中１方程式・不等式の計算１．１次方程式の計算正負の数、文字式と中学校に入って新しいことばかりで、少々数学が嫌いになりかけている人がいるかもしれませんね。しかし、少し待って下さい。これから出てくる方程式さえクリアーできれば、中１の数学はほぼマスターしたといってもよいのです。ここでは、１次方程式の計算方法について、できるだけ簡単にマスターできる方法を解説します。その前に、文字式の計算について少し復習しておきましょう。文字式の計算には、いくつかのルールがあります。ルール・その１「×」や「÷」の記号は使わない。ルール・その２「×」を省略するときは、文字がさき、数字があと。ただし、文字どうしの場合は、原則としてアルファベット順。（そうでないこともある）ルール・その３「１ｘ」や「－１ｘ」の１は書かない。ルール・その４割り算のときは分数にする。（マイナスは分母や分子にはつけず、真ん中に書く）ところで、文字式の足し算や引き算をするとき、例えばこんな人はいませんか？「３ｘ＋２ｙ＝５ｘｙ」としてしまうような人。また、「３ｘ２＋２ｘ＝５ｘ３」としてしまう人。こういう間違いをしてしまう人は、これらのｘやｙは単位と同じと考えて下さい。３ｍ（メートル）＋２ｍ＝５ｍ、ですが、３ｍ＋２ｇ（グラム）の計算はできませんよね。単位が異なるものどうしの足し算や引き算はできないのです。ですから、３ｘ＋２ｘ＝５ｘになりますが、３ｘ＋２ｙの計算はできません。また、３ｍ２（平方メートル）と２ｍ（メートル）の足し算や引き算もできません。なお、単位が違っていても、かけ算や割り算は可能です。さて、方程式の計算ですが、これは単純な作業なので、手順さえしっかりとマスターすれば、誰でも簡単に解けます。手順の説明の前に１つだけ方程式とは何かを確認しておきましょう。例えば「たかし君は、１個１５０円のエクレアをｘ個買いました。その代金を、ｘを使った式で表しなさい。」という問題の答えは１５０ｘ円になりますね。この答には「＝」（等号）はありません。ところが、「たかし君は１個１５０円のエクレアをｘ個買って、１８００円の代金を払いました。これを、ｘを使った式で表しなさい。」となると、１５０ｘ＝１８００というように、等号の入った式になります。このように、等号を使った式の中に、ｘやｙなど（変数といいます）を含む項がある式を方程式といいます。「方程式を解きなさい。」と言われたら、このｘやｙの値を求めることになります。では、その手順を解説していきましょう。教科書や学校の授業での説明とは順序が異なりますが、最もわかりやすい手順です。まず第１段階。３ｘ＝１２という問題。これは、３とｘをかけて１２になるよ、ｘはいくつ？ということですね。九九ができれば誰でも答えられるでしょう。ｘ＝４ですね。では、－３ｘ＝１２ならどうですか？－３とｘをかけて１２になる数、そう、ｘ＝－４が答えです。３ｘ＝－１２の答えもｘ＝－４。そして、－３ｘ＝－１２なら、ｘ＝４になります。ここでのポイントは、等号の左側（左辺といいます）または右側（右辺）のどちらかにマイナスがついていたら、答はマイナスになり、等号の両側（両辺）が共にプラスだったりマイナスだったりしたときの答はプラスになるということを覚えておきましょう。次に、第２段階。今度は３ｘ＝５という問題。３と何をかけると５になるか、という問題ですが、九九の３の段を探しても答が５になるようなものはありません。小学生のときに、３×□＝１２、□に入る数は何でしょう？という問題をやったことがあると思います。この□を求めるとき、１２÷３＝４というように、割り算で□を求めましたね。同じように、３×□＝５の場合も、５÷３で□を求めることができます。ただし、実際に割り算をやるので５５３３はなく、分数で答を求めます。ですから、５÷３＝ということになります。