もちろんこの後 AH や HC の
長さを求めてもいいのだけど、
4
体積が πr2 × AH/3 で下の円
5
4.
錐の体積が πr2 × HC/3 であ
るから２つ足せば
r
2
πr ×(AH+HC)/3 = πr ×5/3
48/5
であろう。体積は π 。
2.4
3
で、足せば 16.8π となる。
よく考えてみると上の円錐の
2
2.4
4
B
三角形 ABC において、
H
A
辺 AB を 2 : 3 に内分
3
する点を P 、辺 AC を
C
P
4 : 5 に内分する点を Q
とする。BQ と CP の
図 5: 問題３
O
さて表面積だが、問題は円錐の横の部分の面積だ。円
交点を O 、AO の延長
錐の展開図がどんな風になるか想像つくだろうか？図
が BC と交わる点を R
６を見て欲しい。円錐とその展開図を示してみた。
とするとき、BR : RC を求めよ。
2
Q
B
R
C
解答）さてチェバの定
共通することが一つある。すなわち、長方形の対角線の
A
交点を通る直線だということ。
理、とひとことで言って
しまうのは簡単だけど、
P
つぎに「円の面積を２等分する直線」は？これもすぐ
Q
わかる。円の中心を通る直線だ。
それでは何なので、ちょ
O
っと説明しよう。
図７で
ということは長方形の対角線の交点と円の中心の両方
C
上の黒っぽ B
を通る直線を書けば長方形と円を同時に半分にするの
R
い三角形（ ∆AP C)
と下の灰色の三角形
で求める直線になるのだ。
図 7: 問題４
さて、長方形の対角線の交点はすぐ求まるが、円の中心
(∆BCP ) の面積比は
いくつでしょう？
を作図するにはどうしたらいいか？作図問題では、円
そう。AP:PB と同じで 2 : 3 だ。
これくらいは覚え
の中心を作図しなけりゃならない場面が結構あるので
ておいた方がいい
A
では図８で上の黒っ
かもしれない。次
ぽい三角形（ ∆AOC)
と下の灰色の三角形
の図 10 を参照して
P
Q
ほしい。
(∆BOC) の面積比
O
はいくつか？これも
AP:PB と同じで 2 : 3 B
R
であることがすぐに分
図 8: 問題４
かりますか？
（ OC を共
通の「底辺」と考えて、高さを考えてみれば。。）
要するに 2 つの弦
を書き、それぞれ
C
の垂直２等分線を
書くと、その交点
が中心になる。
6.
A
そこまで分かったら
底角 75 °の二等辺三角形
図９で三色の三角形の
面積の比を考えよう。
P
ABC を辺 AB,AC 上の点
P,Q を結ぶ線分で折り返
した。点 A が点 A’ に移っ
たとする。6 A0 P B = x °
、
6 CQA0 = y °とするとき、y
と x の関係を式で表せ。
Q
求めたい比 BR : RC
は ∆AOB（黒三角）と
O
C
∆AOC（灰色三角）の B
R
比だ。一方 ∆AOB（黒
図 9: 問題４
三角）と ∆BOC（白っ
ぽい三角）の比が 4 : 5 、および、∆AOC（灰色三角）
と ∆BOC（白っぽい三角）の比が 2 : 3 であること
は分かっているのだから計算すればすぐわかるで
しょう。
答えは
4
5
:
2
3
図 10: 問題５
x
y
解答）角度の問題は図形の問
= 6 : 5。
30
題だから、、と決めつけて、
解き方を限定することはな
a
い、堂々と文字式を使って
5.
図のように長
A
良い。
B
とにかく、何はともあれ問
方形 ABCD か
を図に書き込もう。
（図 11 ）
いた図形があ
b
b
30
題文からすぐに分かる角度
ら円を取り除
る。
（灰色の部 C
a
x
y
75
75
それからここが重要なとこ
D
ろなのだけども、問題文に
分）この図形の面積を２等分する直線を作図せよ。
図 11: 問題６
あるように、三角形の先を
解答）ちょっと変わった問題だったので、載せておきま「折り返した」のだから、
「折り返した部分」は「折り返
した。
す前の部分」と全く同じ形、大きさのはずである。これ
まず、
「長方形の面積を２等分する直線」を考えてみよ
また、当り前なのだけど、気づいてないヒトが多い。
う。そのような直線はいろいろあるが、どれもこれもに
そのことも図に加えて行く。同じ角度は同じ文字で表そう。
3
8.
