2012年度「ファイナンス保険数理特論」補足4

2012 年度「ファイナンス保険数理特論」
補足４
— Girsanov–丸山の定理について —
2012 年 7 月 23 日，高岡浩一郎∗
【このファイルは４頁分です．
】
1
はじめに
講義でも説明するように，Brown 運動では，確率を変えることは「ドリフトを変える」という
操作に対応します．もう少し具体的に言うと，{ Wt }t∈[0,T ] が（元の確率 P の下で）Brown 運動
であり，また γ が定数であるとするとき，確率過程
Xt := Wt + γ t
(1)
は元の確率 P の下ではドリフト付き Brown 運動ですが，うまく確率 Q を選ぶとドリフト無し
Brown 運動になるというのが，Girsanov–丸山の定理の骨子です．逆に，W 自身は
W t = Xt − γ t
と書けるので，新しい確率 Q の下ではドリフト付き Brown 運動になります．
それでは，新しい確率 Q の具体形は何でしょうか？それを説明するのが本稿の目的です．ま
た，末尾には上級者向けの注も記しておきました．
2
Radon-Nikodym density とは？
感覚をつかむために，離散時間のランダムウォークの話をしましょう．
∗ 一橋大学大学院商学研究科．E-mail:
[email protected]
1
現在 t = 0
t=1
*
©
©©
©
©
HH
HH
j
H
0
1
−1
t=2
*
©
©©
©
©
HH
HH
j
H
*
©
©
©
©
©
HH
H
H
j
H
2
0
−2
元の確率 P の下では，各 node における上昇確率は
3
4,
下落確率は
1
4
とします．この設定での計
４つのシナリオ
ω1 : 最初に上昇，次も上昇
ω2 : 最初に上昇，次に下落
ω3 : 最初に下落，次に上昇
ω4 : 最初に下落，次も下落
のそれぞれに対して
9
3
3
1
,
,
,
16
16
16
16
という確率を与えるのが，確率 P ということになります．
一方，この確率過程をマルチンゲールにするような確率 Q は，各 node における上昇確率が 21 ,
下落確率も
1
2
です．上記のシナリオ ω1 ∼ ω4 のそれぞれに対して
1
1
1
1
,
,
,
4
4
4
4
という確率を与えるのが，確率 Q ということになります．
確率 Q の P についての Radon-Nikodym density
dQ
dP
とは，各シナリオに対して，Q の重みを
P の重みで割ったものです．つまり
dQ
4
(ω1 ) = ,
dP
9
dQ
4
(ω2 ) = ,
dP
3
dQ
4
(ω3 ) = ,
dP
3
と定義される確率変数が，Radon-Nikodym density
dQ
dP
dQ
(ω4 ) = 4
dP
です．
元の確率 P が与えられている時，
「新しい確率 Q の具体形を与えること」と「Radon-Nikodym
density dQ
dP の具体形を与えること」とは完全に１対１に対応しています．この事実は任意の確率
空間について成立するので，今回，Girsanov–丸山の定理における新しい確率の具体形を考える時
も，対応する Radon-Nikodym density の具体形を考えましょう．
3
本論
本稿第１節で考えている設定において，Radon-Nikodym density
dQ
dP
の具体形は何でしょうか？
以下において，§3.1 では，確率 P と Q の下での W の密度を比較し，一方 §3.2 では X の密度を
2
比較します．両者の方法で最終的に得られる Radon-Nikodym density は同じです．
3.1
確率 P と Q の下での W の密度を比較する方法
時刻の区間 [0, T ] を n 個に分割する
∆ : 0 = t 0 < t 1 < t 2 < · · · < tn = T
を考え，シナリオ ω を固定して
i = 1, · · · , n
wi := Wti (ω),
を定義します．確率 P の下で，時刻 ti で Wti = wi （ただし i = 1, · · · , n ）となる同時密度関
数は
n
{
∏
(
)
1
(wi − wi−1 )2 }
P
√
fW
exp −
w1 , w2 , · · · , wn =
2 (ti − ti−1 )
2π(ti − ti−1 )