つまり、３ｘ＝５の答はｘ＝です。ただし、いちいち頭の中で割り算を考えるのではなく、ｘの前についている数（係数）を分母、右辺にある数を分子にもってくる、というように覚えておいて下さい。このときも、第１段階と同じで、等号のどちらか一方にマイナスがあるときの答はマイナスです。答のマイナスは、分母や分子につけるのではなく、真ん中に書いて下さい。それ９から、６ｘ＝９のような場合、ｘ＝で終わりにしないで下さい。必ず約分をしないと、バツになります。６第３段階。教科書や問題集を見ればわかりますが、方程式の計算問題では３ｘ＝５などという問題はほとんどありません。実際に出てくるのは、３ｘ＋４＝ｘ－８とか、２（ｘ－５）＝５ｘ＋９というような問題です。さらに先に進むと、分数や小数もでてきます。では、これらの問題をどうやって解いていくか、その手順を説明しましょう。例えば、３ｘ＋４＝ｘ－８という方程式では、ｘのついているものを＝の左側（左辺）、数字だけのものを＝の右側（右辺）に集めます。１つずつみていきましょう。最初の３ｘ。これはｘがついているので、そのままです。２番目の＋４。これは数字だけなので、右辺に移動させます。（移項といいます）ただし、このときにルールがあって、＝を飛び越えるときは＋とーの符号を逆にしなければいけません。ですから、３ｘ＝ｘ－８－４となります。次に、右辺のｘ。これは左辺に移項するので、符号が変わって－ｘとします。さらに最後の－８。これはもともと右辺にあるので、そのまま。ですから、移項を終えた段階で、元の式は、３ｘ－ｘ＝－８－４となります。ここで、左辺の３ｘ－ｘを計算して２ｘに、右辺の－８－４を計算して－１２にします。つまり、２ｘ＝－１２という形になります。ここまでくれば、ｘ＝－６であることはわかりますね。このときに注意したいのは、移項したときの符号の間違いです。移項したのに符号を変えるのを忘れないようにして下さい。３ｘ＋４＝ｘ－８３ｘ－ｘ＝－８－４２ｘ＝－１２ｘ－６となります。方程式を解く場合はこのように、１段目、２段目…という書き方の方をします。各段の間や最後に＝をつけてはいけません。さてここで、移項をしたときに符号が変わる訳を少し説明しておきます。実は、方程式を解くのは、「等式の性質」というものを利用して解いているのです。等式の性質とは、１．両辺に同じ数を足しても、同じ数を引いても成り立つ。２．両辺に０以外の同じ数をかけても、同じ数で割っても成り立つ。の２つです。上の式の１段目から２段目にいくときに、実は両辺からｘを引き、さらに４を引いているのです。細かくみていくと、まずｘを引きます。３ｘ＋４－ｘ＝ｘ－８－ｘ３ｘ－ｘ＋４＝－８次に４を引きます。３ｘ－ｘ＋４－４＝－８－４３ｘ－ｘ＝－８－４これで２段目の式になりました。さらに、３段目から４段目にいくときには、両辺を２で割っています。２ｘ÷２＝－１２÷２ｘ＝－６教科書では、この等式の性質をＡ＝ＢならばＡ＋Ｃ＝Ｂ＋Ｃ，Ａ－Ｃ＝Ｂ－Ｃ、ＡＢＣＣＡ＝ＢならばＡＣ＝ＢＣ，＝（ただしＣ≠０）というような書き方をしています。学校の試験では方程式の問題と解くまでの式が載っていて、「１段目から２段目にいくときに、どの性質を使いましたか。」という問題がよく出題されるので、チェックしておいた方がよいでしょう。さて次は最終段階。あとは、（）のある方程式や、分数、小数の混ざった方程式です。（）のある方程式では、まず（）をはずします。例えば３（２ｘ＋４）＝２ｘ－８のような場合、６ｘ＋１２＝２ｘ－８あとは先ほどと同様に移項して解いていきます。６ｘ－２ｘ＝－８－１２４ｘ＝－２０ｘ＝－５次に小数の混じった問題。これは最初に等式の性質を利用し、両辺を１０倍したり１００倍してから始めます。例えば、０．３ｘ－１＝１．２ｘ＋０．