さて、ここまできたら後は簡単。図で分かることを式
にすればいいのだ。たとえば、角度 b ２つと角度 y で
A
三角形 ABC
180 °になっていることが図 11 から分かるであろう。だ
に円 O が内
から
接している。
2b + y = 180
6 BAC = 80 °
O
6 BOC
のとき、
それから
の大きさを求
C
2a − x = 180
B
めよ。
さいごに三角形の内角の和で
解答）問題を見てぱっと思ったのは「円が三角形に内
接している」という条件をどう使ったらいいかなぁ、と
a + b + 30 = 180
いうことである。さて問題をよく読むと角度を求める
あとは最初の２つの式を最後の式に代入すればいい。
問題だ。ということは角度が等しいところがあるかな、
と考えるのが自然でしょう。
答えは y − x = 60。
A
7.
80
図のように正６角形を４つ並べた。
一つの正６角形の面積は 4cm2 であ
O
る。このとき、灰色の三角形の面積
の合計を求めよ。
a
a
B
b
x
b
C
図 12: 問題８
さて、図 12 を見て頂こう。同じ大きさ角には同じ記号を
解答）何とも、図形に対する感覚の問われる問題です
付けてある。あとは文字式を使って解いてしまおう。三
ね。普段駅や公園のタイル等の何気ない場所にある図
角形の内角の和から 80+2a+2b = 180, a+b+x = 180。
形をみて、
「あ、面白い形だな」と考えるそんな感覚を
よって a + b = 50 、x = 130 である。
是非養って頂きたい。そして、子ども達にもそういう
9.
感覚を伝えて欲しい。
右図のように四角
「えーと面積 4cm2 ということは、１辺の長さがあー
F
形 ABCD が円に
たらこーたら」と考え始めた人、まじめすぎです。もっ
内接している。辺
と子どものように柔軟に考えましょう。
AB と辺 CD のそれ
さて、前置きが長くなった。図の正６角形の一つに次の
ぞれの延長の交点
ように線を引いてみましょう。
を E 、辺 AD と辺
BC のそれぞれの延
これで分かったでしょうか？ダメ押
長の交点を F とす
しでさらに線を引いてみようか。
る。6 BEC = 56 °
、A
6 CF D = 34 °であ
るとき、6 BAD の大きさを求めよ。
34
D
C
56
B
E
解答）円に内接する四角形。。基本だ。よくでてくる。
考えてみて欲しいのだが、三角形はつねに円に内接す
る。想像してみるとそんな気がしません？
（ちなみに、
そのときの円の中心が外心だ。）
でも四角形は円に内接するとは限らない。ではどう
いうときに外接するのか？それが重要である。
そう、灰色の三角形が６つ集まると、正６角形が１つで
きるのだ。だから答えは 4 ×
4
6
= 83 cm2 。
四角形が円に内接する ⇔ 対角の和が 180 °
4
ということは次の図のように角度 x, y を定めるとき、
この問題は次の２つの相似の関係を見付けられるかど
x + y = 180 ということだ。
うか、が鍵だ。
F
A
D
34
D
G
F
x
B
C
C
E
y
A
A
56
D
E
B
F
あれ、ところでどこ
B
C
E
の角度を求めるのだ
34
っけ？そうそう、求め
D
相似だから何なのだ？と思うかもしれないが、この形
y
る角度は図の「？」の
の相似は種々のことを伝えてくれている。次の図にこ
x
ところ。しかしよく
の形の相似からすぐに分かる比の関係を書いてみた。
C
考えてみるとやはり
対角の和が 180 °
なの
だから、
「？」の角度
G
F
っつーことは次の図 13 のようになるはずだ。
y
a1
x 56
?
A
E
B
は「★」の角度と等
a5
a2
a3
a4
しいはずだ。
図 13:
b3
b2
もう、この辺で分かったと思うのだけど。。三角形の内
b4
b5
角の和から ★ + x + 56 = 180 、★ + y + 34 = 180。
だから ★ + ★ + x + y + 56 + 34 = 360。
b1
x + y = 180 だったから ★ + ★ + 180 + 56 + 34 = 360。
つまり ★は 45 °。答えは 45 °
上の図で a1 : b1 = a2 : b2 = a3 : b3 = a4 : b4 = a5 : b5
である。
（ただし、３本の水平線は平行）
10.