i=1
となり，一方，確率 Q の下での同時密度関数は
Q(
fW
w1 ,
w2 , · · · , wn
)
=
n
∏
√
i=1
{
1
2π(ti − ti−1 )
exp
(
wi − wi−1 + γ (ti − ti−1 )
−
2 (ti − ti−1 )
)2 }
となります．ゆえに，両者の比を取ると
)
n
Q(
{
}
∏
fW
w1 , w2 , · · · , wn
γ2
(
)
=
exp
−
γ
(w
−
w
)
−
(t
−
t
)
i
i−1
i
i−1
P w , w , ··· , w
2
fW
1
2
n
i=1
{
=
exp
=
exp
{
− γ wn −
γ2 }
tn
2
− γ WT (ω) −
γ2 }
T
2
となります．右辺は分割 ∆ に依らない値になっているので，左辺で ||∆|| → 0 【分割幅をゼロに収
束させる】時を考えても右辺は同じです．これが，シナリオ ω に対する Radon-Nikodym density
の値
dQ
dP (ω)
ということになります．よって
{
dQ
γ2 }
= exp − γ WT −
t
dP
2
3.2
確率 P と Q の下での X の密度を比較する方法
先程と同様に時刻の区間 [0, T ] を n 個に分割し，シナリオ ω を固定して
i = 1, · · · , n
xi := Xti (ω),
を定義します．確率 P の下で，時刻 ti で Xti = xi （ただし i = 1, · · · , n ）となる同時密度関数は
(
)2
n
{
∏
(
)
xi − xi−1 − γ (ti − ti−1 ) }
1
P
√
exp −
fX
x1 , x2 , · · · , xn =
2 (ti − ti−1 )
2π(ti − ti−1 )
i=1
3
となり，一方，確率 Q の下での同時密度関数は
n
∏
)
Q(
√
fX
x1 , x2 , · · · , xn =
i=1
{
1
2π(ti − ti−1 )
exp
−
(xi − xi−1 )2 }
2 (ti − ti−1 )
となります．ゆえに，両者の比を取ると
)
n
Q(
{
}
∏
fX
x1 , x2 , · · · , xn
γ2
(
)
=
exp − γ (xi − xi−1 ) +
(ti − ti−1 )
P
2
fX x1 , x2 , · · · , xn
i=1
{
=
exp
=
exp
{
− γ xn +
γ2 }
tn
2
− γ XT (ω) +
γ2 }
T
2
となり，
{
dQ
γ2 }
= exp − γ XT +
t
dP
2
です．これは，本稿冒頭の式 (1) から，§3.1 の結果と一致します．
注
4
1.
本稿は，講義要綱にも載せた Baxter and Rennie の本の該当箇所を基に作成しました．よ
り厳密な議論は，Lamberton and Lapeyre（第４章や演習 19）等を参照して下さい．
2.
本稿のように Brown 運動に定数ドリフトを付けた確率過程に対しては，Radon-Nikodym
density つまり Q と P の確率の重みの比が
{
dQ
γ2 }
= exp − γ WT −
t
dP
2
となり，WT の値のみに依存します．ゆえに，ドリフト無し Brown 運動とドリフト付き Brown
運動は，最終時刻 T でどこの位置にいるかの確率だけが異なり，各実数 a に対して，
{
•
WT = a で条件付けたときの確率過程
•
WT + γT = a で条件付けたときの確率過程
Wt
}
t∈[0,T ]
{
Wt + γt
}
t∈[0,T ]
の両者は（定数 γ の値に関わらず）確率過程としての法則 (law) が等しくなる，という知見
を得ることができます．一例としては，各実数 c に対して
¯
¯
[
]
[
]
(
)
¯
¯
P max Wt ≤ c ¯ WT = a = P max Wt + γt ≤ c ¯ WT + γT = a
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
が成り立ちます．この性質を知っていると，Brown 運動に関する様々な確率変数の分布を計
算するときに，便利です．
4

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