数学とは？人類が創りだした最高の知的資産・芸術  自然科学・工学（また経済学）等における共通の言語  自然科学・工学を探求する最強の武器  数学的論理・考察によって構築された理論・学問体系来たれ数学類に！募集定員４０名前期入試２８名 (２月) 推薦入試１０名 (１１月) AC入試２名 (１０月) 国際科学オリンピック特別選抜若干名 (１０月) 数学類の教育の特色・目標  現代数学の基礎を学べる  数学・情報の教員免許の取得  統計学や計算機科学など、応用数学も学べる  高度な論理性と数学的思考力が身につく数学類では何を学ぶのか？ 1年次専門基礎 (微積分・線形代数) 数学の基礎数学特別講義・数学特別演習数学への興味関心を高める 2年次専門科目（現代数学入門）解析学、線形代数続論、代数入門集合入門、位相入門、曲線と曲面統計学、計算機演習、数学外書輪講３・４年次数学をさらに深める代数・幾何・解析・情報数学の各分野の多彩な授業３年次卒業予備研究（３学期）４年次卒業研究卒業研究発表会自分の将来の進路へつなげる  数学以外の理学系科目、教養科目、外国語、情報、体育などを幅ひろく履修 ◇数学類の４つの分野◇ 代数学幾何学解析学情報数学 ◇数学類の４つの分野◇ 代数学代数構造の数学群論環・体論整数論代数幾何物理学や化学への応用暗号理論にも応用代数方程式一次方程式： x + a = 0 ⇒ x = −a 二次方程式： − a ± a − 4b x + ax + b = 0 ⇒ x = 2 3 2 三次方程式： x + ax + bx + c = 0 ⇒ カルダノ 2 2 A = (3b − a 2 ) / 2, B = (2a 3 − 9ab + 27c) / 27 B 2 A3 とおいて R= + , u = 3 − B/2+ R 4 27 x = u − A /(3u ) フェラリ四次方程式： x 4 + ax + bx + cx + d = 0 ⇒ 3 2 y = x + a / 4 とおいて y は 4 2 y + py + qy + r = 0 の形の方程式を満たす． 3 2 2 u を u − pu − 4ru + 4 pr − q = 0 一つの解として y は次の二次方程式 y + u / 2 = ± u − p ( y − q /(2(u − p ))) 2 のいずれかを満たすアーベル：五次以上の代数方程式に対しては、このような解の公式は存在しないことを示した．アーベル・ガロアガロア理論近代代数学の始まりガロア理論によって、コンパスと定規を用いた作図の可能性・不可能性が示される。たとえば、一般にコンパスと定規だけを用いて角の三等分はできないことが分かる．アーベルガロア (wikipediaより) アーベルガロア（Wikipedia より） ◇数学類の４つの分野◇ 幾何学多様体・空間の幾何学（微分幾何学）長さ・面積・曲率一般相対性理論（アインシュタイン）トポロジー（位相幾何学）図形のつながり（ポアンカレ）結び目理論（DNA二重らせん）オイラーの多面体定理：いくつかの辺で囲まれた平面図形を多角形といい、いくつかの多角形で囲まれた空間図形を多面体という．多面体の（頂点の個数）－（辺（稜）の個数）＋（面の個数）＝２問題：同じ正多角形（正三角形、正方形、正五角形、…）を面に持つ多面体を正多面体という（＋対称性）．正四面体、立方体（正６面体）、正８面体、正１２面体、正２０面体以外の正多面体は、存在しないことを示せ． http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/polygon.htm よりリーマンポアンカレアインシュタイン ◇数学類の４つの分野◇ 解析学変化を記述する数学微分積分微分方程式論・関数解析・確率論フーリエ解析・複素解析天気予報・ＣＴスキャン・画像処理物理学・工学・経済学・金融工学ニュートンガウスフーリエ ◇数学類の４つの分野◇ 情報数学数理論理学(数学基礎論) 無限とは無矛盾性(ゲーデル)・カントルの集合論数理統計学情報の収集推測の数理計算機数学アルゴリズム（チューリング）計算の理論問題：地球人の旅行者が、乗っている宇宙船が故障して、ある惑星に不時着して、不法侵入の罪で裁判にかけられ、判事が次の判決を下した：Ａ号とＢ号の２つの宇宙船のいずれかを選んで、この星を出ること。