平行四辺形 ABCD にお
さて問題図に戻ろう。最初の相似（ ∆ADF と ∆CEF ）
A
D
により、CF : AF = CE : AD = 3 : 5 である。
いて、辺 BC 上の点 E は
BC を 2:3 に内分する。
DE と対角線 AC の交点 B
を F 、BF の延長と辺 CD
G
F
第２の相似（ ∆ABF と ∆CGF ）により、CG : AB =
CF : AF = 3 : 5 である。
C
E
平行四辺形なので AB = CD で CG : CD は 3:5。つま
の交点を G とするとき、
り CG : GD = 3 : 2
(1) CG:GD を求めよ。
(2) 三角形 DFG の面積は平行四辺形 ABCD の面積のまた面積の問
題の方だが、図
何倍か。
14 の色のつい
解答）これまたありがちな問題だな。。平行四辺形が出た三角形が平
て来て、内分やら外分やらをしたのちに、線で結んで行四辺形の面積
3
8
× 12 倍であ
交点とって、、、云々という問題。
の
もちろんベクトルがどうのこうのと計算することも出
ることがすぐ
来るのだけども、計算に手間取るし、時間がかかる。こ
わかるので、三
こでは視覚に訴えた方法論を伝えよう。つまり相似を
角形 DFG の面
つかうのだ。
積はその
5
2
5
:
5
A
3
D
G
F
B
倍で、答えは
C
E
図 14:
3
40 。
11.
一辺が 10cm の正方形 ABCD
A
D
の辺上を、P は A から B ま
で毎秒 3cm 、Q は B から C
まで毎秒 1cm の速さで進む。
a+b
P
いま P と Q が同時に出発し
たとき、PQ の距離が最も短
Q
b+r
a+r
a
b
r
C
B
くなるのは、何秒後で、その
上の図で円を忘れて長さと角度の関係をみていくと、
距離はいくらとなるか？
ようするにこれは台形の問題だ。主要な部分を拡大し
てみる。
解答）さて、こういう時間が経つにつれて動く点の問
題では時間を t で表して、t 秒後の動点の位置や座標を
a+b
求めてしまえばあとは皿洗いのように計算するだけで
ある。
t
A
図 15 に t 秒後の P や Q の 10
位置を書き込んでみた。P,Q
P
D
a
3t
r
は毎秒 3cm 、毎秒 1cm で動
くんだから簡単な話である。
問題の PQ の長さであるが、
Q
B
b
b+r
a+r
x
C
y
さて長さの関係式を作りたいのだが、何の関係式をつ
t
かってどこの部分を式にするか。。この問題では三平
図 15: 問題 10
方の定理が有効である。これ、なかなか思い付かないの
P Q2 = P B 2 + BQ2
= (10 − 3t)2 + t2
で是非一度自分で計算するなり、ノートに書いてみる
= 100 − 60t + 9t2 + t2
なりして、コツを掴んで欲しい。さて、どこの直角三角
形で三平方の定理をつかうのかというと、上図に太く
= 10t2 − 60t + 100
示した３つの三角形だ。
= 10(t2 − 6t + 9) + 10
ここで x と y を図のように定めると、
= 10(t − 3)2 + 10
(a + b)2 = (x + y)2 + (b − a)2
後半は中学のときに習う平方完成というやつ。
（２乗は
(a + r)2 = x2 + (a − r)2
負にならないから）(t − 3)2 が 0 のときが最も小さいの
で、t = 3 のとき、P Q2 は最も小さい。つまり、3 秒後
(b + r)2 = y 2 + (b − r)2
がもっとも短い。
の３つの式が得られる。
12.
それぞれ
半径 a
(x + y)2 = 4ab, x2 = 4ar, y 2 = 4br
と b の
となるので、
２つの
円が外
接して
a
√
√
√
x + y = 2 ab, x = 2 ar, y = 2 br
b
いる。
つまり
この２つの円に外接し、かつそれらの共通接線に接し
√
ている円の半径を a と b で表せ。
よって
解答）問題１からずっと言っているが、円を円のまま
考えようとしても答えは得られない。次の図のように
√
r=
ab =
√
ar +
√
br
√
ab
√ √ 。すなわち
a+ b
ab
√
r= √
( a + b)2
長さや角度の条件を考えよう。求める円の半径を r と
おく。
6

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