2005 年度 基礎数学ワークブック番外編「確率分布」
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< ブラウン運動 >
1827 年植物学者の Brown は水に浮かぶ花粉の粒子が不思議な動きをしているのを発見
した。花粉の粒子は突然にある一定距離移動し、止まる。これを繰り返し、ジグザグな動
きをする。花粉以外でも、水に浮かぶ微粒子ならば同様の動きをすることがわかった。
この運動する粒子をブラウン粒子と呼び、その運動を「ブラウン運動」と呼ぶ。
1905 年アインシュタイン (Einstein) はブラウン粒子の時刻 t、位置 x に存在する確率密
度 u(t, x) が熱方程式
∂
∂2
u(t, x) = D 2 u(t, x)
∂t
∂x
(t = 0, x ∈ R)
を満たすことを示した。ここで D は拡散係数と呼ばれる正の定数である。なお空間が 3
次元の場合は
∂u
∂2u ∂ 2u ∂ 2u
= D( 2 + 2 + 2 ) となる。
∂t
∂x1 ∂x2 ∂x3
1923 年ウィナー (Wiener) はブラウン運動の数学的モデルを次の 1 , 2 , 3 をみたす確率
過程 {B(t) : t = 0} として提案した。
1
{B(t) : t = 0} は t の関数として連続である。
2
[ 独立増分性 ]
Ã
任意の時間分点 0 5 t0 < t1 < t2 < · · · < tn に対して、
B(t1 ) − B(t0 ), B(t2 ) − B(t1 ), · · · , B(tn ) − B(tn−1 ) は独立
3
!
[ Gauss 分布 (正規分布) ]
任意の 0 5 s < t に対して、
P (B(t) ∈ A | B(s) = a) =
が成り立つ。
Z
A
p
1
2π(t − s)
(x−a)2
e− 2(t−s) dx
(a ∈ R, A ⊂ R)
1 , 2 , 3 を満たす確率過程 {B(t) : t = 0} を「ブラウン運動」または「Wiener 過程」と
言う。なお空間が 3 次元の場合は 3 のかわりに
ZZZ
|x−a|2
−3
0
2 − 2(t−s)
3
P (B(t) ∈ A | B(s) = a) =
(2π(t − s)) e
dx1 dx2 dx3
A
(x=(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , a ∈ R3 , A ⊂ R3 )
を用いる。
(注)
1 , 2 , 3 を満たす {B(t)} の存在確率密度 u(t, x)
D=
1
の場合の熱方程式の解である。
2
µ
P (B(t) ∈ A) =
Z
u(t, x)dx
A
¶
は
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