８という問題では、両辺、つまり全ての項に１０をかけます。３ｘ－１０＝１２ｘ＋８このとき、整数の－１にも１０をかけることを忘れないで下さい。続きはもうわかりますね。また、小数第２位まで出てくる場合は、両辺を１００倍してから移項します。そうすればすべて整数にしてから計算することができます。もちろん、小数のままでも計算は可能ですが、整数にしてから計算した方が間違いの可能性が低くなります。数学では、普通、答えは１つですが、そこにたどり着くまでの道（解き方）が何本もある場合があります。もっともよい解き方というのは、答えまでの道のりができるだけ近いこと、つまり、できるだけ簡単な方法です。曲がりくねったでこぼこ道を選ぶより、一直線の近道を選ぶことです。なぜなら、曲がりくねったでこぼこ道では、間違える可能性のある箇所がいくつも出てくるからです。それに時間もかかります。できるだけ速く、正確に答えを出すには、最も簡単な近道を選ぶのがベストなのです。ここでは、最初に小数をなくした方が、遠回りのように見えますが、実は近道なのです。さて、話を戻して、分数の混じった問題にいきましょう。分数が混じっている場合も、最初に整数にしてから始めます。そのためには、問題にある分数の分母と同じ数を両辺にかけます。また、分数が２つ以上でてくる場合２１３２は、それらの分母の最小公倍数を両辺にかけます。例えば、ｘ＋＝ｘ－１のような場合、分母の３と２の最小公倍数は６なので、全ての項を６倍します。４ｘ＋３＝６ｘ－６このときも右辺のｘや－１を６倍することを忘れないで下さい。続きはこれまでと同じです。以上で方程式の解き方の手順は終わりです。最初にも書きましたが、方程式の計算については、以上の手順をしっかりと踏まえてさえいれば、数学が苦手な人でも解くことはできます。しかし、移項したときの符号や小数や分数を整数にするときなど、間違いやすいポイントもいくつかあります。それらの点に注意をしながら練習を繰り返して下さい。２．１次不等式の計算不等式の計算方法は、方程式とほとんど同じです。方程式と同じように、ｘのついているものは左辺、数字だけのものは右辺に移項していくのですが、１つだけ方程式と違うところがあるので、そこだけ覚えて下さい。その前に、等式と同じように不等式の性質を覚えましょう。１．不等式の両辺に同じ数を足しても、両辺から同じ数を引いても成り立つ。２．不等式の両辺に正の数をかけても、両辺を正の数で割っても成り立つ。３．不等式の両辺に負の数をかけたり、両辺を負の数で割ると、不等号の向きが逆になる。等式との違いがわかりましたか。３番目が等式の性質との違いです。例えば、３＜５の両辺に正の数、例えば２をかけても不等号の向きは変わりません。しかし、－２をかけると、左辺は－６，右辺は－１０となり、不等号の向きが－６＞－１０となるのです。同様に、－１で割っても不等号の向きは逆になります。そこで、不等式を解く場合、３ｘ－５＞５ｘ＋３３ｘ－５ｘ＞３＋５－２ｘ＞８とここまでは方程式の等号が不等号に変わっているだけです。が、次の段階では、両辺を－２で割ることになるので、不等号の向きが変わります。ｘ＜－４つまり、不等号を解いていて、最後の段階でｘの前にマイナスがついているときは、不等号の向きを変える、ということになります。ここで注意したいのは、不等号の向きを変えることを忘れないのはもちろんですが、意外と不等号の向きを変える事に気をとられて、右辺の４にマイナスを付け忘れがちになります。気をつけて下さい。不等式に小数や分数が混じっている場合も、方程式と同じように、最初に何倍かして小数や分数をなくしてから始めて下さい。不等式も方程式と同じで、この手順さえしっかり覚えておけば、それほど難しいところではありません。とにかく問題をたくさん解いて、方程式や不等式に慣れることが重要です。