基礎力学間 1 (1)自由落下の場合 z=_:gι 2+υ z=0と Oι なる時間は ι=堕 θ (2)空気抵抗がある場合の運動方程式は笛″ (3)υ =一鶴 g― bを =夕に対する微分方程式は j=弊 =一 θ一βυ (β =b力鴨) =― ごι 島積分して ,眈い飼 =ι +Q ―朝皮角卒は υ= 方 +θ 2C β ι 初期条件 ι=0で υ O=一十カのしたがつて特殊解は υ =― :;+(υ 解 (3)の男吋う+β υ=一 θ 同次方程式う+β υ=0 の角翠は υ =0・ 2C β ι O+力 ―βι )θ 解答例 2 非同次方程式の解は υ=― g 百 2つの解を加えて ,一般解は ι υ =― +OC β 力 (4)速度 c― z=0と ―βι )(1-θ ) 1のとき t==1_β ι■ β 2t2+... :β なる時間を Tとすると T十 0=一方 :(υ O+力 T==(υ O+力 T一ク )β (β ＋ (5)β ι≪ : (υ O+力Ｑ力＋ ■ β ｌｌノ０ヽ ι+― β 一Ｃ偽期た初し Z=― ハ判〃Ｑを積分して＋︲／Ｖ ↑ ｒｇ ρ ︲ β 一﹂毎漱一 βι +(υ O+力 ;:=υ =― ヵ )C― T― )(β :(υ 2T2) :β O+ヵ )β 2T2 υ o+g)T=2υ 0 oル ≪ 1であるから βυ T=7脇 =争 ←― 争 ) したがって , 自由落下に比べて空気抵抗がある場合の方が早く戻つてくる。問2 (1)減衰振動の運動方程式は鶴■=― 鶴ω:-2π βカ (2)微分方程式は全+2β 分+ω :“ =0 χ=cttι とぉくと入2+2β λ+ω :=0 であるから = λ=― β土づ σ (σ 一般解は ι “ =c一 β (θ lctσ ι +Qθ づ σι ) (θ l,のは複素数の定数 ) 変位 ″ が実数になるように係数をとると βιcOs(σ ι+α ″ =Ac ) あるいは βι ″ =c (31 coS σι+32 Sin σι ) (3)初期条件 ι=0で ″ =0=A cos α 分 =υ 。=― βスcOS α―σtt Sin α であるから A cos α=0, ■sin α=υ O/σ したがって,初期条件を満たす解は ι c― β sin σ ι =望σと “ 間3 (1)平面極座標系 (r,θ )の単位ベクトルは Cγ =COs θづ+sinθ J eθ =― sin θづ+cos θJ (2)その時間微分はこr=― θsin θづ+θ cosθ J=θ cθ こθ=― θcos θづ―θsinθ J=― θer (3)位置ベクトル υ =チ r=rerを時間微分すると,速度は ==チ er― 十負与 θcθ =rcr―■γヽ 4 運動エネルギーは :γ γ ι υ2==:γ 几(チ 2_十 r2θ 2) (4)加速度は α =う =ゲ er+た γ+チ θcθ +rθ cθ +r6睦 θ 2)cγ +(rσ +21∂ )eθ =(デ _r沙 =いめ争+;湯ぱめ鉤運動方程式は 77L(ゲーr'2)=島鶴 }幾 (r2ゅ )=乃 (5)中心力の場合 ,運動方程式は π め=0 いめ=Д 犠鶴 ;岳ぱ θ方向の運動方程式を積分すると r2θ =ん角運動量は L=r× p=鶴 r× υ=77tr2θ cz と書けるので ,角運動量の保存則を意味する。 (6)万有引力は一G写 A→ そのポテンシャルはび 0-五 θ 等)クーG写 (― (7)r方向の運動方程式は鶴(ゲ _rι 2)=_θ :ギ争円運動しているので,Tは一定,すなわち ″=0,θ =ω とおいて _げ ω 2==_θ 写つまり ω 2=θ 醤円運動の周期は T=2π /ω であるから T2=斜 r3