ただし、１つの宇宙船は地球に帰れるようにプログラムされているが、もう一方の宇宙船は永遠にこの宇宙をさまようようにプログラムされている．ここにいるロボットに一度だけ質問することを許す．ロボットはイエスかノーで答える．ただし、このロボットは常に本当のことをいうロボットであるか、常に嘘をつくロボットのいずれかである．この地球人は無事地球に戻ったという．どのような質問をしたか？判事は嘘をつかないとする．Ｂ号Ａ号（おまえは本当のことをいうロボットでかつＡ号は地球に戻る）または（おまえは嘘をつくロボットでかつＡ号は地球に戻らない）と質問して、答えがイエスならＡ号に、ノーならＢ号に乗ればよい．どうしてか？ゲーデルチューリングカントール卒業後の進路  約６５％の学生が、大学院に進学  学類卒業者、大学院前期課程・修士課程修了者は企業・団体、公務員、教員として活躍  大学院博士後期課程に進学し、研究者を目指す就職先： 企業：第一生命保険、東京三菱UFJ銀行、日興コーディアル証券、アクセンチュア、新日鉄ソリューションズ、住商エレクトロニクス、森永乳業、富士通アドバンストソリューションズ、常陽銀行、SANKYO 教員：公立中学・高校（茨城県、埼玉県、栃木県、群馬県、山梨県、宮城県、山形県、千葉県、東京都、神奈川県、三重県、大阪府、長崎県）私立中学・高校（茨城県、山形県、神奈川県、鹿児島県） 大学院進学：筑波大学（数理物質科学、教育、システム情報工学、経営・政策科学）、東京工業大学、東京大学、パデュー大学、名古屋大学数学を学ぶということは  何が分かって、何が分からないかを把握基本で一番大切  分からないことを、とことん考える満足感・達成感論理的思考・考察、ひらめき、根気と忍耐  数学用語(定義)を覚えることは大切だが、事実(定理)を暗記するのが数学ではない。教科書や本の行間を埋める(数学的に説明できる) よう、常に心がける。数学は役に立つのか？  数学をしっかり身につけ、他分野への理解とコミュニケーション能力をもった人は、社会のいたるところで求められるようになる  数学の貢献が期待される分野の例：ライフサイエンス、情報通信、環境、ナノテク・材料科学、エネルギーの各分野 (文部科学省科学技術政策研究所報告書「忘れられた科学ー数学」（2006 年）より) フーリエ級数 a0 + a1 cos x ×180° + b1 sin x ×180° + a2 cos 2 x ×180° 2 + b2 sin 2 x ×180° + a3 cos 3 x ×180° + b3 sin 3 x ×180° +  フーリエ（Ｆｏｕｒｉｅｒ）が熱伝導の方程式を解くのに用いた．関数が上のようなｓｉｎとｃｏｓの（無限）和で表される．フーリエ解析（実解析）数学の基礎、工学、物理学画像処理、データ圧縮（jpeg・mpeg）、デジタル信号処理コンピュータ断層撮影、MRI（核磁気共鳴画像法） y x 0 -1 1 (−1) y= ∑ π n =1 n 2 ∞ n +1 sin nx ×180° y x 0 -1 1 4 ∞ 1 y= ∑ sin (2n − 1) x ×180° π n =1 2n − 1 n について 1 から 10 まで足す n について 1 から 30 まで足す入力出力ブラックボックス重ね合わせの原理が成り立つときは、サイン・コサイン関数の入力に対する出力が分かれば、ブラックボックスの性質が分かる．工学における基本的な考え方離散化（デジタル化）離散フーリエ変換離散コサイン変換たとえば、画像データを離散コサイン変換して、周波数の高いところを無視して、画像データを圧縮する．パソコンは、圧縮されたデータを逆離散コサイン変換して画像を再生する．デジカメ・パソコンで扱う写真データは、・・・.jpg なるものが普通．これはこのように圧縮されたデータである．  トップクラスの数学者のもとであなたも数学を学んでみよう数学体験学習のご案内  毎年夏休みに実施今年は16回目で約４０名の高校生がルービック・キューブの講義を受けました．  来年はぜひ参加下さい！大学生、院生の懇切な丁寧サポートがあり、学生生活体験を聞く時間もあります．  来年の６月頃数学類のＨＰをご覧下さい．